I PRACA KONTROLNA

z przedmiotu

AUTOMATYKA

Temat: Opis właściwości statycznych i dynamicznych elementów automatyki.

Zadania do wykonania:

1. Wybrać dowolny element automatyki. Narysować go schematycznie oraz narysować jego schemat blokowy z zaznaczeniem sygnału wejściowego i wyjściowego, a także przyjąć liczbowe wartości parametrów charakteryzujących ten element.

Siłownik pneumatyczny

Schemat:

Schemat blokowy:

Parametry elementów: A=2 [m²], k=2[N/m], m=0,05 [kg], R=0,03

2. Wyprowadzić równanie opisujące właściwości dynamiczne i statyczne elementu automatyki w dziedzinie czasu.

Zakładamy, że zerowe warunki początkowe w chwili t=0[s], y(0)=0.

Transmitancja zostanie wyznaczona na podstawie bilansu sił.

Siła pochodząca od ciśnienia wejściowego:

F_p(t) = Ap_z(t)

Siła sprężystości sprężyny jest proporcjonalna do przesunięcia trzpienia:

F_s(t) = ky(t)

Siła oporu części ruchomych występująca podczas ruchu proporcjonalna do prędkości:

F_R(t) = Rv(t)

Siła bezwładności:

F_b(t) = ma(t)

Bilans sił:

F_p(t) = F_s(t) + F_R(t) + F_b(t)

Podstawiając:

Ap_z(t)=ky(t)+Rv(t)+ma(t)

Ponad to:

$$v\left( t \right) = \dot{y}(t)$$

$$a\left( t \right) = \dot{v}\left( t \right) = \ddot{y}(t)$$

p_z(t) = x(t)

Podstawiając:

$$Ax(t) = ky(t) + R\dot{y}(t) + m\ddot{y}(t)$$

Opis układu dynamicznego:

$$Ax(t) = ky(t) + R\frac{dy(t)}{\text{dt}} + m\frac{d^{2}y(t)}{\text{dt}^{2}}$$

3. Określić transmitancję przejścia opisywanego elementu z równania operatorowego uzyskanego w wyniku zastosowania przekształcenia Laplace'a do równania w dziedzinie czasu.

$$Ax(t) = ky(t) + R\frac{dy(t)}{\text{dt}} + m\frac{d^{2}y(t)}{\text{dt}^{2}}$$

$$Ax(t) = ky(t) + R\frac{d}{\text{dt}}y(t) + m\frac{d^{2}}{\text{dt}^{2}}y(t)$$

$$\text{Ax}\left( t \right) = y(t)\lbrack k + R\frac{d}{\text{dt}} + m\frac{d^{2}}{\text{dt}^{2}}\rbrack$$

$$x\left( t \right) = y(t)\lbrack\frac{k}{A} + \frac{R}{A}\frac{d}{\text{dt}} + \frac{m}{A}\frac{d^{2}}{\text{dt}^{2}}\rbrack$$

Po zastosowaniu obustronnej transformacji Laplace'a:

$$Y\left( s \right)\lbrack\frac{m}{A}s^{2} + \frac{R}{A}s + \frac{k}{A}\rbrack = X(s)\ \ \ \ \ $$

Transmitancja członu oscylacyjnego:

$$G\left( s \right) = \frac{Y(s)}{X\left( s \right)} = \frac{A}{\lbrack ms^{2} + Rs + k\rbrack} = \frac{{{k_{1}\omega}_{n}}^{2}}{s^{2} + {2\omega}_{n}\xi s + \omega_{n}^{2}}$$

Parametry transmitancji członu:

$$\omega_{n} = \sqrt{\frac{k}{m}}$$

$$\xi = \frac{R}{2m\sqrt{\frac{k}{m}}}$$

$$k_{1} = \frac{A}{k}$$

Czwórnik RLC jest członem oscylacyjnym jeśli:

ξ < 1

4. Wyznaczyć wzór na charakterystykę skokową korzystając z odwrotnego przekształcenia Laplace'a i tablic przekształceń Laplace'a . Narysować wykres charakterystyki skokowej. Sprawdzić wybrane punkty wykresu wykonując obliczenia h(t) ze wzoru dla odpowiednich chwil czasowych. Wyniki zamieścić w tabelce.

Odpowiedź skokowa:

$$h\left( t \right) = y\left( t \right)|_{x\left( t \right) = 1\left( t \right)} = L^{- 1}\left\{ G(s) \bullet \frac{1}{s}\ \right\}$$

$$h\left( t \right) = L^{- 1}\left\{ \frac{{{k_{1}\omega}_{n}}^{2}}{s^{2} + {2\omega}_{n}\xi s + \omega_{n}^{2}} \bullet \frac{1}{s}\ \right\}$$

Równanie w mianowniku transmitancji operatorowej jest wielomianem drugiego rzędu

i w zależności od wyróżnika może mieć różne pierwiastki. Dla układu oscylacyjnego

zachodzi warunek Δ<0.

s² + 2ω_nξs + ω_n² = 0

Δ = 4ω_n²(ξ² − 1)

Aby wyróżnik powyższych równań był mniejszy od zera, współczynnik tłumienia musi

spełniać zależność 0 < ξ< 1 (ograniczenie dolne związane jest z warunkiem stabilności).

