LABORATORIUM FIZYKI I	ĆWICZENIE: 32
Wydział: WIP	Grupa: ID-A0-43
Nazwisko i imię: Nowakowski Adam
Temat ćwiczenia: Wyznaczanie modułu pizoelektrycznego d metodą statyczną
Prowadzący:

1.Wstęp

Ćwiczenie to ma na celu zapoznanie się ze zjawiskiem piezoelektrycznym. Efekt piezoelektryczny polega na powstawaniu w materiale dielektrycznym polaryzacji elektrycznej w wyniku oddziaływania naprężeń mechanicznych. Można go opisać następującym wzorem:

                                                                                 P = d * T                                                            

gdzie:

P – polaryzacja;

T – naprężenie;

d – moduł piezoelektryczny;

Podczas ćwiczenia będziemy wykorzystywać głównie galwanometr balistyczny, który jest amperomierzem służącym do pomiarów prądów o bardzo malej wartości. Zasada działania galwanometru opiera się na zjawisku powstawania momentu siły działającego na obwód z prądem, który znajduje się w polu magnetycznym. Obwodem w galwanometrze jest cewka, prąd tworzy przepływający ładunek, a pole magnetyczne jest wytwarzane przez magnes stały.

Podstawowym parametrem opisującym działanie galwanometru jest stała balistyczna, która jest współczynnikiem proporcjonalności pomiędzy wskazaniem galwanometru, a wartością przepływającego ładunku:

$$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ b = \frac{Q}{\alpha}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$$

gdzie:

b – stała balistyczna galwanometru;

Q – wartość ładunku, który przepłynął przez galwanometr;

α – wskazanie galwanometru;

Stałą tą obliczaliśmy w pierwszej części ćwiczenia.

W drugiej części ćwiczenia mieliśmy za zadanie wyznaczyć wartość modułu piezoelektrycznego dielektryka, na który wywieraliśmy nacisk. Korzystaliśmy z następującej zależności:

Δq = d*ΔF

Gdzie:

Δq- zmiana ładunku wytworzonego pod wpływem nacisku na dielektryk

ΔF- zmiana siły nacisku na dielektryk

d- badany moduł piezoelektryczny

2. Układ pomiarowy

Rys. 1. Schemat układu pomiarowego do pierwszej części ćwiczenia:

Zasilacz, V – woltomierz typu MERA LM-3 klasa dokładności 2, zakres 10V, działka elementarna 0,2V; G – galwanometr ETA (140 działek, klasa 2, c1=1,00-2,97 10-9 A/dz.),C – kondensator o pojemności 5000 pF, K – klucz służący do rozładowywania kondensatora;

Rys. 2. Schemat układu pomiarowego do drugiej części ćwiczenia;

Zaciski okładek piezoelektryka podłączyliśmy do galwanometru w celu pomiaru wytworzonego przez obciążanie dielektryka ładunku q.

Odległość piezoelektryka od osi dźwigni jest równa l₁= 0,1 m;

Odległość obciążenia od osi dźwigni jest równa l₂= 1,1 m

3. Wykonanie ćwiczenia

Ćwiczenie składało się z dwóch etapów:

• Wyznaczenie stałej balistycznej galwanometru:

1. Połączenie układu pomiarowego według schematu przedstawionego na rysunku 1.;

2. Ustawienie na zasilaczu napięcia 1V.

3. Odczyt napięcia za pomocą woltomierza.

4. Wciśnięcie klucza K, oraz odczyt wskazań galwanometru przy wychyleniu plamki na ekranie wywołanego przez przepływ ładunku.

5. Zmiana napięcia wskazanego przez zasilacz o 1V.

6. Czynności c, d, e, wykonywaliśmy aż do osiągnięcia wartości wskazywanej przez zasilacz 10V.

7. Czynności b, c, d, e, f ponownie wykonane dla przeciwnego kierunku prądu.

• Pomiar modułu piezoelektrycznego d w zjawisku piezoelektrycznym prostym:

1. Obciążanie ramienia obciążnikiem o masie 500 g.

2. Podnoszenie i opuszczanie rączki w układzie.

3. Odczyt wskazań galwanometru dla wychylenia plamki na ekranie przy opuszczanej i podnoszonej rączki.

4. Zwiększanie obciążenia o kolejne 500g i powtarzanie czynności b i c aż do uzyskania wartości 3kg.

4. Wyniki i ich opracowanie

• W pierwszej części ćwiczenia otrzymaliśmy następujące wyniki:

