FUNKCJA	POCHODNA
C	0
x	1
x^n	nx^n − 1
$$\sqrt{x}$$	$$\frac{1}{2\sqrt{x}}$$
$$\frac{1}{x}$$	-$\frac{1}{x^{2}}$
e^x	e^x
a^x	a^xlna
lnx	$$\frac{1}{x}$$
logax	$$\frac{1}{\text{xlna}}$$
sinx	cosx
cosx	-sinx
tgx	$$\frac{1}{\cos^{2}x}$$
ctgx	- $\frac{1}{\sin^{2}x}$
sinhx	coshx
coshx	sinhx
tghx	$$\frac{1}{\cosh^{2}x}$$
ctghx	-$\frac{1}{\sinh^{2}x}$
arcsinx	$$\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$$
arccosx	-$\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$
arctgx	$$\frac{1}{x^{2} + 1}$$
arcctgx	-$\frac{1}{x^{2} + 1}$

P₀(1,5,0) pnkt prostopadły na płaszczyznę P₁=(0,0,1) P₂=(1,0,1) P₃=(0,3,1)

P₁P₂ = [1,0,0] P₁P₃=[0,3,0] Mnożymy wektorowo

[1,0,0]*[0,3,0]=$\left| \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ \end{matrix} \right|$=$\left\lbrack \left| \begin{matrix} 0 & 0 \\ 3 & 0 \\ \end{matrix} \right|, - \left| \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{matrix} \right|,\left| \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 3 \\ \end{matrix} \right| \right\rbrack$=[0^A,0^B,3^C]=V_n

Ax+By+Cz+D=0 ==> 0*0+0*0+3*1+D=0 D=-3 ==>równ pł. 3z-3=0

$\left\{ \begin{matrix} x = 0t + 1 \\ y = 0t + 5 \\ z = 3t + 0 \\ \end{matrix} \right.\ $ ==> $\left\{ \begin{matrix} x = 1 \\ y = 5 \\ z = 3t \\ \end{matrix} \right.\ $ ==> pdst do rów pł 3*3t-3=0 9t-3=0 t=$\frac{1}{3}$

$\left\{ \begin{matrix} x = 1 \\ y = 5 \\ z = 3*\frac{1}{3} = 1 \\ \end{matrix} \right.\ $ <== rzut punktu P₀, P₀'=(1,5,1) odp: Odległość P₀ od P₀'=

$\sqrt{{(1 - 1)}^{2} + {(5 - 5)}^{2} + {(1 - 0)}^{2}}$=$\sqrt{1}$=1

PRZYBLIŻONA

f(x₀+∆x,y₀+∆y) ~ $\frac{\text{df}}{\text{dx}}$(x₀,y₀)* ∆x+ $\frac{\text{df}}{\text{dy}}$(x₀,y₀)* ∆y+ f(x₀,y₀)

Czy wektory są liniowo niezależne w R³

v₁=(0,1,3) v₂=(0,5,7)

A=$\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 5 \\ 3 & 7 \\ \end{bmatrix}$ będą niezależne gdy r(A)=2, nie są liniowo niezależne gdy r(A)≤2

r$\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 5 \\ 3 & 7 \\ \end{bmatrix}$=r$\begin{bmatrix} 1 & 5 \\ 3 & 7 \\ \end{bmatrix}$=$\left| \begin{matrix} 1 & 5 \\ 3 & 7 \\ \end{matrix} \right|$=7-15=-8 =>rząd wynosi 2 są liniowo niezależne

Czy wektory tworzą baze w R³

v₁=(1,5,2) v₂=(1,-2,1) v₃=(2,3,3) rząd tej macierzy musi być równy 3 (bo R³)

r(A)=3 A= $\begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 5 & - 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \\ \end{bmatrix}$ (sarrus)=0 r(A)<3 odp Nie tworzą bazy w R³

wzrost komórek

po pierwszej dobie 10000 a po 5 dobach 250000

t-czas, x= x(t)- liczebność pop. w t, x'(t)-szybkość wzrostu pop w t

x'=k$\frac{x}{t}$ x'=$\frac{k}{t}$x x'=$\frac{\text{dx}}{\text{dt}}$ $\frac{\text{dx}}{\text{dt}}$= k$\frac{x}{t}$ / *$\frac{\text{dt}}{x}$ $\frac{\text{dx}}{\text{dt}}$*$\frac{\text{dt}}{x}$=k$\frac{x}{t}$*$\frac{\text{dt}}{x}$ $\frac{\text{dt}}{x}$=$\frac{k}{t}$dt

$\int_{}^{}\frac{\text{dx}}{x}$=$\int_{}^{}\frac{k}{t}\text{dt}$ $\int_{}^{}\frac{1}{x}$dx=k$\int_{}^{}\frac{1}{t}$dt ln|x|=kln|t|+C

t>0=>|t|=t x>0=>|x|=x lnx=klnt+c x=e^klnt + C

x=e^klnt * e^C x=t^k*e^c e^c=A>0 x=At^k

x(1)=10000 A=10000 A(1)^k=10000 x=10000t^k

x(5)=250000 x(5)=10000*5^k 10000*5^k=250000/:10000

5^k=25 5^k=5² k=2 odp. K(t)=10000t²

silos

δ(z)= δ₀+k(h₀-z)

0<x<... 0<y<... 0<z<...% ∭_Eδ(x,y,z)dxdydz

δ(x,y,z)= δ₀+k(h₀-z) *1*1

∫_z = 0^…  δ₀+k(h₀-z)dz* ∫_x = 0^… dx*∫_y = 0^… dy

∫_y = 0^… dy=... ∫_x = 0^… dx=....

