Liczby Zespolone

Postać algebraiczna

z=a+bi=(a,b) a-rzeczywista, b-urojona

ϵR i

2

=(-1)

Dodawanie

Z

1

+Z

2

=(a1+a2)+i(b1+b2);

Odejmowanie

Z

1

+Z

2

=(a1-a2)+i(b1-b2);

Mnożenie

Z

1

+Z

2

= (a1+b1i)(a2+b2i);

Dzielenie

; p

ostać trygonometryczna

:

Z=a+bi=r(cosφ+isinφ)=r

-

postać wykładnicza

,

r-

moduł=

√

φ-argument;

Wzór Eulera

=cosφ+isinφ;

Mn

ożenie

(r1*r2)

( )

=

(r1r2)(cos(φ1+φ2)+isin(φ1+φ2))

;

Dzielenie

=

(

)

( )

=

(

)(cos(φ1-

φ2)+isin(φ1-φ2));

potęgowanie

=

( )

;

pierwiastkowanie

√

√

(

)

√

( (

) (

) gdzie k=0,1,….,n-

1

Macierze

def

. Iloczynem kartezjańskim AxB

nazywamy zbiór wszystkich par

uporządkowanych {(a,b): aϵA, bϵB} –kolejność

jest ważna!

def

Macierzą o m-wierszach i

kolumnach(o elementach rzecz, zesp}

nazywamy dowolną funkcję f:

{1,2,…..,m}x{1,2,….,n}→R,(Z). Funkcja ta

każdej parze liczb naturalnych (i,j) przypisuje

liczbę rzeczywistą(zespoloną) 1≤i≤m, 1≤j≤n, a

ij

.

Funkcję tą w sposób jawny można przedstawić

w postaci tablicy o m-wierszach i n-kolumnach.

Element a

ij

leży w i-tym wierszu i j-tej

kolumnie

macierze oznaczamy

A,B…. lub A

mxn

Uwaga

:

ᶆ

mxn

(R,Z)-

zbiór

wszystkich macierzy o m-wierszach i n-

kolumnach i el rzecz(zesp)

Działania w zbiorze

macierzy

:

1) Dodawanie macierzy

(a

ij

)

mxn

,(b

ij

)

mxn

ϵ ᶆ

mxn

(R,Z); (a

ij

)

mxn

+(b

ij

)

mxn

=(c

ij

)

mxn ;

⋀

Własności dodawania

a)

⋀

{(A+B)+C=A+(B+C)}

–łączność;

b)

⋀

{A+B=B+A}-

przemienność;

c)

⋁

⋀

{A+Ø=Ø+A=A)-macierz

zerowa; d)

⋀

⋁

( )

{A+(-A)=(-

A)+A=Ø}-macierz przeciwna

2)Mnożenie

macierzy przez skalar

Niech k

ϵR (skalar),

(a

ij

)

mxn

ϵᶆ

mxn

(R,Z)

def.

k*(a

ij

)

mxn

=(b

ij

)

mxn

, gdzie

⋀

{b

ij

=k*a

ij

}

Własności mnożenia

macierzy przez skalar

: k,k

2

,k

3

ϵR, A,Bϵᶆ

mxn

a)*(k

1

+k

2

)A=k

1

A+k

2

A; b)*k(A+B)=kA+KB;

c)*(k

1

*k

2

)A=k

1

(k

2

A); d)*1*A=A

; Dowolny zbiór z

działaniem: A(+) spełniający warunki a,b,d

nazywamy

grupą, jeśli spełnia a,b,c,d grupą

abelową; Zbiór A(+,*) spełniający warunki

a,b,c,d,a*,b*,c*,d*

to przestrzeń liniowa nad

ciałem liczb rzeczywistych

3)Mnożenie

macierzy

mamy (a

ij

)

mxk

ϵᶆ

mxk

(R,Z),

(b

ij

)

kxn

ϵᶆ

kxn

(R,Z)

def.