Napięcie [V]	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
Wychylenie [działki]	4	8	12	17	21	25	29	33	37	42	46	51	54	58	63
Ładunek Q [nC]	5	10	12	20	25	30	35	40	45	50	55	60	65	70	75

Po zmianie kierunku prądu otrzymaliśmy następujące wyniki:

Napięcie [V]	-1	-2	-3	-4	-5	-6	-7	-8	-9	-10	-11	-12	-13	-14	-15
Wychylenie [działki]	5	9	13	17	22	26	30	34	38	43	47	52	56	59	64
Ładunek Q [nC]	-5	-10	-12	-20	-25	-30	-35	-40	-45	-50	-55	-60	-65	-70	-75

Kolumnę, w której znajduje się wartość ładunku, który przepłynął przez galwanometr, wyznaczyliśmy, korzystając ze wzoru: Q=CU, dla kondensatora o znanej pojemności równej 5000 pF. Wartości wskazań galwanometru i napięcie po zmianie kierunku prądu uznaliśmy za ujemne.

Wykorzystując otrzymane wartości, sporządzamy za pomocą programu Origin wykres zależności ładunku od wychylenia galwanometru. Za pomocą metody najmniejszych kwadratów program wyznacza nam prostą, której współczynnikiem kierunkowym, jest stała balistyczna badanego galwanometru.

Wartość uzyskana tą metodą jest równa:

$$b = 1,18296\ *10^{- 9}\ \frac{C}{\text{dz}}$$

Wyznaczenie niepewności pomiaru stałej balistycznej b:

Wyznaczenie standardowej niepewności pomiaru typu B napięcia:

u(U)=$\sqrt{\frac{{x_{U}}^{2}}{3} + \frac{{x_{\text{Ue}}}^{2}}{3}}$

Gdzie:

∆x_U - niepewność wzorcowania woltomierza = $\frac{klasa\ woltomierza*zakres\ woltomierza}{100}$ =$\frac{2*10}{100}$ =0,2V

∆x_Ue - niepewność eksperymentatora = 0,5 * działka elementarna= 0,5* 0,2= 0,1 V

A zatem u(U)= $\sqrt{\frac{{(0,1)}^{2}}{3} + \frac{\left( 0,2 \right)^{2}}{3}}$ = 0,1291 V.

Wyznaczenie standardowej niepewności typu B pomiaru pojemności kondensatora u(C):

Dokładność wykonania kondensatora przyjęta na 5% wartości pojemności tego kondensatora.

u(C)= $\frac{0,05*5000*10^{- 12}}{\sqrt{3}}$ = 144,3* 10^-12 F.

Standardowa niepewność pomiaru wskazań galwanometru u(α):

u(α)= $\sqrt{\frac{{x_{\alpha}}^{2}}{3} + \frac{{x_{\text{αe}}}^{2}}{3}}$

Gdzie:

∆x_α - niepewność wzorcowania galwanometru = $\frac{klasa\ galwanometru*zakres\ galwanometru}{100}$ = $\frac{2*70}{100}$ = 1,4 działki.

∆x_αe - niepewność eksperymentatora = 0,5 * działka elementarna= 0,5*1= 0,5 działki.

A zatem u(α)= $\sqrt{\frac{{(1,4)}^{2}}{3} + \frac{\left( 0,5 \right)^{2}}{3}}$ = 0,8583 działki

Standardowa niepewność typu B pomiaru wartości ładunku zgromadzonego na okładkach kondensatora u(Q):

Jest to wielkość mierzona pośrednio, stosuję zatem poniższy wzór biorąc dane z 10 pomiaru z pierwszej tabeli

u(Q)= $\sqrt{\left( \frac{\partial Q}{\partial C} \right)^{2}*u^{2}\left( C \right) + \ \left( \frac{\partial Q}{\partial U} \right)^{2}*u^{2}(U)}$ = $\sqrt{U^{2}*u^{2}\left( C \right) + \ C^{2}*u^{2}(U)}$ =

$\sqrt{{(10)}^{2}*{(1,443*10^{- 12})}^{2} + \ {(5000*10^{- 12})}^{2}*{(0,1291)}^{2}}$ = 6,45661 *10^-10 C

Standardową niepewność pomiaru typu A stałej balistycznej b odczytuję z wykresu programu Origin.