Wtedy równanie ma dwa pierwiastki sprzężone:

$$s_{1} = {- \omega}_{n}(\xi - j\sqrt{{1 - \xi}^{2}})$$

$$s_{2} = {- \omega}_{n}(\xi + j\sqrt{{1 - \xi}^{2}})$$

$$h\left( t \right) = L^{- 1}\left\{ \frac{k_{1}{\omega_{n}}^{2}}{{\lbrack s + \omega}_{n}\left( \xi - j\sqrt{{1 - \xi}^{2}} \right)\rbrack\lbrack{s + \omega}_{n}\left( \xi + j\sqrt{{1 - \xi}^{2}} \right)\rbrack} \bullet \frac{1}{s}\ \right\}$$

$$h\left( t \right) = k_{1}\lbrack 1 - \frac{1}{\sqrt{1 - \xi^{2}}}e^{- \xi\omega_{n}t}\sin\left( \omega_{w}t + \varphi \right)\rbrack$$

gdzie : $\omega_{w} = \omega_{n}\sqrt{1 - \xi^{2}}$ , $\varphi = arctg\frac{\sqrt{1 - \xi^{2}}}{\xi}$

Ostatecznie:

dla k₁=1

dla ω_n=6,32

dla ξ=0,05

dla ω_w=6,31

$$h\left( t \right) = 1 - \frac{1}{\sqrt{1 - {0,05}^{2}}}e^{- 0,05 \bullet 6,32t}\sin\left( 6,31t + 87,13 \right)$$

Sprawdzenie wybranych punktów wykresu:

h(t)	t[s]
0	0
0	1
0,41	2
1,23	3
1,24	5
0,9	8
1,03	10
1,02	13
1,008	16
0,997	20

5. Wyznaczyć wzory na charakterystykę częstotliwościową (amplitudowo-fazową) badanego elementu oraz charakterystyki logarytmiczne: amplitudową i fazową. Narysować wykresy charakterystyk. Sprawdzić wybrane punkty wykresów.

$$G\left( s \right) = \frac{{\omega_{n}}^{2}}{s^{2} + {2\omega}_{n}\xi s + \omega_{n}^{2}}$$

$$G\left( \text{jω} \right) = \frac{{\omega_{n}}^{2}}{{(j\omega)}^{2} + {2\omega}_{n}\xi j\omega + \omega_{n}^{2}} = \frac{{\omega_{n}}^{2}}{{\omega_{n}}^{2} - \omega^{2} + 2j\xi\omega\omega_{n}}$$

$$P\left( \omega \right) = \frac{{\omega_{n}}^{2}({\omega_{n}}^{2} - \omega^{2})}{{({\omega_{n}}^{2} - \omega^{2})}^{2} + {(2\xi\omega\omega_{n})}^{2}} - \text{charakterystyka}\ czestotliwosciowa\ \text{rzeczywista}$$

$$Q\left( \omega \right) = - \frac{{{2\xi\omega\omega}_{n}}^{3}}{{({\omega_{n}}^{2} - \omega^{2})}^{2} + {(2\xi\omega\omega_{n})}^{2}} - charakterystyka\ czestotliwosciowa\ \text{urojona}$$

$$\left| G(\text{jω}) \right| = M(\omega) = \sqrt{\left( \frac{{\omega_{n}}^{2}({\omega_{n}}^{2} - \omega^{2})}{{({\omega_{n}}^{2} - \omega^{2})}^{2} + {(2\xi\omega\omega_{n})}^{2}} \right)^{2} + \left( - \frac{{{2\xi\omega\omega}_{n}}^{3}}{{({\omega_{n}}^{2} - \omega^{2})}^{2} + {(2\xi\omega\omega_{n})}^{2}} \right)^{2}} = \frac{{\omega_{n}}^{2}}{\sqrt{{({\omega_{n}}^{2} - \omega^{2})}^{2} + {(2\xi\omega\omega_{n})}^{2}}}$$

- charakterystyka częstotliwościowa amplitudowa

$$\varphi(\omega) = \text{arctg}\frac{- \frac{{{2\xi\omega\omega}_{n}}^{3}}{{({\omega_{n}}^{2} - \omega^{2})}^{2} + {(2\xi\omega\omega_{n})}^{2}}}{\frac{{\omega_{n}}^{2}({\omega_{n}}^{2} - \omega^{2})}{{({\omega_{n}}^{2} - \omega^{2})}^{2} + {(2\xi\omega\omega_{n})}^{2}}} = arctg( - \frac{2\xi\omega\omega_{n}}{{\omega_{n}}^{2} - \omega^{2}})$$

- charakterystyka częstotliwościowa fazowa

Ostatecznie transmitancja widmowa ma postać:

$$G\left( \text{jω} \right) = {M\left( \omega \right)e}^{j\varphi(\omega)} = \frac{{\omega_{n}}^{2}}{\sqrt{{({\omega_{n}}^{2} - \omega^{2})}^{2} + {(2\xi\omega\omega_{n})}^{2}}}e^{jarctg( - \frac{2\xi\omega\omega_{n}}{{\omega_{n}}^{2} - \omega^{2}})}$$

Charakterystyka amplitudowa we współrzędnych logarytmicznych:

L(ω) = 20logM(ω)

Charakterystyka fazowa we współrzędnych logarytmicznych:

φ(ω)

Sprawdzenie wybranych punktów wykresu:

Charakterystyka amplitudowa:

ω	M(ω)	L(ω)
1	1,020288655	0,174461152
5	1,6	4,082399653
10	0,554700196	-5,11883361
50	0,016206689	-35,80611395
80	0,006281362	-44,03892296
100	0,004012829	-47,93098594

Charakterystyka fazowa:

ω	φ(ω) [rad]	φ(ω) [deg]
1	-0,102207	-5,85601
5	-0,927295	-53,1301
10	-2,553497	-146,305
50	-3,060378	-175,347
80	-3,091228	-177,114
100	-3,101361	-177,695

Charakterystyka amplitudowo-fazowa:

część rzeczywista		część urojona
ω	Re G(jω)
1	1,014964216
5	0,96
10	-0,461538462
50	-0,016153392
80	-0,006273427
100	-0,004009597