mata opracowanie, Matematyka opracowanie4


Całka nieoznaczona
Niech funkcja f(x) będzie określona w przedziale (a, b)
Def.: Funkcja F(x) różniczkowalna w (a, b) spełnia warunek 0x01 graphic

to finkcja pierwotna funkcji f(x) w (a, b). Przykład: 0x01 graphic
, 0x01 graphic

Def.: Zbiór wszystkich funkcji pierwotnych do f(x) w (a, b) nazywamy całką nieoznaczoną funkcji f(x) w (a, b). Piszemy: 0x01 graphic

Tw.: (Wniosek z tw. Lagrange'a) Dwie funkcje pierwotne funkcji f(x) w (a, b) różnią się o stałą:
0x01 graphic
to 0x01 graphic

Def.: Mówimy, że f(x) jest całkowalna w (a, b), jeżeli ma funkcję pierwotną w (a, b).
Tw.: Jeżeli funkcje f(x), g(x) są całkowalne w przedziale (a, b) to funkcje: 0x01 graphic
są również całkowalne w (a, b) i zachodzą związki:
0x01 graphic

0x01 graphic

Całkowanie przez części:
0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

Tw.: Jeżeli funkcje 0x01 graphic
, to:
0x01 graphic

Całkowanie przez podstawianie:
Jażeli 0x01 graphic
i odwzorowuje przedział 0x01 graphic
na przedział [a,b], w którym funkcja f(x) jest całkowalna. Przykład: 0x01 graphic

Całkowanie funkcji wymiernych:
Def.: FunkcjÄ… wymiernÄ… zmiennej x nazywamy funkcjÄ™ w postaci 0x01 graphic
, gdzie 0x01 graphic
sÄ… wielomianami zmiennej x.
Tw.: Każdą funkcję wymierną można przedstawić w postaci sumy wielomianu f wymiernej właściwej. 0x01 graphic
wynika to z twierdzenia o dzieleniu wielomianu z resztÄ….
Tw.: Dla każdego z dwóch wielomianów W(x) i Q(x) (Q(x)≠0) istnieją wielomiany P(x) i R(x) takie, że: 0x01 graphic

UÅ‚amki proste
Def.:
UÅ‚amki proste I rodzaju 0x01 graphic

Def.: UÅ‚amki proste II rodzaju 0x01 graphic

Tw.: Każdą f. nazywaną właściwą można rozbić na sumę ułamków prostych (jednoznacznie)
Całka oznaczona
Def.:
Jeżeli dla każdego ciągu normalnego podziału {Pn} istnieje skończona granica ciągu sum całkowitych Sn - zawsze taka sama, niezależnie od wyboru ciągu normalnego {P} i wyboru punktów pośrednich ƞi - to granicę tą nazywamy całką oznaczoną funkcji f(x) w przedziale [a,b] i piszemy 0x01 graphic
. O funkcji f(x) mówimy, że jest całkowalna na [a,b] w sensie Riemmana.
Tw.: Jeżeli funkcje f(x), g(x) są całkowalne w [a,b], to funkcje f(x)±g(x), c*f(x) (c∊R) są całkowalne e [a,b] i zachodzą związki jak przy całkach nieoznaczonych.
Tw1.: Funkcja ciągła w [a,b] jest całkowalna w przedziale [a,b].
Tw2.: Funkcje monotoniczne w [a,b].
Tw3.: Jeżeli funkcja f(x) jest całkowalna w [a,b] to jest całkowalna w przedziale ⟨α,β⟩⊂⟨a,b⟩
Tw.: Jeżeli funkcja F(x) jest dowolną funkcją pierwotną funkcji f(x) ciągłej w [a,b], to 0x01 graphic
. Umowa: 0x01 graphic

Zastosowanie całki oznaczonej:
1) Obliczanie pól figur płaskich:
Tw.: Jeżeli funkcja f1(x), f2(x) są ciągłe w [a,b] i 0x01 graphic
to pole obszaru ØÜ: ØÜ≤ØÜ≤1ØÜ≤ØÜ≤ØÜØÜwyraża siÄ™ wzorem: ØÜ=ØÜØÜØÜ2ØÜ−ØÜ1ØÜØÜØÜ
2) Obliczanie Å‚uku krzywej
Tw.: Jeżeli 0x01 graphic
, to długość łuku krzywej w tym przedziale wyraża się wzorem: 0x01 graphic