Jej wartość jest równa u_A(b) = 2,29584* 10 ^-11$\ \frac{C}{\text{dz}}$

Pomiar stałej balistycznej był pomiarem pośrednim, a zatem standardową niepewność pomiaru typu B stałej balistycznej u_B(b) wyznaczam z poniższego wzoru korzystając z danych z pomiaru 10 z pierwszej tabeli

u_B(b) = $\sqrt{\left( \frac{\partial b}{\partial Q} \right)^{2}*u^{2}\left( Q \right) + \ \left( \frac{\partial b}{\partial\alpha} \right)^{2}*u^{2}(\alpha)}$ = $\sqrt{\left( \frac{1}{\alpha} \right)^{2}*u^{2}\left( Q \right) + \ \left( \frac{- Q}{\alpha^{2}} \right)^{2}*u^{2}(\alpha)}$ =

$\sqrt{{(\frac{1}{42})}^{2}*{(6,45661*10^{- 10})}^{2} + \ {(\frac{- 4*10^{- 8}}{42^{2}})}^{2}*{(0,8583)}^{2}}$ = 1,94626* 10 ^-11 $\frac{C}{\text{dz}}$

Obie niepewności dodaję korzystając z prawa przenoszenia niepewności. Całkowita niepewność pomiaru stałej balistycznej u(b) wynosi teraz:

u(b)= $\sqrt{{u_{A}(b)}^{2} + {u_{B}(b)\ }^{2}}$ = $\sqrt{{(2,29584*\ 10^{- 11})}^{2} + {(1,94626*10^{- 1})\ }^{2}}$ = 3,01 *10^-11 $\frac{C}{\text{dz}}$

b= 1,18296 *10^-9 $\frac{C}{\text{dz}}$

Stosując współczynnik rozszerzenia k=2 wyznaczam rozszerzoną niepewność pomiaru stałej balistycznej b:

U(b)= u(b)*2= 3,01 *2*10^-11 $\frac{C}{\text{dz}}$ = 6,02*10^-11 $\frac{C}{\text{dz}}$

Ostatecznie:

b= (1,18±0,06) *10^-11 $\frac{C}{\text{dz}}$

• Druga część ćwiczenia

Waga ciężarków [kg]	0,5	1	1,5	2	2,5	3
Siła obciążająca F [N]	53,955	107,91	161,865	215,82	269,775	323,73
Podnoszenie [działki]	6	14	22	29	38	47
Opuszczanie [działki]	-6	-13	-22	-29	-30	-46
Ładunek Q przy podnoszeniu [nC]	7,08	16,52	25,96	34,22	44,84	55,46
Ładunek Q przy opuszczaniu [nC]	-7,08	-15,34	-25,96	-34,22	-35,4	-54,28

Siłę nacisku obliczyliśmy, przyjmując wartość przyspieszenia ziemskiego g równą 9,81 m/s², oraz pamiętając, że stosunek ramion $\frac{l_{2}}{l_{1}} = \frac{1,1\ m}{0,1\ m} = 11$.

A więc siła obciążająca dźwignię wyraża się wzorem:

F= g*m*$\frac{l_{2}}{l_{1}}$ gdzie: m- masa ciężarka;

Wartość ładunku wyznaczyliśmy znając stała balistyczną galwanometru oraz wskazanie galwanometru zgodnie ze wzorem Q= b*α

Przy opuszczaniu rączki przyjęliśmy wartości wskazań galwanometru i siły F były ujemne.

Korzystając z powyższych wyników oraz z programu Origin, sporządzamy wykres zależności ładunku w zależności od siły nacisku. Program oblicza współczynnik kierunkowy prostej stosując metodę najmniejszych kwadratów. Współczynnikiem tym jest moduł piezoelektryczny d.

Zgodnie z programem Origin moduł piezoelektryczny badanego przez nas dielektryka jest równy

$$d = 1,7746\ *10^{- 10}\ \frac{m}{V}$$

Wynik testu χ² dla naszych pomiarów wyniósł 7,0713 i jest mniejszy od wartości krytycznej χ²_kr= 18,3 dla 10 stopni swobody i poziomu istotności 0,05.

