Twierdzenie jest to zdanie logiczne mające zwykle formę implikacji: twierdzenie = założenie (warunki, dla których twierdzenie jest spełnione) + teza („to” co chcemy wykazać za pomocą rozumowania dedukcyjnego) - (Jeżeli … to …).

Zdaniem w matematyce nazywamy takie sformułowanie (zdanie gramatyczne), o którym można orzec, czy jest prawdziwe (1), czy fałszywe (0). Ozn.: p, q, r, s, …

Funktory – spójniki: ~ (negacja), ^ (koniunkcja), v (alternatywa), => (implikacja), (równoważność). Za ich pomocą można budować tzw. Schematy zdaniowe.

Tautologia – zdanie jest zawsze prawdziwe bez względu na to jakie wartości logiczne przyjmują zdania składowe.

Zasada indukcji matematycznej – jest to metoda dowodzenia twierdzeń prawdziwych dla liczb naturalnych. Niech p(n) będzie zdaniem, które dla każdej liczby naturalnej n może być prawdziwe lub fałszywe. Aby udowodnić, ze p (n) jest prawdziwe dla wszystkich liczb naturalnych n>= n₀ Wystarczy pokazać, że: 1. P (n₀) jest prawdziwe (warunek początkowy), 2. Dla każdego k>= n₀ (założenie indukcyjne) p (k) .=> p (k+1) (krok indukcyjny)

Metody dowodzenia twierdzeń: 1. Dowód wprost, 2. Dowód nie wprost, 3. Zasada indukcji matematycznej

Iloczyn kartezjański – jest to zbiór wszystkich par uporządkowanych, w których poprzednik należy do zbioru A, zaś następnik do zbioru B

Logarytm - jest to wykładnik potęgi do której trzeba podnieść podstawę aby otrzymać liczbę logarytmowaną log_ab = c a^c = b, gdzie a>0, a≠1, b>0.Definicja – logarytmem przy podstawie a>0 i a≠1 z liczby logarytmowanej b>0

Własności logarytmów: (gdy a, b, c, r € R; a, b, c > 0; a ≠ 1) log_a1=0, log_aa=1, log_ab+log_ac=log_ab*c, log_ab-log_ac=log_ab/c, log_ab^r=rlog_ab, a^logab=b, log_ab=log_cb/log_ca (gdy c≠1), log_ab=log_ac b=c, log_ab<log_ac b>c (gdy a€(0, 1)), log_ab<log_ac b>c (gdy a€(1, +∞))

Funkcja (odwzorowanie) – jest to przyporządkowanie każdemu elementowi ze zbioru X dokładnie jednego elementu ze zbioru Y.

Surjekcja (funkcja „na”) - funkcja przyjmująca jako swoje wartości wszystkie elementy przeciwdziedziny

Injekcja (funkcja „1-1”) -  funkcja, której każdy element przeciwdziedziny przyjmowany jest co najwyżej raz.

Bijekcja = Surjekcja + Injekcja (każdemu elementowi obrazu odpowiada dokładnie jeden element dziedziny)

Superpozycja – funkcja zwracająca wartość pewnej funkcji w punkcie zadanym za pomocą innej.

Sposoby określenia funkcji: 1. Tabelka, 2. Wykres, 3. Wzór, 4. Parametrycznie.

Funkcja elementarna – jest to każda funkcja, którą można zapisać poprzez operacje: dodawania, odejmowania, mnożenia, dzielenia, odwrócenia i składania funkcji: tożsamościowych, wykładniczych, logarytmicznych, trygonometrycznych.

Najważniejsze funkcje elementarne: 1. Wielomiany (f. stała (y=a), liniowa (y=ax+b), kwadratowa (y=ax²+bx+c), potęgowa (y=xⁿ), 2. F. Wymierne (szczególny przypadek f. homograficzna (y=ax+b/cx+d)), 3. F. wykładnicza (y=a^x, gdzie a€R₊, x€R), 4. F. logarytmiczna (y=log_ax, gdzie a€R₊\1, x€R₊), 5. F. trygonometryczne (sin, cos, tg, ctg), 6. F. cyklometryczne, 7. F. hiperboliczne