3) Objętość i pole powierzchni obrotowej
Niech 0x01 graphic
, C0- f. ciągła, y=f(x)
Obracamy f(x) dookoła osi OX otrzymujemy bryłę obrotową.
0x01 graphic
0x01 graphic

Całki niewłaściwe
Przy konstrukcji całki oznaczonej zakładaliśmy że: f(x) jest ograniczona w przedziale skończonym [a,b].
Jeżeli warunki te nie są spełnione mamy do czynienia z całkami niewłaściwymi.
1) Jeżeli f(x) jest ograniczona i całkowalna w przedziale [a, T] to: 0x01 graphic

2) Przedział całkowania skończony, funkcja podcałkowa nieskończona, f(x) jest ograniczona w każdym [a,b], a≤T<b-i nieograniczona w każdym przedziale [T,b]
Liczby zespolone
Liczba zespolona to liczba postaci 0x01 graphic

a - część rzeczywista liczby Z: Re(Z) b - część urojona liczby Z: Im(Z) i - jednostka urojona
Działania w zbiorze liczb zespolonych
Niech 0x01 graphic

Def.: 0x01 graphic

Def.: 0x01 graphic

Def.: 0x01 graphic

Sprzężenie
Def.:
0x01 graphic

0x01 graphic

Własności:
1)0x01 graphic
2)0x01 graphic
3) 0x01 graphic
4) 0x01 graphic

Moduł liczby zespolonej
Def.:
0x01 graphic

Własności:
1) 0x01 graphic
2) 0x01 graphic
3) 0x01 graphic
- tzw. Nierówność trójkątna
Postać trygonometryczna liczby zespolonej
0x01 graphic

Twierdzenie Eulera:
0x01 graphic

Postać wykładnicza

0x01 graphic

Mnożenie, dzielenie, potęgowanie, pierwiastkowanie liczb zespolonych w postaci wykładniczej i trygonometrycznej
0x01 graphic
0x01 graphic

Mnożnie:

0x01 graphic

0x01 graphic

Dzielenie:
0x01 graphic

0x01 graphic

Potęgowanie:
0x01 graphic

0x01 graphic

Pierwiastkowanie liczb zespolonych
0x01 graphic

Istnieje dokładnie n różnych pierwiastków stopnia n-tego z liczby Z. Wyrażają się wzorem:
0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

Wszystkie te pierwiastki leżą na okręgu o promieniu 0x01 graphic
i tworzą n-kąt foremny (o środku w początku układu współrzędnych).
Macierze
Def.:
Iloczyn kartezjański zbiorów:
0x01 graphic

(a,b) - para uporzÄ…dkowana (porzÄ…dek odgrywa rolÄ™)
(1,2)≠(2,1)
Def.: MacierzÄ… o m wierszach i n kolumnach i elementach rzeczywistych (zespolonych) nazywamy dowolnÄ… funkcjÄ™:
0x01 graphic
ta funkcja każdej parze liczb 0x01 graphic
przypisuje liczbę rzeczywistą (zespoloną), którą oznaczamy 0x01 graphic
.
Funkcję tą w sposób jawny zapisujemy w postaci tablicy o m-wierszach i n-kolumnach.
0x01 graphic
0x01 graphic

0x01 graphic

Własności (dodawanie):
1) 0x01 graphic
przemienność dodawania
2)0x01 graphic
dodawanie macierzy jest Å‚Ä…czne
3)0x01 graphic
macierz zerowa
4) 0x01 graphic
macierz przeciwna
Mnożenie macierzy przez liczbę (skalar)
Niech 0x01 graphic

Własności (mnożenie przez skalar):
0x01 graphic

1) 0x01 graphic

2) 0x01 graphic

3) 0x01 graphic

4) 0x01 graphic

Mnożenie macierzy
0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

Umowa:
0x01 graphic

0x01 graphic

Iloczyn skalarny wektorów w postaci 0x01 graphic

0x01 graphic

Uwaga:
Element 0x01 graphic
w iloczynie macierzy 0x01 graphic
jest równy iloczynowi skalarnemu 0x01 graphic
-tego wiersza macierzy 0x01 graphic
i 0x01 graphic
-tej kolumny macierzy 0x01 graphic
.
Własności (mnożenie):
0x01 graphic