(a

ij

)

mxk*

(b

ij

)

kxn

=(c

ij

)

mxn

, gdzie

⋀

{c

ij

=∑

a

is

*b

si

}, (c

ij

=a

i1

b

1j

+ a

i2

b

2j

+

a

ik

b

kj

) UWAGA

̅=[a

1

,a

2

,…,a

n

]

ϵR

n

,

̅==[b

1

,b

2

,…,b

n

]

ϵR

n

, Iloczyn skalarny

̅

̅=a

1

b

1

+a

2

b

2

+a

n

b

n

, element c

ij

leżący w i-tym

wierszu i j-

tej kolumnie macierzy będącej

iloczynem macierzy (a

ij

)

mxk

*(b

ij

)

kxn

jest równy

iloczynowi skalarnemu i-tego wiersza pierwszej

macierzy i j-tej kolumny drugiej macierzy.

Wybrane własności iloczynu

macierzy

:1)(AB)C=A(BC)-

łączność; 2)mnożenie

nie przemienne(na ogół AB≠BA)

3)A(B+C)=AB+AC-

rozdzielność względem

dodawania 4)k

ϵR, k(AB)=(kA)B=A(kB)

5)(A*B)

T

=B

T

*A

T

6)IA=AI=A, uwaga:

A,B

ϵᶆ

nxn

(R,Z);

def.(Transponowanie macierzy)

((a

ij

)

mxn

)

T

=(b

ij

)

nxm

, gdzie

⋀

{b

ij

=a

ij

}

def. I

nxn

-

macierz jednostkowa[kwadratowa]

I

nxn

=(a

ij

)

nxn

,

gdzie

⋀

a

ij

{

przykład I

2x2

Wyznaczniki

def.(wyznacznik)

wyznacznikiem

macierzy kwadratowej nazywamy funkcje:

det:

ᶆ

nxn

(R,Z)→R,(Z) określoną indukcyjnie:

1)det[a

11

]=a

11

2)det[

]

nxn

=a

11

A

11

+a

12

A

12

+….+a

1n

A

1n

, gdzie A

ij

=(-1)

i+j

M

ij

, A

ij

– dopełn. algebr.

el.(a

ij

), M

ij

-

minor dopełniający elementu a

ij

, czyli

wyznacznik stopnia n-

1, który powstał z

naszego wyznacznika przez wykreślenie i-tego

wiersza i j-tej kolumny.

Przykład

det[

]=|

|=

+

= a

11

(-

1)

1+1

M

11

+ a

12

(-1)

1+2

M

12

= a

11

|a

22

|+a

12

(-

1)|a

21

|=a

11

a

22

-a

12

a

21

.

Własności wyznaczników

1) |A

T

|=|A| (jeżeli mamy tw. tyczące wierszy

wyzn. to analogiczne tw. można sformuować

dla kolumny) 2)

Jeżeli jeden wiersz bądź

kolumna składa się z samych zer to |A|=0

3)

Jeżeli zamienimi miejscami dwa wiersze bądź

dwie kolumny, to wartość wyznacznika zmieni

się na przeciwną 4)Jeżeli dwa wiersze lub

kolumny wyznacznika są identyczne to |A|=0

5)

Jeżeli dwa wiersze lub kolumny wyznacznika

są proporcjonalne(w

i

=k*w

j

) to |A|=0 umowa:

k

1

,k

2

,….,k

n

ϵR(skalar), v

1

,v

2

,…,v

n

ϵV(wektory) to

k

1

v

1

+…+k

n

v

n

nazywamy liniową kombinacją

wektorów v o współczynnikach k. Linie

wyznacznika możemy potraktować jako wektory

[a

i1

,a

i2

,…,a

in

]

ϵR

4

6)J

eżeli jedna kolumna lub

wiersz wyznacznika jest liniową kombinacją

innych wierszy lub kolumn to |A|=0 7)

Jeżeli do

jednej kolumny lub wiersza wyznacznika

dodamy linową kombinację innych wierszy lub

kolumn to wartość wyznacznika nie ulegnie

zmianie

8)(Twierdzenie Laplace’a)