Ważniejsze własności funkcji cyklometrycznych: arcsinx+arccosx=π/2; arctgx+arcctgxx=π/2; sin(arcsinx)=x dla x€<-1;1>; sin(arccosx)=√(1-x²) x€<-1;1>; sin(arctgx)=x/√(1+x²); sin(arcctgxx)=1/√(1+x²); cos(arcsinx)=√(1-x²) x€<-1;1>; cos(arccosx)=x x€<-1;1>; cos(arctgx)=1/√(1+x²); cos(arcctgxx)=x/√(1+x²); tg(arcsinx)=x/√(1-x²) x€(-1;1); tg(arccosx)= √(1-x²)/x x€<-1;1>; tg(arctg)=x; tg(arcctgx)=1/x; ctg(arcsinx)=√(1-x²)/x x€(-1;1); ctg(arccosx)=x/√(1-x²) x€<-1;1>; ctg(arctg)=1/x; ctg(arcctgx)=x;

Ciąg liczbowy – jest to funkcja określona na zbiorze N o wartościach (wyrazach ciągu a_n) w R.

Granica ciągu – ciąg ma granicę, (jest zbliżony lub dąży do g), jeśli dla każdej ε>0 istnieje taka liczna n₀, że wszystkie wyrazy ciągu o wskaźnikach większych od n₀ spełniają warunek |a_n-g|<ε.

Granica niewłaściwa ciągu (∞) – występuje wtedy, gdy prawie wszystkie wyrazy ciągu są większe (+∞) / mniejsze (-∞) od dowolnie wybranej liczby rzeczywistej

Twierdzenia o ciągach liczbowych – Ciąg stały (a_n)ⁿ, gdzie a_n=0 i lim_n->∞ a_n=0 to ciąg jest zbieżny i jeśli zbieżny to jest ograniczony.

Symbole nieoznaczone: [∞-∞], [∞/∞], [0/0], [0⁰], [0-∞], [∞⁰], [1^∞]

Liczba Eulera: lim przy n∞ (1+1/n)ⁿ=e

Szereg – jest to ciąg sum częściowych (s₁=a₁, s₂=a₁+a₂, s₃=a₁+a₂+a₃). Jeżeli istnieje właściwa granica szeregu to mówimy, że jest zbieżny (ma granicę) – lima_n=0 Warunek konieczny zbieżności: jeżeli ∑ od n=1 do ∞ jest zbieżny to lim przy n∞ z a_n=0 (UWAGA – twierdzenie odwrotne NIE jest prawdziwe)

Pewne szczególne szeregi: 1. Sz. Geometryczny (ciąg - a₁, a₁q₁, … a_n=a_n*q^n-1), 2. Sz. Dirichleta (Σ od 1 do ∞ z 1/n^α, jest zbieżny gdy α>1, rozbieżny α =<1)

Kryteria zbieżności szeregów: 1. D’Alamberta (Jeżeli dla szeregu o wyrazach dodatnich ∑ od n=1 do ∞ z a_n ciąg ilorazów a_n-1/a_n ma granice g to: g<1-zbieżny, g>1-rozbieżny, g=1-kryterium nierostrzyga), 2. Couchy’ego (jeżeli dla szeregu o wyrazach dodatnich ∑ od n=1 do ∞ z a_n ciąg pierwiastków ⁿ√ a_n jest zbieżny do g to: g<1-zbieżny, g>1-rozbieżny, g=1-kryterium nierostrzyga), 3. Leibnitza (jeżeli w szeregu naprzemiennym ∑ od n=1 do ∞ z (-1)ⁿa_n ciąg (a_n) jest monotoniczny i dąży do zera to szereg ten jest zbieżny).

Otoczenie U(x₀) punktu x₀€R o promieniu r nazywamy przedział (x₀-r, x₀+r), Sąsiedztwem S(x₀) punktu x₀€R o promieniu r nazywamy otoczenie U(x₀)/{ x₀}

Granica funkcji – niech f będzie określone w pewnym sąsiedztwie punktu x₀. Liczbę g nazywamy granicą funkcji w punkcie x₀ jeżeli dla każdego ciągu argumentów zbieżnego do x₀odpowiadający mu ciąg wartości jest zbieżny do liczby g.

Granica niewłaściwa – funckja f ma w x₀ granicę niewłaściwą -∞ jeśli dla każdego ciągu x_n, gdzie x_n € S zbieżnego do x₀ ciąg f(x_n) wartości funkcji jest rozbieżny do -∞. Funkcja f ma w x₀ granicę niewłaściwą +∞ jeśli dla każdego ciągu x_n, gdzie x_n € S zbieżnego do x₀ ciąg f(x_n) wartości funkcji jest rozbieżny do +∞.