1) 0x01 graphic
mnożenie jest łączne
2) 0x01 graphic
rozdzielność mnożenia względem dodawania
3) 0x01 graphic
mnożenie nie jest przemienne
4) 0x01 graphic

5) 0x01 graphic

Def.: Macierz transponowana
0x01 graphic
0x01 graphic
, gdzie:
0x01 graphic

6) 0x01 graphic

Wyznaczniki
Def.:
Wyznacznikiem nazywamy funkcjÄ™:
0x01 graphic
określoną indukcyjnie:
1) 0x01 graphic

2) 0x01 graphic
gdzie:
0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic
, tzn. wyznacznik który powstał z naszego wyznacznika przez wykreślenie 0x01 graphic
-tego wiersza i 0x01 graphic
-tej kolumny.
Własności wyznaczników:
Umowa: linia wyznacznika - wiersz bądź kolumna dwie linie równoległe to dwa wiersze bądź dwie kolumny
1) 0x01 graphic

2) Jeżeli jedna linia wyznacznika składa się z samych zer to 0x01 graphic

3) Jeżeli zamienimy miejscami dwie ||/ to wyznacznik zmieni znak na przeciwny.
4) Jeżeli dwie ||/ wyznacznika są identyczne to 0x01 graphic

5) Jeżeli w wyznaczniku dwie ||/ są proporcjonalne to 0x01 graphic

6)Jeżeli jedna linia wyznacznika jest pomnożona przez skalar 0x01 graphic
, to skalar ten można wyłączyć przed znak wyznacznika.
Umowa: Niech 0x01 graphic
0x01 graphic
- wektory
Wyrażenie 0x01 graphic
nazywamy kombinacją liniową wektorów 0x01 graphic

Umowa: linie wyznacznika można potraktować jak wektory z odpowiedniej postaci 0x01 graphic

7) Jeżeli jedna / wyznacznika jest kombinacją liniową innych /||, to 0x01 graphic

8) Jeżeli do jednej / wyznacznika dodamy kombinację liniową innych /||, to wartość wyznacznika nie ulegnie zmianie.
9) Twierdzenie Laplace'a
0x01 graphic

0x01 graphic
- dopełnienie algebraiczne elementu 0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic
- minor dopełniający
Uwaga (metoda obliczania wyznaczników):
korzystając z własności 1-8 doprowadzamy wybraną linię do stanu, w którym zawiera ona dużą ilość zer (patrz np. własność 8) i stosujemy twierdzenie Laplace'a do tej linii.
Macierz odwrotna
Def.: Macierz 0x01 graphic
nazywamy nieosobliwą jeżeli 0x01 graphic

Tw.: Jeżeli macierz A jest nieosobliwa to istnieje macierz odwrotna do niej 0x01 graphic

0x01 graphic

Procedura wyznaczania macierzy odwrotnej
1) 0x01 graphic

2) wyznaczamy macierz transponowanÄ… 0x01 graphic

3) wyznaczamy 0x01 graphic
- macierz dopełnień algebraicznych macierzy transponowanych: każdy element macierzy 0x01 graphic
zastępujemy jego dopełnieniem algebraicznym 0x01 graphic

4) Macierz odwrotna 0x01 graphic

Rozwiązywanie układów równań
0x01 graphic

układ 0x01 graphic
-równań liniowych o 0x01 graphic
-niewiadomych.
Macierz współczynników układu (x):
0x01 graphic

Kolumna niewiadomych:
0x01 graphic

Kolumna wyrazów wolnych:
0x01 graphic
0x01 graphic

Postać macierzowa układu
0x01 graphic

Przykład:
0x01 graphic

0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic

0x01 graphic

Rozwiązaniem układu, nazywamy każdy układ 0x01 graphic
-liczb: 0x01 graphic
o tej własności, że po podstawieniu tych liczb do układu odpowiednio: 0x01 graphic
uzyskujemy układ tożsamości.
Układy równań Crammera
Układ 0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
gdzie:
0x01 graphic
- nazywamy układem Crammera.
Tw.: układ Crammera 0x01 graphic
ma dokładnie jedno rozwiązanie dane wzorami:
0x01 graphic
, gdzie:
1) 0x01 graphic