→||

|

|

=a

i1

A

i1

+a

i2

A

i2

+…+a

in

A

in

,

gdzie A

ij

-

dopełnienie alg. a

ij

, A

ij

=(-1)

i+j

M

ij

, M

ij

-

minor dopełniający el. a

ij

(Tw. można stosować

analogicznie dla kolumn(bo |A

T

|=|A|

przykład

[

]= 1(-1)

1+1

[

]+0A

12

+0A

13

=-4

uwaga(metoda obliczania wyznaczników) za

pomocą operacji na wyznacznikach nie

zmieniających jego wartości doprowadzamy do

sytuacji, w której w wybranej kolumnie lub

wierszu wyznacznika pojawia się duża ilość zer

i stosujemu tw. Laplace’a

Macierz odwrotna

def.

macierz nieosobliwa: |A|≠0, osobliwa: |A|=0

Tw.

Jeżeli macierz A jest nieosobliwa, to

istnieje macierz odwrotna A

-1

: A*A

-1

=A

-1

*A=I,

Procedura wyznaczania macierzy odwrotnej 1)

|A|≠0 2) A

T

3) (A

T

)

D

– macierz dopełnień alg.

macierzy trans. 4) A

-1

=

*(A

T

)

D

Układ równań Kramera def.

układ złożony z m-

równań liniowych o n-niewiadomych:

a

11

x

1

+a

12

x

2

+…+a

1n

x

n

=b

1

a

21

x

1

+a

22

x

2

+…+a

2n

x

n

=b

2

(*)

……………………….

a

m1

x

1

+a

m2

x

2

+…+a

mn

x

n

=b

m

gdzie: x1,x2,….,xn – niewiadome

⋀

a

ij

ϵR

b

j

ϵR zapisujemy AX=B, gdzie

A=[

] macierz układu X=[

]

kolumna niewiadomych B=[

] kolumna

wyrazów wolnych

def.

rozwiązaniem układu(*)

nazywamy każdy układ n liczb: [x

1

u

,x

2

u

,…, x

n

u

]

takich, że po podstawianiu ich za niewiadome:

x

i

u

→x

i

układ z(*) zmieni się w układ tożsamości.

Rozwiązać układ(*) oznacza znaleźć wszystkie

jego rozwiązania.

def.

Układ równań (*)

nazywamy układem Kramera  gdy spełnia

warunki 1)

m=n (ilość równań jest taka sama

jak niewiadomych 2) wyznacznik macierzy

układy jest ≠ 0

Tw.

Układ Kramera ma

dokładnie jedno rozwiązanie dane wzorami

x

i

=

, gdzie W=|A|- wyznacznik macierzy

układu W

i

-

wyznacznik który powstał z

wyznacznika W przez zastąpienie i-tej kolumny

kolumną wyrazów wolnych B

Przykład

{

m=2, n=1 1)m=n |A|=|

|=-

3≠0=W 2)|A|≠0 czyli układ Kramera

x=W1/W=0/3=0 y=W2/W=-3/-

3=1 rozwiązanie

[0,1]

Rozwiązywanie

układów równań Kramera

za pomocą macierzy odwrotnej zapisujemy

układ w postaci AX=B i dalej 1)obie strony

mnożymy przez A

-1

lewostronnie wychodzi

IX=A

-1

B gdzie I to jednostkowa i możemy ją

pominąć

Rząd macierzy def.

Rzędem macierzy

nazywamy najwyższy ze stopni minorów

różnych od zera – zawartych w tej macierzy

rz(A) wyznaczanie rzędu macierzy:

Tw.

przy

szukaniu rzędu macierzy poruszamy sięod

wyznaczników mniejszych stopni do wyższych

stopni, jeżeli znajdziemy wyzn. różny od 0

stopnia k, zaś wszystkie zawierające go

wyznaczniki stopnia k+1 są równe zero, to rząd

macierzy równa się k

operacje elementarne na

macerzach

1.

zamiana miejscami dwóch

wierszy/kolumn macierzy 2.

pomnożenie

kolumny/wiersza przez k≠0 3.dodanie do

wiersza/kolumny kombinacji liniowej innych

wierszów/kolumn

Tw.