Granica prawostronna – niech f(x) oznacza funkcje na przedziale (x₀, x_a). Funckja f(x) ma w x₀ granicę prawostronną g dla każdego ciągu argumentów x_n o wyrazach należących do przedziału (x₀, x_a) zbieżnego do x₀, ciąg wartości f(x_n) jest zbieżny do g.

Granica lewostronna – niech f(x) oznacza funkcje na przedziale (x₀, x_a). Funckja f(x) ma w x₀ granicę lewostronną g dla każdego ciągu argumentów x_n o wyrazach należących do przedziału (x₀, x_a) zbieżnego do x₀, ciąg wartości f(x_n) jest zbieżny do g.

Granica w punkcie – funckja f(x) ma w x₀ granicę instnieje prawo i lewostronna granica funkcji w punkcie x₀ i granice te są równe.

Ciągłość funkcji – funckją f określoną w pewnym otoczeniu x₀ nazywamy ciągłą x₀ istnieje lim_x>x0 f(x) i istnieje f(x₀) i te wielkości są równe. Ciągła – mówimy, że funkcja jest ciągła w (A, B), jeśli jest ciągła w każdym punkcie tego przedziału. Nieciągła 1. Nie istnieje takie otoczenie x₀, które zawiera sie w dziedzinie funkcji, 2. Lim _x->x0 f(x)!=f(x₀).

Punkty nieciągłości – x0 nazywamy punktem nieciągłości funkcji funckja jest określona w pewnym sąsiedztwie tego punktu i nie jest w nim ciągła.

Typy nieciągłości – I-go rodzaju punkty, w których obie granice istnieją i są właściwe, typu skok. Granice lewo i prawo stronne są różne, typu luka. Obie granice są równe, usówalne. II-go rodzaju – gdy przynajmniej jedna z granic jest niewłaściwa

Pochodna funkcji w punkcie - jeżeli iloraz funkcji y=f(x) w punkcie x₀ posiada granicę właściwą, gdy Δx0, to granicę tą nazywamy pochodną funkcji f(x) w x₀ i oznaczamy: f’(x₀)= lim Δx0 f(x₀+Δx) – f(x₀)/ Δx.

Interpretacja geometryczna pochodnej: Pochodna f’(x₀) jest równa tangensowi nachylenia stycznej do wykresu funkcji w punkcie x₀ do osi OX

Styczna i normalna w P (prosta prostopadła do stycznej): s: y-y₀=f’(x₀)(x-x₀), n: y-y₀=1/f’(x₀)*(x-x₀)

Twierdzenia o pochodnych: [f(x)+/-g(x)]’=f’(x)+/-g’(x), [f(x)*g(x)]’=f’(x)*g(x)+f(x)*g’(x), [f(x)/g(x)]’= f’(x)*g(x)-f(x)*g’(x)/[g(x)]² (g(x)≠0), [a*f(x)]’=a*f(x), [f(g(x))]’=f’(g(x))*g’(x)

Pochodne ważniejszych funkcji: c€R (c)’=0, (xⁿ)’=nx^n-1, a€R (a^x)’=a^xlna, (e^x)’=e^x, (sinx)’=cosx, (cosx)’=-sinx, (tgx)’=1/cos²x, (ctgx)’=-1/(sin²x), (log_ax)’=1/xlna, (lnx)’=1/x, (arcsinx)’=1/√(1-x²), (arccosx)’=-1/√(1-x²), (arctgx)’=1/(1+x²), (arcctgx)’=-1/(1+x²), (√x)’= 1/(2√x), (1/x)`=-1/x²

Wzór Taylora i Mc’Laurina: Jeżeli f(x) jest klacy C(n-1) w przedziale domkniętym o końcach x0 i x (<x0;x> lub <x;x0>) a wewnątrz tego przedziału ma dodatkowo pochodną n-tego rzędu to istnieje taki punkt c leżący pomiędzy x0 i x, że: f(x)=∑ od i=0 do n-1 (f⁽ⁱ⁾(x₀)/i!*(x-x₀)ⁱ+R_n gdzie Rn=f⁽ⁿ⁾(c)/n!*(x-x₀)ⁿ