2) 0x01 graphic
- wyznacznik powstały z wyznacznika 0x01 graphic
przez zastÄ…pienie 0x01 graphic
-tej kolumny kolumną wyrazów wolnych.
RzÄ…d macierzy
Def.:
Rzędem macierzy nazywamy największy ze stopni jej podwyznaczników (minorów) różnych od 0.
Procedura wyznaczania rzędu macierzy:
Poruszamy się od wyznaczników stopnia mniejszego do wyznaczników stopnia wyższego: jeżeli znaleźliśmy wyznacznik różny od zera, stopnia 0x01 graphic
, zaÅ› wszystkie zawierajÄ…ce go wyznaczniki stopnia 0x01 graphic
są równe 0, to rząd macierzy równa się 0x01 graphic
0x01 graphic

Układy równań liniowych - sytuacja ogólna
Mamy układ:
0x01 graphic
układ 0x01 graphic
-równań o 0x01 graphic
-niewiadomych
0x01 graphic
macierz układu
0x01 graphic
macierz poszerzona (uzupełniona)
Twierdzenie (Kroneckera-Capellego):
Układ równań ma rozwiązanie 0x01 graphic
, nadto, jeżeli: 0x01 graphic
to:
1) 0x01 graphic
- układ ma dokładnie 1 rozwiązanie
2) 0x01 graphic
- układ ma nieskończenie wiele rozwiązań
0x01 graphic
-układ sprzeczny
0x01 graphic
- układ ma rozwiązanie, należy je znaleźć
Procedura wyznaczania rozwiązań niesprzecznego układu równań
Jeżeli 0x01 graphic
oznacza to, że w macierzy A istnieje niezerowy wyznacznik stopnia k. Równania, których współczynniki nie tworzą tego wyznacznika opuszczamy (są one liniowo zależne od pozostawionych). Niewiadome, których współczynniki nie tworzą naszego współczynnika stopnia 0x01 graphic
przenosimy na drugą stronę układu równań i traktujemy jako tzw. Zmienne swobodne (można im nadać dowolną wartość rzeczywistą). Uzyskaliśmy układ 0x01 graphic
-równań z 0x01 graphic
-niewiadomymi i wyznacznikiem różnym od zera. Jest to układ Crammera. Rozwiązujemy go.
Elementy rachunku wektorowego
Def.:
Wektorem nazywamy uporządkowaną parę punktów przestrzeni: 0x01 graphic
- 0x01 graphic
poczÄ…tek wektora, 0x01 graphic
koniec wektora 0x01 graphic

Def.: Długość wektora 0x01 graphic
to długość odcinka 0x01 graphic
. Wektor 0x01 graphic
którego początek pokrywa się z końca to tzw. wektor zerowy: 0x01 graphic

Def.: (równość wektorów) dwa wektory 0x01 graphic
są równe tylko i tylko wtedy gdy:
1) 0x01 graphic
długość
2) 0x01 graphic
kierunek
3) 0x01 graphic
majÄ… ten sam zwrot
Wektor swobodny - zbiór wszystkich wektorów równych wektorowi 0x01 graphic

0x01 graphic
- zbiór wszystkich wektorów przestrzeni (na płaszczyźnie)
Dodawanie wektorów
0x01 graphic
to wektor uzyskany w następujący sposób: z końca wektora 0x01 graphic
odkładamy wektor 0x01 graphic
. Wektor którego początek jest początkiem wektora 0x01 graphic
, zaś koniec końcem wektora 0x01 graphic
to wektor 0x01 graphic
.
Własności:
1) 0x01 graphic
przemienność
2) 0x01 graphic
łączność
3) 0x01 graphic
istnienie wektora zerowego
4) 0x01 graphic
istnienie wektora zerowego
0x01 graphic
to tzw. grupa przeciwna
Mnożenie wektora przez skalar
0x01 graphic
- skalar
0x01 graphic
- wektor
Def.: 0x01 graphic

1) 0x01 graphic

2) 0x01 graphic
kierunek
3) 0x01 graphic
, to wektory 0x01 graphic
i 0x01 graphic
majÄ… ten sam zwrot, 0x01 graphic
, to wektory majÄ… przeciwne zwroty
Własności:
0x01 graphic
, 0x01 graphic

