Wydział WEIP	Imię i nazwisko 1.Marek Fuksa 2.Piotr Szczęch	Rok II	Grupa 6	Zespół 7
PRACOWNIA FIZYCZNA WFiIS AGH	Temat: Współczynnik lepkości	Nr ćwiczenia 13
Data wykonania 11.10.2011 r.	Data oddania 18.10.2011 r.	Zwrot do popr.	Data oddania	Data zaliczenia

Cel ćwiczenia: Wyznaczenie współczynnika lepkości gliceryny metoda Stokesa, zapoznanie się z własnościami cieczy lepkiej.

Wprowadzenie

Pomiędzy dwiema zanurzonymi w cieczy płytkami o powierzchniach S znajdującymi

sie w odległości d i poruszającymi sie względem siebie z prędkością v występuje siła oporu wprost proporcjonalna do S i v, a odwrotnie proporcjonalna do d:

$$F = \eta\frac{\text{Sv}}{d}$$

gdzie:

S – powierzchnia płytki [m²]

v- prędkość jednej płytki względem drugiej [m/s]

d –odległość między płytkami [m]

η- współczynnik lepkości [ Pa * s]

Dla przepływu laminarnego siła oporu jaka ciecz działa na poruszająca się w niej kulkę (wzór Stokesa) wynosi:

F = 6πηrv

gdzie r jest promieniem, a v prędkością poruszającej sie kulki. Wzór ten umożliwia wyznaczenie wartości współczynnika lepkości na podstawie pomiarów parametrów charakteryzujących kulkę oraz jej ruch w cieczy lepkiej. Ruch kulki opadającej w cieczy, po przebyciu przez nią pewnej (dość krótkiej) drogi, staje sie praktycznie ruchem jednostajnym, co zgodnie z II zasada dynamiki Newtona ma miejsce jedynie wówczas, gdy wszystkie siły

działające na kulkę równoważą się:

$$\overrightarrow{F_{G}} + \overrightarrow{F_{w}} + \overrightarrow{F_{O}} = 0$$

gdzie FG oznacza siłę grawitacji, FW – siłę wyporu, a F0 – siłę oporu lepkiego.

Uwzględniając zwroty sił otrzymujemy zależność:

F_O = F_G − F_W

co pozwala na wyznaczenie współczynnika lepkości:

$$\eta = \frac{(m - V\rho)g}{6\pi rv}$$

gdzie m jest masa kulki, V jej objętością, a _ gęstością gliceryny. W doświadczeniu

będziemy posługiwali sie wzorem różniącym sie od powyższego

o czynnik (1 + 2, 4r/R)⁻¹; jest to poprawka która należy uwzględnić z powodu

skończonej średnicy R cylindra w którym porusza sie kulka. Wzór(1):

$$\eta = \frac{\left( m - V\rho \right)g}{6\pi rv}\frac{1}{(1 + 2,4\frac{r}{R})}$$

Wzór Stokesa jest prawdziwy tylko dla przepływów laminarnych. Parametr, który decyduje o charakterze opływu cieczy wokół ciała jest liczba Reynoldsa, którą oblicza się ze wzoru:

$$Re = \frac{\text{vl}\rho}{\eta} = \frac{\text{vd}\rho}{\eta}$$

gdzie:

ρ- gęstość cieczy)

l- wymiar liniowy poruszającego się ciała mierzony w kierunku prostopadłym do wektora v ( dla kulki jest to jej średnica)

d- średnica kulki

v – prędkość poruszającego się ciała

η- współczynnik lepkości cieczy

Układ pomiarowy składa sie z ustawionej pionowo rury wypełnionej gliceryna,

zamkniętej z jednego końca kranem, na który nałożony jest wężyk z

zaciskaczem. Na rurze znajdują sie dwa znaczniki, które umożliwiają odczyt

zadanego położenia opadającej kulki.

Aparatura

1. Przyrząd do badania spadania kulki w cieczy (Rys. 1)

2. Zestaw kulek

3. Śruba mikrometryczna

4. Suwmiarka

5. Waga cyfrowa

Rys.1

Wykonanie ćwiczenia

1. Wybrane do pomiaru kulki należy dokładnie wytrzeć z resztek gliceryny, a następnie

rozłożyć na arkuszu bibuły, jednocześnie nadając każdej z nich numer. Po wykonaniu

jakiegokolwiek pomiaru, użyta kulka powinna zawsze zostać wytarta i odłożona na

miejsce.

2. Zmierz średnice wszystkich wybranych kulek za pomocą śruby mikrometrycznej.

Wyniki zapisz w Tabeli.

3. Zważ wszystkie kulki przy użyciu dostępnej wagi. Wyniki zapisz w Tabeli.

4. Ustaw na rurze dwa znaczniki w odległości około 80 cm tak, aby górny znacznik

znajdował się co najmniej 20 cm poniżej poziomu cieczy w rurze. Zanotuj odległość

znaczników w Tabeli.

5. Odczytaj wartość średnicy używanego cylindra. Dane wpisz do Tabeli.

6. Każdą z kulek należy wrzucić do rury, a następnie zmierzyć za pomocą stopera czas,

w którym będzie ona opadała pomiędzy znacznikami. Wynik zapisz w Tabeli.

Zwróć uwagę aby kulki opadały środkiem cylindra, a nie blisko ścianek oraz aby nie

było do nich doczepionych pęcherzyków powietrza. Każdy pomiar, który nie spełnia powyższych wymogów należy powtórzyć.

7. Wyciągnij kulkę z cylindra poprzez kran umieszczony na jego dolnym końcu. Aby nie

dopuścić do wylewania się gliceryny z cylindra należy posłużyć się zaciskaczem

umieszczonym na wężyku. Gliceryna powinna ściekać do podstawionego pod

wężykiem naczynia. Jeśli zachodzi potrzeba uzupełnienia gliceryny w cylindrze,

należy przelać ją ostrożnie z naczynia lejąc po ściankach cylindra tak, aby wytworzyć

jak najmniej pęcherzyków powietrza.

8. Po skończonych pomiarach należy zanotować temperaturę otoczenia, w której

wykonywane było doświadczenie.

Opracowywanie wyników.

Wykaz wielkości zmierzonych bezpośrednio:

1. Długość cylindra l=0,8m ( niepewność pomiaru to 0,001m).

2. Czas spadania kulki t[s] (niepewność pomiaru stopera to 0,01 s).

3. Masa kulki m[kg] ( niepewność pomiaru wagi to 0,001g).

4. Średnica kulki d[m] ( niepewność pomiaru śruby mikrometrycznej to 0,01 mm).

5. Średnica cylindra D[m] ( niepewność pomiaru to 0,01m).

6. Temperatura T=23 ^oC (niepewność pomiaru to 1 ^oC).

Na podstawie wyznaczonych wartości l,  t,  m,  d,  D obliczamy współczynnik lepkości gliceryny dla każdego dla każdego przelotu kulki.

Kulka po opuszczeniu w roztworze w początkowej fazie poruszała się ruchem jednostajnie przyśpieszonym, po czym w pewnym momencie zaczęła poruszać się ruchem jednostajnym. Dla potrzeb pomiarów ruch kulek był mierzony już w momencie ruchu jednostajnego.

Do obliczenia współczynnika lepkości wykorzystaliśmy wzór(1) zawarty we wprowadzeniu i podstawienie:

$V = \frac{4\pi r^{3}}{3}$ $r = \frac{d}{2}$ R =$\ \frac{D}{2}$ v =$\ \frac{l}{t}$

Otrzymując wzór do obliczeń:

$$\eta = \frac{\left( m - \frac{\text{πρ}d^{3}}{6} \right)\text{gt}}{3\pi ld\left( 1 + 2,24\frac{d}{D} \right)}$$

Gdzie:

l- odcinek długości cylindra, w którym mierzony był czas spadania kulki [m]

t- czas spadania kulki na odcinku l [s]

m- masa kulki [kg]

d- średnica kulki mierzona [m]

D –średnica cylindra [m]

ρ- gęstość gliceryny [kg/m³]

Temperatura, w jakiej wykonywaliśmy pomiary wynosiła 23^oC.

Znając gęstość gliceryny w temperaturze 20^oC (1260kg/m³) oraz w 25^oC (1250kg/m³) i wykorzystując zależność gęstości od temperatury:

ρ(T) = αT + β

1260 = 20α + β

1250 = 25α + β

α = −2 β = 1300

ρ(23) = 1254kg/m³

obliczyliśmy jej gęstość w temperaturze 23^oC, która wynosi 1254 kg/m³.

Przykład obliczania dla pomiaru nr 1:

d = 5, 25mm = 0, 00525m m = 0, 441g = 0, 000441kg t = 3, 09s

D = 34mm = 0, 034m l = 800mm = 0, 8m g=9,81m/s²

$$\eta = \frac{\left( 0,000441 - \frac{3,14 \bullet 1254 \bullet {(0,00525)}^{3}}{6} \right) \bullet 9,81 \bullet 3,09}{3 \bullet 3,14 \bullet 0,8 \bullet 0,00525\left( 1 + 2,24\frac{0,00525}{0,034} \right)} \approx 0,1935\ Pa \bullet s$$

Pozostałe wartości współczynnika lepkości zostały wyliczone za pomocą powyższego wzoru i wpisane do tabeli z wynikami pomiarów.

Obliczanie wartości średniej współczynnika lepkości:

$$\overline{\eta} = \frac{0,1935 + 0,1427 + 0,1587 + 0,1624 + 0,2189 + 0,1603 + 0,1777 + 0,1592 + 0,1643}{10} +$$

$+ \ \frac{0,1732}{10} \approx \ $0,1711 Pa • s

Obliczanie niepewności standardowej współczynnika lepkości:

$$U\left( x \right) \equiv s_{\overset{\overline{}}{x}} = \sqrt{\frac{\mathbf{\sum}{\mathbf{(}\mathbf{x}_{\mathbf{i}\mathbf{\ }}\mathbf{}\overset{\overline{}}{\mathbf{x}}\mathbf{)}}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{n(n}\mathbf{-}\mathbf{1)}}}$$

Gdzie:

x_i –wartości poszczególnych pomiarów

$\overset{\overline{}}{x}$ - średnia wartość pomiarów

n- ilość wykonanych pomiarów

$${\mathbf{\sum}{\mathbf{(}\mathbf{x}_{\mathbf{i}\mathbf{\ }}\mathbf{}\overset{\overline{}}{\mathbf{x}}\mathbf{)}}^{\mathbf{2}}\mathbf{=}\left( 0,0224 \right)}^{2} + ({- 0,0284)}^{2} + ({- 0,0124)}^{2} + \left( - 0,0087 \right)^{2} + \left( 0,0478 \right)^{2} + \left( - 0,0108 \right)^{2} + \left( 0,0066 \right)^{2} + ({- 0,0119)}^{2} + ({- 0,0068)}^{2} + \left( 0,0021 \right)^{2} \approx 0,0042\ Pa \bullet s$$

$$u\left( \eta \right) \approx \sqrt{\frac{0,0042}{90}} \approx 0,0068\ Pa \bullet s$$

Zależność stężenia procentowego gliceryny od temperatury określa tabela:

W trakcie pomiarów temperatura wynosiła 23, a średnia wartość współczynnik lepkości η = 0, 1711 Pa • s. Biorąc pod uwagę wartości tablicowe można przyjąć, że zawartość gliceryny wynosiła 85%.

Obliczanie prędkość spadania oraz wartość liczby Reynoldsa dla kulki nr 1:

$$V = \frac{l}{t} = \frac{0,8}{3,09} \approx 0,26\frac{m}{s^{2}}$$

$$Re = \frac{0,26 \bullet 0,00525 \bullet 1254}{0,17} \approx 10,07$$

Niepewność pomiaru liczby Reynoldsa zależy od:

a) niepewności l - 1mm

b) niepewności t- 0,01s

c)niepewności d- 0,01mm

d) niepewności η- 00,68 Pa•s

Wnioski:

Wyznaczanie lepkości cieczy metodą Stokesa, w naszym wykonaniu jest obarczona błędami systematycznymi wynikającymi z niepewności danych przyjętych do obliczeń. Niepewności pomiarowe jakie mogły wystąpić podczas naszych pomiarów możemy podzielić na:

a)niepewności wynikające z dokładności przyrządów użytych podczas ćwiczenia:

-dokładność śruby mikrometrycznej wynosząca 0,01 mm,

-dokładność wagi wynosząca 10-6 kg

b)niepewności wynikające z indywidualnych warunków przeprowadzającego ćwiczenie - w tym przypadku niedokładnie zmierzony czas spadania kulki.

Błędy te mają na pewno znaczny wpływ na wynik pomiaru współczynnika lepkości gliceryny. Na rozbieżne wyniki duży wpływ miały pęcherzyki powietrza, które doczepiały się do kuleczek, powodując zmniejszenie prędkości opadania kulek.