Podstawowe twierdzenia Rachunku różniczkowego: 1. Tw. Rolle’a – jeżeli funkcja f(x) spełnia warunki: jest ciągła na <a;b>, jest różniczkowalna w (a;b), f(a)=f(b) to istnieje c€(a;b), że f’(c)=0 2. Tw. Lagrange’a (o wartości średniej) – jeżeli f(x) spełnia warunki: jest ciągła na <a;b>, jest różniczkowalna w (a;b) to istnieje takie c€(a;b), że f’(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)

Ekstrema funkcji: funkcja f(x) określona w pewnym otoczeniu U(x₀) ma w punkcie x₀ maksimum/minimum lokalne jeżeli w pewnym sąsiedztwie g(x₀) tego punktu f(x₀) jest największa/najmniejsza. Maksima i minima lokalne noszą wspólną nazwę ekstrema funkcji. Warunek konieczny – jeżeli f(x) ma w x₀ ekstremum lokalne i ma w tym punkcie pochodną to f’(x)=0. Warunek wystarczający I – jeżeli f(x) jest ciągła w x₀ i jest różniczkowalna w pewnym sąsiedztwie S(x₀) tego punktu to: jeżeli f’(x)<0 dla S_-(x₀) i f’(x)>0 dla S₊(x₀) lub f’(x)>0 dla S_-(x₀) i f’(x)<0 dla S₊(x₀) to w x₀ jest ekstremum. Jeżeli pochodna przechodząca przez x₀ zmienia znak to w x₀ jest ekstremum. Warunek wystarczający II – jeżeli funkcja f(x) jest w pewnym U(x₀) dwukrotnie różniczkowalna f’’(x) jest ciągła w x₀ oraz f’(x₀)=0 i f’’(x₀)≠0 to w x₀ jest ekstremum funkcji: jeżeli f’’(x₀)>0 to w x₀ jest minimum, jeżeli f’’(x₀)<0 – maksimum.

Wypukłość krzywej: 1. W górę gdy dla każdego x€(a;b) f’’(x)<0 2. W dół gdy dla każdego x€(a;b) f’’(x)>0

Punkt przegięcia – jest to punkt, w którego w pewnym sąsiedztwie lewostronnym funkcja y=f(x) jest wypukła w górę i jednocześnie w prawostronnym w dół lub odwrotnie. Punkt w którym funkcja zmienia wypukłość. Warunek konieczny: Jeżeli f(x) ma w x₀ p.p. i ma f’’(x₀) to f’’(x₀)=0. Czyli p.p. szukamy tam, gdzie pochodna drugiego rzędu zeruje się lub nie istnieje. Warunek wystarczający I: jeżeli f(x) jest dwukrotnie różniczkowalna w sąsiedztwie x₀ oraz: f’’(x)>0 dla x€S_-(x₀) i f’’(x)<0 dla x€S₊(x₀) lub f’’(x)<0 dla x€S_-(x₀) i f’’(x)>0 dla x€S₊(x₀) to w x₀ jest p.p. Czyli jeżeli f’’(x) „przechodząc” przez x₀ zmienia znak wtedy jest p.p. Warunek wystarczający II: jeżeli f(x) spełnia założenia: f’’(x₀)=0 i f’’”(x₀)≠0 to w x₀ jest p.p.

Reguła de L’Hospitala: Jeżeli funkcja f(x) i g(x) spełniają warunki: obie są różniczkowalne w pewnym sąsiedztwie x₀, g(x)≠0 w S(x₀), lim przy xx₀ f(x)=lim przy xx₀ g(x)=0 [+/- ∞], istnieje lim przy xx₀ f’(x)/g’(x)=g (g może być skończone lub +/- ∞) to istnieje lim przy xx₀ f(x)/g(x) i jest równa tej liczbie g.

Asymptota pionowa – jest to prosta x=c (c to liczba) jeżeli funkcja f(x) jest określona w pewnym sąsiedztwie punktu c oraz lim przy xc_- f(x)=+/- ∞ i lim przy xc₊ f(x)=+/- ∞

Asymptota ukośna – jeśli f(x) jest określona na (-∞;a) to prosta y=mx+n jest a.u. lewostronną, jeżeli na (a;+∞) – prawostronną. Lim przy x+/- ∞ [f(x)-(mx+n)]=0. Warunek konieczny i wystarczający: muszą istnieć dwie granice właściwe: lim przy x+/- ∞ f(x)/x=m i lim przy x+/- ∞ [f(x)-mx]=n