1) 0x01 graphic

2) 0x01 graphic

3) 0x01 graphic

4) 0x01 graphic

Iloczyn skalarny wektorów
0x01 graphic
0x01 graphic

Def.:
0x01 graphic

Własności:
1) 0x01 graphic

2) 0x01 graphic

3) 0x01 graphic
=0x01 graphic

4) 0x01 graphic

5) 0x01 graphic

6) 0x01 graphic

7) 0x01 graphic

Def. kartezjański ukł. współrzędnych - to układ trzech wzajemnie prostopadłych osi o wspólnym początku i tej samej jednostce długości.
0x01 graphic
0x01 graphic
wersory
Własności:
0x01 graphic
0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

1) 0x01 graphic

2) 0x01 graphic

3) 0x01 graphic

4) |0x01 graphic

5) 0x01 graphic
warunek prostopadłości wektorów
6) 0x01 graphic
warunek równoległości wektorów
7)0x01 graphic
0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

Iloczyn wektorowy
Def.:
0x01 graphic
to wektor:
1) 0x01 graphic
długość
2) 0x01 graphic
kierunek
3) 0x01 graphic
jest zgodnie skrętna z przyjętą orientacją układu współrzędnych, tzn. jest zgodnie skrętna z trójką wersorów.
Jeżeli 0x01 graphic

Własności
1) 0x01 graphic

2) 0x01 graphic

3) 0x01 graphic

4) 0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic
symboliczny zapis
0x01 graphic

5) 0x01 graphic
0x01 graphic

Iloczyn mieszany wektorów
Def.:
0x01 graphic

Własności:
0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

1) 0x01 graphic
patrz własności wyznaczników
2) 0x01 graphic

3) wektory 0x01 graphic
są współ płaszczyznowe 0x01 graphic

PÅ‚aszczyzna w przestrzeni
1. Napisać równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt 0x01 graphic
i ⊥ 0x01 graphic

0x01 graphic
0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

Równanie ogólne płaszczyzny: 0x01 graphic

Odległość punktu od płaszczyzny: 0x01 graphic

Mamy dwie płaszczyzny: 0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

Kiedy 0x01 graphic
?
0x01 graphic

0x01 graphic
?
0x01 graphic

0x01 graphic
?
0x01 graphic

Prosta w przestrzeni
0x01 graphic

0x01 graphic
równanie kanoniczne prostej
Równanie parametryczne prostej
0x01 graphic

0x01 graphic

Równanie płaszczyznowe (krawędziowe) prostej
0x01 graphic


Mamy dwie proste:
0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic


0x01 graphic
warunek prostopadłości prostych

0x01 graphic

Odległość punktu od prostej
0x01 graphic

prosta: 0x01 graphic

0x01 graphic



Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
mata opracowanie Matematyka opracowanie
Analiza matematycza opracowanie pytań
Matematyka dyskretna opracowani Nieznany
STATYSTYKA MATEMATYCZNA Opracowanie na kolokwium
edukacja matematyczna w przedszkolu-opracowane zagadnienia do egzaminu, UKW
Elementy statystyki matematycznej wykorzystywane do opracowywania wielkości wyznaczanych, Geodezja i
matematyka - opracowanie
projekt - ZBIERANIE I OPRACOWYWANIE DANYCH, Matematyka dla Szkoły Podstawowej, Gimnazjum
matematyka.referat, referaty,opracowania
Dziecięca Matematyka - scenariusze, Scenariusz40, Opracowała: mgr Krystyna Wnęczak i mgr Wiesława K
Cwiczenie 10, Matematyczna opracowane (...)
Dziecięca Matematyka - scenariusze, Scenariusz31 6l, Opracowała: mgr Krystyna Wnęczak i mgr Wiesław
Monograficzne opracowanie liczb w klasie pierwszej, Matematyka-dużo
opracowanie pytan do egzaminu, Geodezja, Matematyczne Podstawy Kartografii
MATEMATYKA OPRACOWANIE
Stałe matematyczne w Dev - C++, Dokumenty i opracowania, Informatyka, Stałe matematyczne i funkcje
Analiza matematyczna 2 - opracowane zagadnienia na egzamin, Wykłady - Studia matematyczno-informatyc
Opracowanie teorii z matematyki, Studia Budownictwo polsl, I semestr, Matematyka

więcej podobnych podstron