Niepewność wyznaczenia krótszego ramienia dźwigni ustaliliśmy na 2% wartości, a więc:

u(l₁)= $\frac{0,02*0,1}{\sqrt{3}}$ = 0,001155 m

Standardowa niepewność pomiaru typu B siły nacisku na dielektryk:

Jest to pomiar pośredni, a zatem korzystam z poniższego wzoru, przyjmując dane z 6 pomiaru dla podnoszenia rączki. Wartości l₂ oraz masę ciężarka traktuję jako stałą.

u(F)= $\sqrt{({\frac{\partial F}{\partial l_{1}})}^{2}*{u(l_{1})}^{2}}$ = $\frac{\partial F}{\partial l_{1}}^{}*{u(l_{1})}^{}$ = $\frac{m*g*l_{1}}{{(l_{2})}^{2}}$ * u(l₁) = $\frac{3*9,81*1,1}{{(0,1)}^{2}}$ * 0,001155 = 3,739 N

Standardowa niepewność typu B pomiaru ładunku:

Jest to wielkość mierzona przez nas pośrednio, a zatem korzystam z poniższego wzoru, przyjmując dane z 6 pomiaru dla podnoszenia rączki.

u(Q)= $\sqrt{\left( \frac{\partial Q}{\partial b} \right)^{2}*u^{2}\left( b \right) + \ \left( \frac{\partial Q}{\partial\alpha} \right)^{2}*u^{2}(\alpha)}$ = $\sqrt{\alpha^{2}*{u(b)}^{2} + b^{2}*{u(\alpha)}^{2}}$ = $\sqrt{{(55,46)}^{2}*{(5,9284*10^{- 13})}^{2} + {(1,17547*10^{- 9})}^{2}*{(0,8583)}^{2}}\ $= 1,00905*10^-9 C

Niepewność pomiaru modułu piezoelektrycznego d:

Niepewność standardową typu A pomiaru modułu piezoelektrycznego odczytuję z wykresu wykonanego na podstawie metody najmniejszych kwadratów w programie Origin i wynosi ona: u_A(d)= 3,48*10^-12 $\frac{m}{V}$

Niepewność standardową typu B pomiaru modułu piezoelektrycznego wyznaczam na podstawie poniższego wzoru, ponieważ jest to wielkość zmierzona przez nas pośrednio. Wykorzystuję dane z pomiaru 6 przy podnoszeniu rączki.

u_B(d)= $\sqrt{\left( \frac{\partial d}{\partial Q} \right)^{2}*u^{2}\left( Q \right) + \ \left( \frac{\partial d}{\partial F} \right)^{2}*u^{2}(F)}$ = $\sqrt{\left( \frac{1}{F} \right)^{2}*u^{2}\left( Q \right) + \ \left( \frac{- Q}{F^{2}} \right)^{2}*u^{2}(F)}$ = $\sqrt{{(\frac{1}{323,73})}^{2}*{(2,6165*10^{- 9})}^{2} + \ {(\frac{- 55,46*10^{- 9}}{{(323,73)}^{2}})}^{2}*{(3,739)}^{2}}$ = 8,14659*10^-12 $\frac{m}{V}$

Korzystając z prawa przenoszenia niepewności obliczam całkowitą niepewność pomiaru modułu piezoelektrycznego d:

u(d)= $\sqrt{{u_{A}(d)}^{2} + {u_{B}(d)\ }^{2}}$ = $\sqrt{{(1,102317*\ 10^{- 12})}^{2} + {(8,14659*10^{- 12})\ }^{2}}$ = 8,321*10^-12 $\frac{m}{V}$

$$d = 1,7746\ *10^{- 10}\ \frac{m}{V}$$

Uwzględniając współczynnik niepewności k=2 obliczam niepewność rozszerzoną pomiaru modułu piezoelektrycznego d:

U(d)= u(d)*2= 8,321*2*10^-12= 16,642* 10^-12$\frac{m}{V}$

Ostatecznie d=(1,77±0,17)*10^-10 $\frac{m}{V}$

5. Wnioski

• Doświadczenie potwierdziło występowanie zjawiska piezoelektrycznego prostego.

• Test χ2 pozwolił potwierdzić liniową zależność między siłą wywieraną na dielektryk, a ładunkiem wytworzonym na tym dielektryku.

• Na dokładność wyniku pomiaru stałej balistycznej b miał przede wszystkim błąd operatora w odczycie wskazań galwanometru, ponieważ plamka przesuwała się dość szybko i ciężko było ustalić moment w którym ma maksymalne wychylenie. Również istotną rolę odegrała dość niska dokładność wykonania kondensatora.

• Na dokładność wyniku pomiaru modułu piezoelektrycznego d miał błąd operatora w odczycie wartości krótszego ramienia dźwigni, ponieważ nie można było precyzyjnie określić od którego momentu należało zmierzyć daną wielkość.