TW. O POCHODNEJ FUNKCJI ZLOZONEJ Jeżeli u = h(x) posiada pochodna h’(x) natomiast f-cja y = f(u) posiada pochodna f’(u) to f-cja zlozona y = f(h(x)) posiada f-cje okreslona wzorem y’ = f(h(x))’= f’(h(x))*h’(x) TWIERDZENIE O POCHODNEJ F-CJI ODWROTNEJ jeżeli x = g(y) jest scisle monotoniczna i ciagla oraz posiada pochodna g’(y)≠0, to f-cja y=f(x) odwrotna do niej posiada pochodna okreslona wzorem f’(x)=1/g’(y) RACHUNEK ROZNICZKOWY Niech f będzie okreslona w otoczeniu Q(x.) Niech x. + ∆x € Q(x.) ∆y/∆x = f(x.+ ∆x)*f(x.)/ ∆x lim∆x->0 ∆y/∆x = f’(x.) CALKOWANIE PRZEZ PODSTAWIENIE Niech f €C(X), niech ∫f(x)dx F(x) + C jeżeli x = φ (t) φ€C(α,β) to: ∫f(φ(t))φ’(t)dt = ∫f(x)dx = F(φ(t))+C x= φ(t) dx = φ’(t)dt CALKOWANIE CZESCI Jeśli u, v € C(X) to ∫u(x)v’(x)dx = u(x)v(x) - ∫v(x)u’(x)dx dowod: (u(x)v(x) - ∫v(x)u’(x)dx)’ = u’(x)v(x) + u(x)v’(x) – v(x)u’(x) ESTREMUM FUNCJI F-cja jest rozniczkowalna wlasciwa Q(x.)w otoczeniu pt x. ma: 1® max lokalne właściwe, gdy istnieje r>0 dla wszystkich x€(x₀-r, x₀) f’(x)>0 f’(x₀)=0 dla wszystkich x€(x, x.+r) f’(x)<0 ILOCZYN WEKTOROWY Niech ā≠0 i b≠0 , ā≠b Iloczynem wektorowym wetorow ā, b nazywamy wektor ĉ (ĉ=ā×b) o następujących własnościach: ā=0 lub b=0 lub ā||b to ā×b =0 1® ā×b =-( b×ā) 2® α(ā×b)= αα×b = ā×αb 3® ā×(b+ĉ) = ā×b + ā×ĉ sinα = ā*b/|ā||b| = (x*x1)+(y*y1)+(z*z1) / √(x^2+y^2+z^2)*√(x₁^2+y₁^2+z₁^2) DEF ROZNICZKI Niech f będzie okreslona w Q(x₀) niech x₀+∆x€Q(x₀) ∆y/∆x = [f(x₀+∆x)-f(x₀)]/∆x lim∆x->0 ∆y/∆x=f’(x₀) WAR KON IST EKSTREMUM Niech f będzie określone w Q(x₀) Funkcja f ma w pkt x₀ max lok właściwe jeżeli istnieje ∫>0 dla wszystkich x€∫(x₀,∫) f(x₀)<f(x) OBJ OBROT X y=x^2; y=√x; V=∏∫(√x)^2dx-∏∫[(x^2)^2]dx =∏∫xdx-∏∫x^4dx= ∏/2-∏/5=3∏/10 DL OKREGU O PR R X^2+y^2=r^2; x=rcost; y=rsint; t€<0,∏/2>; x’=-rsint; y’=rcost; l=√[r^2*sin^2t+r^2cos^2t]dt=r∫dt=r^(∏/2); l=2∏r POLE ELIPSY [X^2/a^2]+[y^2/b^2]=1; x=acost; y=bsint; t€<0,2∏>; x’=-asint; P=-∫bsint(-asint)dt=ab∫sin^2tdt=ab/2t|=∏ab/4 TW KRONECKERACAPELLEGO jeżeli rzad macierzy A R(A)=r jest rowny rzadowi macierzy C R(c)=r to: 1®uklad posiada rozwiazanie-jest zbierzny, gdy n-r≠0; 2®uklad jest niezależny gdy n-r=0; R(A)≠R(C) TW.ROLLEA Jeżeli 1®f€C(<a,b>); 2®f€D¹((a,b)); 3®f(a)=f(b); to istnieje C€(a,b) f;(C)=0 MACIERZ ODWROTNA Def macierza nazywamy funkcje (odwzorowanie) A:{1,2,3,….,m}×{1,2,3,…,n}->R; dla każdego (i,j) €{…}{..} A(i,j)=a_ij odwrotna: def. Niech A,B€M||(m,n), niech A*B=B*A=I; wówczas macierza odwrotna do macierzy A i oznaczamy symbolem A^-1tzn B=A^-1*; A* A^-1= A^-1*A=I