Operacje elementarne nie

zmieniają rzędu macierzy

def

. mówimy, że

macierz A=(a

ij

)

mxn

ma posta

ć diagonalną jeżeli

⋀

{a

ij

=0} [

]

Tw.

Za pomocą operacji elementarnych każdą

macierz można doprowadzić do postaci

diagonalnej

Tw.

Rząd macierzy w postaci

diagonalnej jest równy ilości niezerowych

elementów tej macierzy

Uklad równań liniowych sytuacja ogólna

mamy

układ m-równań liniowych o n-niewiadomych

a

11

x

1

+a

12

x

2

+…+a

1n

x

n

=b

1

a

21

x

1

+a

22

x

2

+…+a

2n

x

n

=b

2

(*)

……………………….

a

m1

x

1

+a

m2

x

2

+…+a

mn

x

n

=b

m

A=[

] macierz układu

U=[

] macierz poszerzona o

kolumnę wyrazów wolnych B=[

]

Twierdzenie(Kionecker-Capelli

Układ(*) ma

rozwiązania  rz(A)=rz(U) dodatkowo jeśli

rz(A)=rz(U)=k to 1) k=n

– układ ma jedno

rozwiązanie 2) k<n – układ ma nieskończenie

wiele rozwiązań

Elementy rachunku

wektorowego

def.

wektorem nazywamy

uporządkowaną parę punktów przestrzeni:

(A,B)=

. długość wektora - długośc

odcinka AB:

, wektor Θ – wektor zerowy

A=B

def

. Równość wektorów

= :

1)

wektory te mają tą samą długość 2)mają ten

sam kierunek(są równoległe) 3)mają ten sam

zwrot

def.

sumą wektorów

̅+ ̅ nazywamy

wektor

̅ uzyskany w taki sposób: do końca

wektora

̅ przykładamy początek wektora ̅.

suma to wektor którego początek to początek

̅

a koniec koniec

̅ lub inaczej zasada

równoległoboku

własności dodawania wektorów

V-

zbiór wszystkich wektorów

) ⋀

̅

{

̅+ ̅= ̅+ ̅} przemienność

) ⋀

̅ ̅ ̅

{(

̅+ ̅)+ ̅= ̅( ̅+ ̅) łączność

) ⋁

⋀

̅

{

̅+Θ=Θ+ ̅= ̅} wektor zerowy

)⋀

⋁

( )

̅̅̅

̅

{

̅+(- ̅)=(- ̅)+ ̅=Θ wektor

przeciwny ogólnie A(+) mający własności 2,3,4

to grupa, V(+) grupa przemienna z wł 1,2,3,4 to

przemienna-abelowa

iloczyn wektora i liczby

k

ϵR(skalar)

̅ϵV(wektor)

def.

k

̅= ̅k= ̅ϵV a)

|k

̅|=| ̅|=|k|*| ̅| b) k ̅|| ̅ – kierunek c) k>0 zwroty

̅,k ̅ takie same k<0 przeciwne

własności

̅, ̅ϵV, kϵR

1)*(k

1

+k

2

)

̅=k

1

̅+k

2

̅

2)*k(

̅+ ̅)=k ̅+k ̅ 3)*(k

1

k

2

)

̅=k

1

(k

2

̅) 4)*1 ̅= ̅

Zbiór V(+,*) z własnościami 1,2,3,4,1*,2*,3*,4*

to tzw

przestrzeń liniowa nad ciałem liczb

rzeczywistych

Iloczyn skalarny macierzy def.

