16. TWIIERDZENIE GREENA

Jeżeli krzywa K jest krzywą płaską zamkniętą skierowaną dodatnio i ograniczającą obszar jednospójny D, przy czym w obszarze D dane są funkcje P(x,y) i Q(x,y) mające ciągłe pochodne cząstkowe pierwszego rzędu w obszarze D i na brzegu K, to zachodzi wzór:

Przykład:

Obliczyć całkę po krzywej zamkniętej L.

             

L – obwód ∆ABC     A=(1,3), B=(2,2), C=(1,1)

             

 

          

          

          

 17. Podać definicje równania różniczkowego zwyczajnego, rozwiązanie szczególne równania różniczkowego rozwiązania ogólnego i krzywej całkowej.

Równaniem różniczkowym zwyczajnym nazywamy równanie postaci:

F(x, y, y’, y”, …, y⁽ⁿ⁾) = 0 (1.)

W którym F jest funkcją n+2 zmiennych: zmiennej niezależnej x, niezależnej funkcji y=f(x) i jej pochodnych: y, y”, …, y⁽ⁿ⁾

Rząd najwyższej pochodnej, wchodzącej do równania różniczkowego nazywamy rzędem tego równania.

Rozwiązaniem szczególnym równania różniczkowego (1) nazywamy każdą funkcje y=f(x) która zmienia to równanie w tożsamość.

Wykres funkcji y=f(x) która jest rozwiązaniem szczególnym równania różniczkowego nazywamy krzywą całkową tego równania.

Zagadnieniem Cauchiego dla rr (1) rzędu n nazywamy zagadnienie polegające na wyznaczeniu rozwiązania szczególnego tego równania spełniającego warunki początkowe:

y(x_o ) = y_o y’(x_o) = y_1, …, y_(n-1)(x_o) = y_n-1 (2)

gdzie liczby x_o, y_o, y_{1, …,} y_n-1 nazywamy wartościami początkowymi.

Rozwiązaniem ogólnym rr (1) rzędu n na zbiorze D nazywamy rodzinę funkcji, zależnych od n stałych dowolnych C₁, C₂, …,C_n których wartości można tak dobrać, aby otrzymać rozwiązanie szczególne spełniające warunki początkowe (2) dla każdego układu wartości początkowych : (x_o, y_o) D, y₁, y₂, …, y_n-1

Niektóre rr oprócz rozwiązania ogólnego mają tzw. równanie ogólne. Są rozwiązania rr, których nie można otrzymać z rozwiązania ogólnego przez równania stałymi dowolnymi otwartych wartości.

18. Omówić metody rozwiązywania równań różniczkowych o zmiennych rozdzielonych i równań jednorodnych. Podać przykłady.

1. Równanie r.r. o zmiennych rozdzielonych ma postać: , gdzie f i g z założenia są ciągłe odpowiednio na przedziałach: .

Przykład

Wyznaczyć rozwiązanie równania różniczkowego : zał. x≠0

Rozwiązanie:

Doprowadzamy równanie do takiej postaci, aby po jednej stronie równania były x, a po drugiej y; zatem mnożymy obie strony równania przez:

i otrzymujemy:

Następnie całkujemy obustronnie:

(całkę obliczamy za pomocą podstawienia ), otrzymując rozwiązanie ogólne r.r.:

Jeżeli r.r. ma zadany warunek początkowy np. , wówczas należy w danym równaniu podstawić , otrzymując ostatecznie całkę szczególną:

1 = 0 + C , zatem:

2. Równaniem różniczkowym jednorodnym ma postać: gdzie f jest ciągła na przedziale (a,b).

Rozwiązanie różniczkowe wyznaczamy wprowadzając nową funkcję: Wówczas oraz mają postać: , czyli:

Przykład

Rozwiązać równanie:

Dzielimy dane równanie obustronnie przez :

Następnie stosujemy podstawienie , czyli

, wstawiamy

/ oraz całkujemy obustronnie

,wracamy do podstawienia i po wymnożeniu otrzymujemy:

19 . Równanie różniczkowe liniowe pierwszego rzędu. Wyprowadzić wzór na całkę ogólną.

Równanie różniczkowe liniowe rzędu pierwszego ma postać:

Gdzie p(x) i q(x) są funkcjami ciągłymi na pewnym przedziale (a,b).

Wyprowadzenie cąłki ogólnej

Dane jest r. r. niejednorodne:

Następnie piszemy równanie jednorodne:

Postawiamy następnie:

Otrzymując: ,

Całkujemy obustronnie:

Uzmienniamy stałą gdzie jest funkcją różniczkowalną:

Obliczamy pochodną:

Funkcja y(x) będzie rozwiązaniem r. r. niejednorodnego, gdy:

Zatem:

,

Zatem rozwiązanie równania otrzymujemy w postaci:

20 Równanie różniczkowe zupełne

Równanie różniczkowe zupełne to równanie postaci:

gdzie lewa strona równania jest różniczką zupełną pewnej funkcji

Całka ogólna równania ma postać gdzie funkcję F wyznaczono z układu:

Warunkiem koniecznym i dostatecznym istnienia funkcji F jest równość odpowiednich pochodnych cząstkowych:

Przykład: Mamy rozwiązać przykład

Mamy kolejno:

a więc odpowiednie pochodne cząstkowe są równe.

Istnieje więc taka funkcja F, że

Wobec tego, przyjmując, że y jest stałe, dostajemy

więc w konsekwencji

Porównując odpowiednie pochodne cząstko­we

stwierdzamy, że

czyli

a więc ostatecznie całka ogólna naszego równania ma postać: