1.Szeregiem liczbowym nazywamy ciąg sum częściowych. Zapis :x1+x2+...+xn= Sn
Jeśli warunek konieczny zbieżności jest spełniony to nic nie wiemy o zbieżności szeregu. Natomiast jeżeli warunek konieczny zbieżności szeregu nie jest spełniony , to szereg jest rozbieżny.
1.1.Szereg geometryczny : qn zbieżny gdy q < 1 , rozbieżny gdy q > 1. Szereg harmoniczny : nα zbieżny α > 1 , rozbieżny α < 1.
1.2.Kryterium d'Alemberta Σ an lim an+1 / an = g . Jeżeli 0, g , 1 to szereg jest zbieżny, g > 1 szereg jest rozbieżny. Jeśli g = 1 to kryterium nie rozstrzyga o zbieżności lub rozbieżności szeregu.
1.3.Kryterium porównawcze - ze zbieżności szeregu bn wynika zbieżność szeregu an , z rozbieżności....rozbieżność. Sn=a1/1-q
1.4.Kryterium Leibniza - szereg ( - 1) n+1a n jest zbieżny , jeżeli ciąg a n jest malejący , lim an = 0.
2.Ciąg liczbowy - jest to funkcja f: N R
2.1.Ciąg zbieżny będziemy nazywali taki ciąg , który ma granicę skończoną. W przeciwnym razie mówimy o ciągu rozbieżnym.
2.2.Twierdzenie Bolazano - Weierstrassa -Każdy ciąg ograniczony i monotoniczny jest zbieżny.
2.3.Twierdzenie o 3 ciągach lim an= lim (n dąży do niesk.) bn = g , g należy do R an < cn < bn , cn= g
2.4.Zbieżność ciągu w Rk- ciąg xn = Rk jest zbieżny do punktu x0 ⊆ Rk wtedy i tylko wtedy . gdy odległość d ( xn , x0) 0
2.5.Twierdzenie o zbieżności ciągu w Rk - Ciąg xn⊆ Rk jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, jeśli zbieżne są poszczególne współrzędne ciągu xn.
3.Badanie przebiegu zmienności funkcji -dziedzina funkcji - własności f. , które wynikają bezpośrednio ze wzoru np. miejsca zerowe , parzystość, ograniczoność itp. - granice funkcji na końcach przedziału określoności funkcji. asymptoty - badanie pierwszej pochodnej funkcji : monotoniczność , ekstrema - badanie drugiej pochodnej funkcji : wklęsłość, wypukłość , punkty przegięcia - tabela wyników - wykres funkcji.
4.Własność Darboux-w płaszczyźnie OXY każda prosta równoległa do osi OX poprowadzona z wartości przedziału funkcji przecina co najmniej raz wykres funkcji ciągłej.
5.Tw. Rolle'a - z założenia ciągłości funkcji na przedziale< a,b> wynika, że funkcja na tym przedziale osiąga wartość największą najmniejszą.Lecz ponieważ f(a)=f(b)=0, wobec tego wartość najw. i najmn. musi być osiągalna wewnątrz przedziału <a,b>.Jeżeli funkcja spełnia założenie tw.Rolle'a to wewnątrz przedziału <a,b> istnieje przynajmniej jeden punkt . w którym styczna do wykresu funkcji jest równoległa do osi OX.
6.Tw. Lagrane'a Z: f:[a,b]R f ciągła na[a,b],różniczkowalna(a,b)T: V (c należy do (a,b) f'c= f(a)-f(b)/ b-a. Jeżeli funkcja spełnia założenie tw. To istnieje przynajmniej jeden punkt p o współrzędnych P=( c,f(c)), w którym styczna poprowadzona do wykresu funkcji jest równoległa do prostej przechodzącej przez punkty p1=(a,f(a)), p2=(b,f(b)).
7.Indukcja matemat. - jest to własność zbioru liczb naturalnych n=1,n=k,n=k+1..Jeżeli tw. Dotyczące liczb naturalnych jest prawdziwe dla liczb nat. Równa się1 i z tego, ze tw. Jest prawdziwe dla liczby nat. N=k wynika ze jest ono prawdziwe dla liczb nat. N= k+1 , to tw. Jest prawdziwe dla liczby równej n≥k .
8.Ekstrema funkcji - funkcja f przyjmuje w punkcie x0 maksimum(min,) ⇔ istnieje otoczenie punktu x0, tzn U(x0,r) takie ,że dla każdego x należącego do tego otoczenia , tzn x⊆ U (x0,r) zachodzi nierówność f(x0)> f(x), [f(x0)< f(x)]. Warunek konieczny osiągnięcia ekstrem. - jeżeli istnieje f '(x0) oraz w punkcie x0 funkcja f osiąga ekstremum, to f'(x0) = 0. Warunek dostateczny osiągania ekstrem. ( 1 postać). Jeżeli spełniony jest warunek konieczny osiągania ekstrem. funkcji f w punkcie x0 oraz dla x<x0 f ` (x)> 0 i dla x<x0 f'(x)<0 , to w punkcie x0 fun. F osiąga maksimum. Dla x<x0 f ` (x) < 0 i dla x> x0 f ` (x)>0 , to fun f w punkcie x0 osiąga minimum.
9.Pochodna funkcji - def : f: U(x0,r). Pochodną funkcji f w punkcie x0 nazywamy granicę ilorazu różnicowego funkcji , gdy przyrost argumentów dąży do 0.
10.Przestrzeń kartezjańska Rn zbiór złożony z n -elementowych ciągu liczb (x,x1,xn)
11.Przestrzeń afiliczna - jest złożona z ptk(αβδ), jest wyróżniony ptk zerowy 0, mamy zbiór wektorów (αβδ)
12. Iloczyn skalarny : x⊆ Rn y⊆ Rn <x,y>z def = x1⋅y1+ x2y2 .... Rn⋅Rn (x,y) <x,y> ⊆ R .wniosek ρ (x,y) = √ x1-y12+...(xn+yn)2 = √ <x-y, x-y> ρ(x,0) = √ <x,x> .Własności iloczynu skalarnego: dwuliniowość, symetryczność, dodatnia określoność.
13.Wklęsłość - styczna poprowadzona do wykresu f leży nad wykresem f, wypukłość- styczna leży pod wykresem f , f `' (x) > 0 => f jest wypukła na (a,b),
f `'<0=>wklęsła na (a,b). Punkt x0 jest punktem przegięcia funkcji f⇔ w tym punkcie x0 istnieje styczna obustronna do wykresu funkcji f. Jeżeli x0 jest punktem przegięcia funkcji f oraz istnieje f `'(x0) to f `'(x0)=0. Warunek dostateczny x< x0 f `' (x) > 0 i dla x> x0 f'' (x) <0 lub dla x<x0 f''(x)<0 i x>x0 f''(x) >0.
14.Asymptoty pionowe . Prosta l: x = x0 jest asymptotą pionową prawostronną funkcji f wtedy i tylko wtedy ,gdy (lim x↓x0 f ` = +/- nieskończoność oraz x↓x0 f(x)=+/- nieskończoność. Prosta l:x = x0 jest asumpt. Lewostronną gdy lim x↑x0 f ` (x) = +/- niesk. Oraz lim x↑ x0 f(x)= +/- niesk.
15.Asymptoty w + nieskończoności oraz w - niesk. . Prosta l: y =Ax+B jest asymptotą w + niesk. ( aympt. Ukośna prawostronna) A = lim f ` (x) (x +niesk)
B = [ f(x) - Ax] lim ( x +niesk.) W szczególności gdy A=0 tzn B = lim f(x) prosta l: y= jest asymptotą w + niesk.( asumpt. Prawostronna ukośna)
Prosta l:y = Ax+ B jest asymptotą w - niesk, ( lewostronna) A = lim f `(x) B=[ f(x)- A(x)] W szczególności gdy A=0 tzn B= lim f(x) prosta jest asymptotą w - niesk.
16.Twierdzenie de l' Hospitala z. H(x)/ g(x) określona dla x x0 , x nierówne x0 , lim h(x) = lim g(x) =0 lub lim h(x) = lim g(x) = +/- niesk , istnieje lim h'(x)/g'(x) = g twierdzenie: lim h(x)/g(x)= g
17. Wielomian Taylora - rzędu n dla funkcji f w punkcie x0 nazywamy wielomian Wn(x) = Ε n, k=o f(k) (x0)/k ! razy(x- x0)k
18.Def. szeregu potęgowego x0 , ai, i = 0,1,2,... suma k=0 nieskonczonosc AK(x-x0)k szereg potęgowy jest szczególnym przypadkiem ogólniejszego pojęcia szeregu funkcyjnego suma i=0 fi (x) gdzie fi(x) - ciąg funkcji o jednakowej dziedzinie. Przedział zbieżności szeregu jest to zbior, n aktorym szereg pot. Jest zbieżny
18.Funkcja pierwotna funkcji f(x) , x należy(a,b) nazywamy funkcję f (x) taka ze F ` (x) = f(x). Jeżeli istnieje przynajmniej jedna funkcja pierwotna dla funkcji f (x) to istnieje ich nieskończone wiele, różnią się one o stałą.
19.Całka nieoznaczona - z funkcji f(x) dla x należącego (a,b) nazywamy zbiór wszystkich funkcji pierwotnych F(x) funkcji f(x).
20. Całka oznaczona w sensie Reimanna z funkcji f ciągłej na przedziale domkniętym i ograniczonym [a,b] nazywamy granice ciągu sum całkowych R , gdy tolerancja (n-tego) podziału dązy do zera, granica ta nie zalezy od sposobu podzialu przedzialu [a,b] na podprzediały i wyboru punktów w podp.
21.Konstrukcja sum całkowych R. 1.[a,b] przedzial domk.i ogran 2.f:[a,b]R f- ciągła 3.Przedział [ab] dzielimy nieskonczoną liczbe punktow na n podprzedzialow a= x0<x1<x n-1 = b 4.Tolerancją n-tego podzialu nazywamy maksymalną długosc podprzedziału 5. Każdym z podprzedziałów wybieramy punkt ξi należy [ xi , xi+1] i=0,1,2 6.Tworze nastepujaca sume δn = Ε n-1, i=0 f (ξi) razy delta x i , n-ta suma calkowa R w ptzyblizeniu jest polem pod wykresem funkcji f, f(x)>0. 7. Przypowyższej kontr. Dowidzi się ze istnieje skonczona granica ciągu sum całk.R. tzn lim δn, gdy tolerancja podziału dązy do 0. Granice te nazywamy całką oznaczoną z funkcji f na przedziale [a,b].
22.Całka oznaczona-pole pod wykr. Funk. Jeżeli f jest ciągła na[a,b] to istnieje całka ζ a,b, f(x) dx. D = całka f(x)-g(x) dx.
23.Równaniem różn. Rzędu n nazywamy zależność F 9 x, y(x),y'(x)..)=0.Równ. różniczkowym rzedu 1 w postaci normalnej niewiadomą funkcją x(t), t należy D nazywamy zależność 1. y ` = f(t,x) ; (t,x) należy do G zawiera się w R2 f:GR .
24.rozwiązanie zbadania czy jest ekstremum w punkcie - f(x,y)=3x3-2x5y-8x+8 punkt Po=(2,4) δ f/ δ x= 9x2 -10y-8 ; δ f / δ y =-10x. Warunek dostateczny- δ2 f / δ x2= (9x2-10y-8) ` x =18x=36. δ 2 f/ δy 2= (-10x)' y= 0. δ 2f /δ x δy = (-10x)' y = -10. W(2,4) = 36* 0 -(-10)= 10 minimum(36), jest ekstremum.
25.wypukłość i wklęsłość f(x) = (x - 2) 1/ e do potęgi 2-x f ` (x)= e do potęgi 2-x + ( x-2) e do potęgi 2-x / e do potęgi 2-x i do potęgi 2 = 1/ e do potęgi 2-x + x-2/ e do potęgi 2-x. Liczę f `' (x)= e do potęgi 2-x + 1/e do potęgi 2-x + x-2/e do potęgi 2-x = 2e do potęgi x-2 + (x-2) e do potęgi x-2 = e do potęgi x-2 razy x = 0 f `'<o -wklęsłość, f> 0 wypukłość.
26.Całka podwójna - z funkcji ciągłejF9x,y) na obszarze D domkniętym i ograniczonym nazywamy granicę ciągu sum całkowych Reimanna , gdy tolerancja podziału obszaru D na podobszary dąży do zera, przy czym granica ta nie zależy od sposobu podziału obszary D na podobszary i sposobu wyboru punktów obszaru.
27.Obszar normalny - względem osi OX lub OY jeżeli każda prosta prostopadła do osi ... przechodząca przez wszystkie punkty wewnętrzne obszaru D przecina brzeg obszaru dokładnie w 2 punktach.
28.Tw. interacji całki podwójnej Z. D- obszar domknięty i ograniczony D należy do R2, F: D R , ciągła ,
29.Zadanie obliczyc I= SS 2 xydxdy D: y=x, x=1 , y=0. obszar normalny OX 0<x<1 ; 0<y<x. I= S1,0 [ S(x,0) sxydy]dx= S[ 2x0,5 y2]x0= S[ x x2 - x0]dx= S x3 dx = [1/4 x4]10= ¼.
30 zad. D: y=√ x y=1/x x=2 . Dox: 1<x<2 1/x <y<√ x I= S[xy + 1/2 y2]dx= S[ x√ x + 1/2x - x razy 1/x - ½ razy 1/x2] dx = S[x3/2 + 1/2x - 1 - 1/2x-2] dx= [ 2/5x5/2+ ½ razy ½ x2-x + 1/x]=[ 2/5 x2√ x + 1/4x2-x + 1/x ]
31. obliczyć D : y = arc sinx , y = pi/2 x= 0 d OY ;0<y< pi/2 0<x<siny D= SSdxdy= S[Sdx]Dy= S[x] Dy = S( siny - o ) Dy = [-cosy] = -cospi/2 + cos0 = 1
32.Równanie różniczkowe - y' - y/x = x3 y'= y/x Dy/dx = y/x Sdy/y = Sdx/x ln [y] =ln[x]+ln[c1] ln[y]=ln[c1x] [y]=[c1x] y= cx c=+/- c
y= c(x) x y'=c ` (x)x +c(x) c'(x)x + c(x) - c(x)x/x = x3 c'(x)= x2 c(x) = Sx2dx= 1/3x3 + A y= (1/3x3 + A) x
33.RR. ln y = - ln x + ln c1 lny = ln 1/x + ln c1 ln y = ln c1/x y = c1/x y=c/x y=c(x)/x y ` =c(x)x - c(x) / x2 c'(x)/x - c(x)/x2 + c(x)/x2 = x3
c'(x) = x4 c(x) = S x4dx = 1/5 x5 + A.
34.Szereg potęgowy: f(x) = cosx f'=-sin, -cos, sin,cos, - sin, - cos, (cos x) n f(0) = 1,0,-1,0,01,0,-1, f(2n +1) (0) = 0 f(2n)= (-1)n
35.szereg potęgowy f(x)= sinx , cos,-sin,-cos, sin, cos-sin, (sinx)n 0,1,0,-1,0,1,0,0,f(2n+1) x = )-1) n
36.Pochodne: c' =0 (xr)' =r x r-1 ; (√ x) `= ( x1/2) ` = 1/2√x ; (1/x) ` = (x-1) ` = -1/x2 ; ex ` =ex; (ax)' = ax lna ; (lnx)'=1/x; (logax)'= 1/xlna ; sinx'=cosx;
cos x ` = - sinx; tgx ` = 1/ cos2x; ctg x' = - 1/sin 2x; sinhx' = coshx; coshx'=sinhx; tghx' = 1/cosh2x; ctg h x'= - 1/cinh2x ; arc sinx ` = 1/√ 1-x2
arc cos x'= -1/√1-x2 ; arctg ` = 1/1+ x2 ; arcctgx'= -1/1+x2.
37.działania na pochodnych : [f(x) razy g(x)]' = f' (x) g(x) + f(x) g ` (x) f(x)/g(x) ` = f'(x) g(x) - f(x) g ` (x) / g(x)2 f{g(x)} ` = f'(gx)⋅g'x.
38. całki - S1 dx= x+ c ; S exdx= ex+c ; S x dx = ½ x2+c ; Ssin dx = - cos + c, S c = c ; Sxrdx= 1/ r+1 xr+1 ; S 1/x =lnx ; S ax=ax/lna ;S sinx = - cosx;
Scos x= sinx; S 1/cos2x= tgx ; S-1/sin2x = ctgx ; sinhx= coshx ; coshx = sinhx ; S 1/cos2 hx= tghx ; S- 1/sin2hx = ctg;S 1/√1-x2 = arc sinx ; S- a/√1-x2= arc cos
S1/1+x2 =arctg; S- 1/1+x2= arc ctg .
39.szeregi : 1/ n 5n <1/5n - zbieżny q<1 ; 1/n2 sin1/n szereg 1/n2jest zbieżny bo α=2>1 tg 1/√n - szereg 1/√n jest rozbieżny ;
ln n / n 2 = √ n /n2 = 1/ n1,5 ; (1 - 1/n)n = e ; e-1/x2 = e do nieskonczonosci = 0
40. Rown. Różniczkowe - x'(t) = 2x/t dx/dt = 2x/t dx/x= 2/t dt Sdx/x= S2/t dt lnx= 2 lnt + ln c1 lnx = ln t2+ ln c1 lnx= ln (c1t2) x= c t2 c=+/- c1
x(t) = ct2 rozw ogolne, t należące do ( 0. niesk) x należy do R , dla t = 0 x(t)=0
41.całki: S x e 2x= f=x f' = 1 g = ½ e2x g' e2x ; S x3√ 5+x4 t= 5+x4, S ln( 1+ x2) f=ln(1+x2) f' = 2 x /1+x2, g +x. g'= 1 ‚