̅ₒ ̅={

̅ | ̅| ( ̅ ̅) ̅ ̅

̅

̅̅̅̅̅̅̅̅

własności

1)

̅ₒ ̅= ̅ₒ ̅ - przemienność(nie ma łączności)

2)

̅ₒ( ̅+ ̅)= ̅ₒ ̅+ ̅ₒ ̅ rozdzielność wzgl

dodawania 3) k(

̅ₒ ̅)=(k ̅)ₒ ̅= ̅ (k ̅)

4)

̅ ̅=| ̅|| ̅|=| ̅|

2

=> |

̅ =√ ̅ ̅ dł wektora ̅

5)warunek prostopadłości wektorów(

̅ₒ ̅=0),

warunek równoległości

⋁

{

̅=k ̅ i ̅=k ̅}

gdzie

̅, ̅≠Θ to ̅|| ̅  ⋁

{

̅=k ̅}

̅̅̅̅ gdy

A(xp,yp,zp), B(xk,yk,zk) to

̅̅̅̅=[xk-xp,yk-yp,zk-

zp]

własności

̅=[ax,bx]=axi+ayj

̅=[bx,by]=bxi+byj

̅ₒ ̅=axbx+ayby1) ̅ₒ ̅=axbx+ayby

2)|

̅|=√ ̅ ̅=√

długość wektora

3)cos<(a,b)=

̅ ̅

̅ ̅

4)

̅+ ̅=[ax+bx,ay+by,az+bz]

5)k

̅=k[az,ay,az]=[kax,kay,kaz] 6)warunek

prostopadłości wektorów axbx+ayby+azbz=0

7)warunek || wektorów

⋁

[ax,ay,az]=[kbx,kby,kbz]<=>{

}

Iloczyn wektorowy def.

Iloczynem wektorowym

uporządkowanej pary niezerowych i

nierównoległych wektorów

̅, ̅: ̅x ̅ nazywamy

wektor: 1)|

̅x ̅|=| ̅|| ̅|sin<(a,b)-długość 2) ̅x ̅

jest prostopadłe do

̅ i ̅ – kierunek 3)trójka

wektorów (

̅, ̅, ̅x ̅) jest zgodnie skrętna z

przyjętym układem współrzędnych(reguła

prawej dłoni) jeżeli

̅|| ̅ lub ̅=Θ i ̅=Θ to ̅x ̅=Θ

własności

1)

̅x ̅=- ̅x ̅ - antyprzemienność

2)

̅x( ̅+ ̅)= ̅x ̅+ ̅x ̅ rozdzielnośc wzgl doda.

3)k(

̅x ̅)=(k ̅)x ̅= ̅x(k ̅) 4) ̅x ̅=|

|

5)|

̅x ̅|= pole równoległoboku

iloczyn mieszany

def.

iloczynem mieszanym uporządkowanej

trójki wektorów

̅, ̅, ̅ nazywamy liczbę

[

̅, ̅, ̅]=( ̅x ̅)ₒ ̅= ̅ ( ̅x ̅)

własności

[

̅ ̅ ̅]=[

] 2) |[ ̅ ̅ ̅]|=V

równoległoboku abc, 1/3 ostrosłupa, 1/6

czworościanu 3) wektory

̅ ̅ ̅ są

współpłaszczyznowe [

̅ ̅ ̅]=0

równanie

ogólne płaszczyzny:

Ax+By+Cz-D=0;

równanie

kanoniczne prostej:

(

x-xo)/m=(y-yo)/n=(z-

zo)/p=t;

równanie parametryczne prostej

{

def.

Dwie proste nieprzecinające

się i nierównoległe to proste skośne

def

(kula

otwarta o środku w po i promieniu r – otoczenie

punktu Po o promieniu r)

K(Po,r)=0(Po,r)={P

ϵR

n

: ρ(P,Po)<r}

def.

Sąsiedztwo punktu Po o promieniu r:

K(Po,r)=0(Po,r)-{Po}

Ekstrema lokalne funkcji

dwu zmiennych

def.