∫_z = 0^…  δ₀+k(h₀-z)dz= ∫ δ₀dz+∫kh₀dz-∫kzdz= δz+kh₀z-k*$\frac{z^{2}}{2}$ =

[δz+kh₀z-k*$\frac{z^{2}}{2}$]=....

Stożkowa

zbiór punktów powstałych na przecięciu stożka i płaszczyzny

Rodzaje: elipsa, okrąg, parabola, prosta (parabola zdegenerowana),

hiperbola. Równanie we współrzędnych biegunowych r=$\frac{p}{1 + ecos\varphi}$

r, φ-współrzędne punktu, e-mimośród krzywej, p-parametr decydujący

o kącie pomiędzy tworzącą a osią stożka. 0≤e<1 - elipsa, e=0 - okrąg,

e=1 - parabola, e>1 - hiperbola.

Trans Fouriera def.

Jest operatorem liniowym określanym na przestrzeniach funkcyjnych,

elementami których są funkcje w zmiennych rzeczywistych.

Dywergencja

Operator różniczkowy przyporządkowujący trójwymiarowemu polu wektorowemu

pole skalarne. Suma pierwszych pochodnych cząstkowych o współrzędnych

kartezjańskich

Rotacja

Liniowy operator różniczkowy przyporządkowujący pewnemu polu wektorowemu

inne pole wektorowe.

Gradient

Pole wektorowe wskazujące kierunki najszybszych wzrostów wartości danego

pola skalarnego w poszczególnych punktach.

CHŁODZENIE CIAŁA

o temp 50* do chłodni 0* po jakim czasie bedzie 5* po 1h o 10*

$\frac{\text{dT}}{\text{dt}}$=-k(T-T_z) t-czas chł. T=T(t)-temp ciała w chwili t

T_z-temp otoczenia k-stała dodatnia

I	II	III	IV
cos	+	-	-
sin	+	+	-
a0	∏ - a0	∏ + a0	2∏ - a0

T_z=0*C więc $\frac{\text{dT}}{\text{dt}}$=-kT -> $\frac{\text{dT}}{T}$=-kdT -> $\int_{}^{}\frac{1}{T}$dT=-k∫1dT

-> ln|T|=-kt+C₁ C₁ԑR zatem |T|=e^{−kt + C1}=e^−kt*e^C1=Ae^−kt

Gdzie A=e^c>0, ponieważ T≥O więc |T|=T zatem T=Ae^−kt

Dla t=0 mamy T=50, więc A*e⁰ = 50 czyli A=50 -> T=50e^−kt

Temp. Ciągle się obniżała w ciągu 1 godziny z 50 na 10 więc:

10=50e^−kt -> e^−k=$\frac{1}{5}$ z definicji logarytmu: -k=ln($\frac{1}{5})$=ln(5⁻¹)=-ln5

-> k=ln5 -> T=50e^−ln5t przyjmując T=5, 5=50e^−ln5t -> $\frac{1}{10}$=e^−ln5t

Stąd na mocy logarytmu definicji: ln($\frac{1}{10}$)=-ln5t -> t = $\frac{ln(\frac{1}{2}\ )}{\ - ln5}$=$\ \frac{- ln10}{- ln5}$

Macierzą o wymiarach m*n (m na n) nazywamy funkcję

przyporządkowującą każdej parze liczb naturalnych

(i,j) gdzie 1≤j≤n liczbę rzeczywistą a_q.

1. ∫x^αdx=$\frac{1}{\alpha + 1}x^{\alpha + 1}$+C

2. $\int_{}^{}\frac{\text{dx}}{x}$=ln|x|+C

3. ∫a^xdx=$\frac{1}{\ln a}a^{x}$+C a>0  a ≠ 1

4. ∫e^xdx=e^x+C

5. ∫cosxdx=sin x+C

6. ∫sinxdx=-cos x+C

7. $\int_{}^{}\frac{\text{dx}}{\cos^{2}x}$=tgx+C

8. $\ \int_{}^{}\frac{\text{dx}}{\sin^{2}x}$=-ctgx+C

9.$\text{\ \ }\int_{}^{}\frac{\text{dx}}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}}$=arcsin$\frac{x}{a}$+C

10. $\int_{}^{}\frac{\text{dx}}{a^{2} + x^{2}}$=$\frac{1}{a}$arctg$\frac{x}{a}$+C a≠0

11. $\int_{}^{}\frac{\text{dx}}{x^{2} - a^{2}}$=$\frac{1}{2a}$ln$\left| \frac{x - a}{x + a} \right|$+C a≠0

12. $\int_{}^{}\frac{\text{dx}}{\sqrt{x^{2} + a^{2}}}$=ln$\left| x + \sqrt{x^{2}} + a^{2} \right|$+C