Granice:

$$\operatorname{}\frac{a}{x} = 0$$

$$\operatorname{}\frac{a}{x} = \infty$$

$$\operatorname{}\frac{a}{x} = - \infty$$

$$\operatorname{}{\frac{\text{sinx}}{x} = 1}$$

$$\operatorname{}{a^{x} = \left\{ \begin{matrix} \infty\ gdy\ a > 0 \\ 0\ gdy\ 0 < a < 1 \\ \end{matrix} \right.\ }$$

$$\operatorname{}{{(1 + \frac{a}{x})}^{x} = e^{a}}\backslash n$$

[f(x) ± g(x)]=f(x) ± g(x) = A ± B

[f(x)*g(x)] = [f(x)][g(x)] = A * B

$$\operatorname{}{\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{A}{B},\ B \neq 0}$$

Asymptoty:

y=ax+b

$$a = \operatorname{}\frac{f(x)}{x}$$

b = [f(x) − ax]

Największa i najmniejsza wartość funkcji:

Wyznaczając wartość największą lub najmniejszą funkcji
w przedziale [a,b]ϵD postepuje się:

1.Wyliczyć miejsca zerowe pierwszej pochodnej i do dalszych
obliczeń bierze się tylko te które zaware są w przedziale [a,b]

2.Obliczyc wartość funkcji w punktach wyznaczonych
w pkt. 1. Oraz w punktach a i b.

3.Z wyliczonych wartości wybrać największa(najmniejszą).

Pochodne:

f(x)	f’(x)
x	1
$$\frac{1}{x}$$	$$- \frac{1}{x^{2}}$$
$$\sqrt{x}$$	$$\frac{1}{2\sqrt{x}}$$
a^x	a^xlna
x^a	ax^a-1
e^x	f’(x)*e^x
logax	$$\frac{1}{\text{xlna}}$$
lnx	$$\frac{1}{x}$$
sinx	cosx
cosx	-sinx
tgx	$$\frac{1}{\cos^{2}x}$$
ctgx	$$- \frac{1}{\sin^{2}x}$$
arcsinx	$$\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$$
arccos	$$\frac{- 1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$$
arctg	$$\frac{1}{x^{2} + 1}$$
arcctg	$$\frac{- 1}{x^{2} + 1}$$
sinhx	coshx
coshx	sinhx

$$(\frac{f(x)}{g(x)})' = \frac{f^{'}\left( x \right)g\left( x \right) - \ f\left( x \right)g^{'}(x)}{g^{2}(x)}$$

(f(x)g(x))’=f’(x)g(x)+f(x)g’(x)

Całki:

∫x^adx $\frac{x^{a + 1}}{a + 1} + c$

W szczególności:

∫dx x+c

$\int_{}^{}\frac{\text{dx}}{x^{2}}$ $- \frac{1}{x}$+c

$\int_{}^{}\frac{\text{dx}}{\sqrt{x}}$ 2$\sqrt{x}$+c

$\int_{}^{}\frac{\text{dx}}{x}$= ln|x|+c

∫a^xdx $\frac{a^{x}}{\text{lna}} + c,$ a>0, a≠1

∫e^xdx e^x+c

∫sinxdx -cosx+c

∫cosxdx sinx+c

$\int_{}^{}\frac{\text{dx}}{\cos^{2}x}$ tgx+c

$\int_{}^{}\frac{\text{dx}}{\sin^{2}x}$ -ctgx+c

$\int_{}^{}\frac{\text{dx}}{x^{2} + a^{2}}$ $\frac{1}{a}$arctg$\frac{x}{a}$+c, a≠0

$\int_{}^{}\frac{\text{dx}}{x^{2} - a^{2}}$ $\frac{1}{2a}$ln|$\frac{x - a}{x + a}$|, a≠0

$\int_{}^{}\frac{\text{dx}}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}}$ arcsin$\frac{x}{|a|}$+c, a≠0

$\int_{}^{}\frac{\text{dx}}{\sqrt{x^{2} + a}}$ ln|x+$\sqrt{x^{2} + a}$|+c

∫sinhxdx coshx+c

∫coshxdx sinhx+c

$\int_{}^{}\frac{f^{'}(x)}{f(x)}$dx ln|f(x)|+c

$\int_{}^{}\frac{f^{'}(x)}{\sqrt{f(x)}}$dx 2$\sqrt{f(x)}$+c

Przez części:

∫u(x)v^′(x)dx = u(x)v(x) − ∫v(x)u^′(x)dx

Badanie przebiegu zmienności funkcji:

x	( − ∞, −1)	-1	( − 1, 0)	0	(0,1)	1	(1, +∞)
f’’(x)	+		−	−	−		+
f’(x)	+		+	0	−		−
f(x)				-4

Liczby Zestpolone:

(a+bj)(c+dj)=(ac-bd)+(ad+bd)j

Postac geo: z = |z|(cosφ + jsinφ)

Postac wykl: z = |z|e^jφ

Wzor Moivre’a:

[|z|(cosφ+jsinφ)]ⁿ = |z|ⁿ(cosnφ+jsinnφ)

Mnożenie macieży: Wiersz*kolumna

Badanie przebiegu zmiennośći funkcji:

1.Okreslenie dziedziny, granic na krańcach przedziałów, asymptot, jej
własności(np. parzystość, okresowość, miejsca zerowe, pkt przecięcia z osią OY).

2.Obliczenie I pochodnej i wyznaczenie przedziałów monotoniczności oraz
ekstemów funkcji.

3.Obliczenie II pochodnej i wyznaczenie przedziałów wypukłości funkcji, punktów przegięcia wykresu.

4. Sporządzenie tabelki i wykresu funkcji.

Obliczanie dł. Łuku krzywej płaskiej:

$dl = \sqrt{1 + ({\frac{\text{dy}}{\text{dx}})}^{2}\text{dx}}$ jezeli y=f(x)

$dl = \sqrt{1 + ({\frac{\text{dx}}{\text{dy}})}^{2}\text{dy}}$ jeżeli x=f(y)

L = ∫_(A)^(B)dl

Objetość: V = π∫_a^by²dx

Pole powierzni bryły: S = 2π∫_a^bydx

Wartość śr funkcji: $f_{sr} = \frac{1}{b - a}\int_{a}^{b}{f\left( x \right)\text{dx}}$

Funkcja f jest ciągła gdy:

1.Istnieje granica f(x)

2. f(x) = f(a)