Mówimy, że funkcja

z=f(X), X

ϵR

n

ma w punkcjie Xo ekstremum

lokalne(maks, min)

⋁

⋀

( )

( )

f(X)≤(≥)f(Xo)

def.

Mówimy, że funkcja z=f(X),

X

ϵDcR

4

jest klasy C

D

n

jeżeli ma w D wszystkie

pochodne ciągłe aż do rzędu n-tego włącznie

f(X)

ϵC

D

n

Tw.

Jeżeli funkcja z=f(x,y)ϵC

D

1

ma w

punkcjie Po(xo,yo) ekstremum lokalne,

Po(xo,yo)

ϵD to:

( )

( )

( )

( )

} ( ) warunek

konieczny ale niewystarczający aby w (xo,yo)

występowało ekstremum lokalne

def.

Punkt(xo,yo) spełniający warunki (*) nazywamy

punktem stacjonarnym Tw

. Jeżeli funkcja

z=f(x,y)

ϵC

D

2

w punkcie stacjonarnym (xo,yo)

spełnia warunek: I

W(xo,yo)=W(x,y)|

(xo,yo)

=

|

||

(xo,yo)

>0, to w

punkcie stacjonarnym(xo,yo) występuje

ekstremum lokalne: a)

|

(xo,yo)

>0 minimum

lokalne b)

|

(xo,yo)

<0 maksimum lokalne II

W(xo,yo)<0 to w pkt stacjonarnym nie

występuje ekstremum lokalne III W(xo,yo)=0 nie

wiadomo czy występuje ekstremum

Przykład

z=x

2

+y

2

1)punkty stacjonarne

}

}

}=> x=0, y=0 P(0,0) – pkt stacjonarny

2)sprawdzić warunek wystarczający

=2,

=0,

=0,

=2 W(x,y)=|

||

(0,0)

=4>0

jest ekstremum

, ponieważ

=2 to w pkt

stacjonarnym (0,0) występuje minimum lokalne

Całka podwójna

Całka podwójna w

prostokącie:

Mamy w prostokącie P:

}

określoną funkcje z=f(x,y) ograniczoną.

Oznaczmy przez {π

n

} podział prostokąta P na n

podprostokątów:∆x1,∆x2,…,∆xn:

:∆x1u∆x2u…u∆xn=P, poszczególne

podprostokąty mogą mieć co najwyżej wspólny

brzeg. W każdym z podprostokątów ∆xi

wybieramy punkt pośredni Aiϵ∆xi. Oznaczmy

przez |∆xi| pole i-tego podprostokąta. Tworzymy

sumy całkowe

Sn=f(

(A1)|∆x1|+f(A2)|∆x2|+…+f(An)|∆xn|)

def.

Oznaczmy przez δu średnicę podziału π

n

: δu to

największa z długości przekątnych

podprostokątów ∆xi

def.

Mówimy, że ciąg

podziałów{π

n

} jest normalny jeżeli

def.(Całka podwójna)

Jeżeli dla każdego

ciągu normalnego podziałów {π

n

} prostokąta P

istnieje skończona granica ciągu sum

całkowitych:

zawsze taka sama,

niezależnie od wyboru ciągu normalnego{π

n

} i

wyboru punktów pośrednich Ai, i=1,…,n, to

granicę tą nazywamy całką podwójną funkcji

z=f(x,y) w prostokącie P i

piszemy

∬ ( )

=

. o funkcji

z=f(x,y) mówimy, że jest całkowalna(w sensie

Biermanna) w prostokącie P. Jeżeli funkcja

z=f(x,y) jest ograniczona w obszarze

ograniczonym D to: Zamykamy obszar D w

prostokącie P i określamy funkcje

f*(x,y)={

( ) ( )
( )

def

∬ ( )

=

∬

(x,y)dxdy

Tw

. Jeżeli

funkcja z=f(x,y) jest ciągła w prostokącie

P:a

≤x≤b, c≤y≤d, to

∬

( )

=

∫ (∫ ( ) )

∫ (∫ ( ) )

zamiana

całki podwójnej na iterowaną Przykład

∬

(

) =∫ (∫ (

+2y)dy)dx=

∫ (

)

0

2

dx=

∫ (

*2+4-0)dx=(

+4x)|

0

1

=2/3+4-

0=14/3

def.(obszar normalny względem osi OX)

Obszar postaci

( ) ( )} f1(x),f2(x) są

ciągłe xϵ<a,b> nazywamy obszarem normalnym

względem osi OX analogicznie względem osi OY

Tw.

Jeżeli funkcja z=f(x,y) jest ciągła w obszarze

normalnym

( ) ( ), to

∬

( )

( ) ( )

∫ (∫

( ) )

( )

( )

Przykład

}

∬

( ) ∫ (∫ )

∫ (

|

2

x^2

)dx=

∫ (

) (

)|

1

0

=1/8-

1/12

własności całki podwójnej def. obszar

regularny –

można go rozbić na skończoną ilość

podobszarów normalnych wzgl. poszczególnych osi.

Tw.

Jeżeli funkcje z=f1(x,y), f2(x,y) są całkowalne

w obszarze regularnym D, to: 1),2)

∬ [ ( )

( )] ∬ ( )

∬ ( )

3)

∬ ( )

∬ ( )

4)Jeżeli obszar D

rozbijemy na dwa podobszary D=D1uD2, gdzie D1 i

D2 nie mają wspólnych pkt wewnętrznych:

∬ ( ) ∬ ( )

∬ ( )

Zastosowania całki podwójnej

1)Obliczanie pola

figur płaskich: Jeżeli D jest obszarem płaskim

regularnym, to |D|=

∬

- pole obszaru D

Przykład

D:

} |D|=∬

∫ (∫ ) ∫ (

|

x

x^2

)dx=

∫ (

)

(

)|

1

0

=1/2-1/3=1/6 2) Objętość brył

( )

( ) ( )

}D-obszar płaski regularny

f1(x,y), f2(x,y) są ciągle w obszarze D. V jest od

góry ograniczony powierzchnią z=f2(x,y) od dołu

z=f1(x,y) z boku pow. walcową o tworzących

równoległych do osi OZ. |V|=

∬ [ ( )

( )]

Przykład

V:

}

|V|=∬

(

)

∫ (∫ (

) )

=

∫ (

)|

2

0

dx=

∫ (

) (

)|

1

0

=2/3+8/3=10/3 3)Obliczanie pola płata

powierzchni

{

( )

( )

(f(x,y)ϵC

n

D

ma ciągłe pochodne cząstkowe aż do

rzędu n-tego włącznie w obszarze D |S|=

∬ √ (

)

(

)

dxdy

Przykład

(x,y)ϵD:

} z=2x+3y+7 |S|=∬ √

Równania różniczkowe

def. Równanie o

zmiennych rozdzielonych

y’=

( )
( )

, f(x),g(x) są ciągłe

odp w przedziałach a<x<b, c<y<d, g(y’)≠0 przy

powyższych założeniach równanie to ma

rozwiązania

∫ ( ) ∫ ( ) tzn. przez

każdy punkt obszaru a<x<b, c<y<d} przechodzi

dokładnie jedno rozwiązanie należące do tej rodziny

krzywych.

Przykład

:

y’=1, x≠0, rozdzielamy

zmienne

=1 /x

3

dx => y

2

dy=x

3

dx

/

∫ =>∫

∫

dx =>

+C – całka ogólna

y

3

=x

4

*(3/4)+3C y=…

Równanie jednorodne def,

Równanie postaci y’=f(y/x) gdzie f jest funkcją

ciągłą w przedziale I, zależną tylko od stosunku y/x

Rozwiązanie: Stosujemy podstawianie

=z(x)=z po

tym podst. uzyskujemy równanie o zmiennych

rozdzielonych z=y/x => y=zx => y’=z’x+z;

z’x+z=f(z) – równanie o zmiennych rozdzielonych

=>

x=f(z)-z /:f(z)-z≠0, *dx, :x≠0 uwaga:

sprawdzamy czy warunek f(z)-z≠o nie powoduje

usunięcia jakiegoś rozwiązania równania

początkowego

( )

=

/

∫

Przykład:

y’=

=2(

)-3 stosujemy podstawienie (y/x)=z

=>y=xz=>y’=z+x*z’ czyli z+xz’=2z-3 równanie o

zmiennych rozdzielonych, rozdzielamy zmienne

x

=z-3 /:z-3≠0 (uwaga), *dx, :x≠0 =>

/

∫ =>∫

∫

=>

∫

( )

( )

dx=ln|f(x)|+C ; ln|z-

3|=ln|x|+C, wracamy do starych zmiennych ln|

-

3|=ln|x|+C – całka ogólna dalej ln|(y/x)-

3|=ln|x|+lnC1 => ln|(y/x)-3|=ln(|x|+C1) =>|(y/x)-

3=|x|C1 => (y/x)-3=FC1x, FC1=C2 => y=3x+C2x

2

– całka ogóla dana w sp. jawny uwaga z-3=0 –

sprawdzamy czy to nie rozwiązanie => (y/x)-3=0

=>y=3x => y’=(2y-3x)/x; y=3x rozwiązanie

3=(2*3x-3x)/x=3 Całka ogóla zawiaracjąca

wszystkie rozwiązania y=3x+Cx

2

Równanie różniczkowe liniowe rzędu 1-go def.

Równanie postaci y’+f(x)*y=g(x), gdzie f(x), g(x) są

ciągłe w przedziale I, nazywamy równaniem

różniczkowym liniowym rzędu 1-go 1)Jeżeli y(x)≡0,

to równanie: y’+f(x)y=0-r.r.liniowe jednorodne

2)Jeżeli y(x)≡0, to równanie y’+f(x)y=g(x) ≡0 –

r.r.liniowe niejednorodne

Tw.

Całka ogólna

równania niejednorodnego jest równa całce ogólnej

równania jednorodnego plus całka szczególna

równania niejednorodnego

. 1)całka ogólna równania

jednorodnego

y’+f(x)y=0 rozdzielamy zmienne

+f(x)y=0 =>

=-f(x)y /:y≠0, *dx =>

=-f(x)dx

/

∫ ln|y|=-∫ ( ) => y=c

∫ ( )

2)Całka szczególna równania niejednokrotnego

Przewidujemy tą całkę w postaci u=c(x)*

∫ ( )

,

wyznaczenie C(x)

{

( )

∫ ( )

( )

∫ ( )

+c(x)

∫ ( )

*(-f(x))

podstawiamy do równania y’+f(x)y=gx) => i

obliczamy c’(x), następnie po scałkowaniu C(x)

c’(x)

∫ ( )

( )

∫ ( )

(-

f(x)+f(x)c(x)

∫ ( )

( ) =>

c’(x)*

∫ ( )

( )

∫ ( )

=>c’(x)=g(x)*

∫ ( )

/

∫ => c(x) = ∫ ( )

∫ ( )

Przykład

y’+y=2e

x

(y’+f(x)y=gx), f(x)=1,

g(x)=2*e

x

) CORN=CORJ+CSRN 1)CORJ y’+y=0

=>y=c*

∫ ( )

=>y=c*

∫ ( )

=>y=c*

∫

=>

2)CSRN y=C(x)*e

-x

=> y=e

2x

e

-x

=e

x

;

y’=c’(x)*e

-x

+c(x)e

-x

(-1) podstawiamy do równania

y’+y=2e

x

=>c’(x)-c(x)e

-x

+c(x)e

-x

=2e

x

=> c’(x)e

-

x

=2e

x

/*e

x

=> c’(x)=2e

2x

/

∫ =>c(x)=2∫

dx =

e

2x

CSRN: y=e

x

3)CORN = CORJ + CSRN y=Ce

-

x

+e

x

całka ogólna równania niejednorodnego