Całka nieoznaczona
Niech funkcja f(x) będzie określona w przedziale (a, b)
Def.: Funkcja F(x) różniczkowalna w (a, b) spełnia warunek
to finkcja pierwotna funkcji f(x) w (a, b). Przykład:
,
Def.: Zbiór wszystkich funkcji pierwotnych do f(x) w (a, b) nazywamy całką nieoznaczoną funkcji f(x) w (a, b). Piszemy:
Tw.: (Wniosek z tw. Lagrange'a) Dwie funkcje pierwotne funkcji f(x) w (a, b) różnią się o stałą:
to
Def.: Mówimy, że f(x) jest całkowalna w (a, b), jeżeli ma funkcję pierwotną w (a, b).
Tw.: Jeżeli funkcje f(x), g(x) są całkowalne w przedziale (a, b) to funkcje:
są również całkowalne w (a, b) i zachodzą związki:
Całkowanie przez części:
Tw.: Jeżeli funkcje
, to:
Całkowanie przez podstawianie:
Jażeli
i odwzorowuje przedział
na przedział [a,b], w którym funkcja f(x) jest całkowalna. Przykład:
Całkowanie funkcji wymiernych:
Def.: FunkcjÄ… wymiernÄ… zmiennej x nazywamy funkcjÄ™ w postaci
, gdzie
sÄ… wielomianami zmiennej x.
Tw.: Każdą funkcję wymierną można przedstawić w postaci sumy wielomianu f wymiernej właściwej.
wynika to z twierdzenia o dzieleniu wielomianu z resztÄ….
Tw.: Dla każdego z dwóch wielomianów W(x) i Q(x) (Q(x)≠0) istnieją wielomiany P(x) i R(x) takie, że:
UÅ‚amki proste
Def.: UÅ‚amki proste I rodzaju
Def.: UÅ‚amki proste II rodzaju
Tw.: Każdą f. nazywaną właściwą można rozbić na sumę ułamków prostych (jednoznacznie)
Całka oznaczona
Def.: Jeżeli dla każdego ciągu normalnego podziału {Pn} istnieje skończona granica ciągu sum całkowitych Sn - zawsze taka sama, niezależnie od wyboru ciągu normalnego {P} i wyboru punktów pośrednich ƞi - to granicę tą nazywamy całką oznaczoną funkcji f(x) w przedziale [a,b] i piszemy
. O funkcji f(x) mówimy, że jest całkowalna na [a,b] w sensie Riemmana.
Tw.: Jeżeli funkcje f(x), g(x) są całkowalne w [a,b], to funkcje f(x)±g(x), c*f(x) (c∊R) są całkowalne e [a,b] i zachodzą związki jak przy całkach nieoznaczonych.
Tw1.: Funkcja ciągła w [a,b] jest całkowalna w przedziale [a,b].
Tw2.: Funkcje monotoniczne w [a,b].
Tw3.: Jeżeli funkcja f(x) jest całkowalna w [a,b] to jest całkowalna w przedziale ⟨α,β⟩⊂⟨a,b⟩
Tw.: Jeżeli funkcja F(x) jest dowolną funkcją pierwotną funkcji f(x) ciągłej w [a,b], to
. Umowa:
Zastosowanie całki oznaczonej:
1) Obliczanie pól figur płaskich:
Tw.: Jeżeli funkcja f1(x), f2(x) są ciągłe w [a,b] i
to pole obszaru ØÜ: ØÜ≤ØÜ≤1ØÜ≤ØÜ≤ØÜØÜwyraża siÄ™ wzorem: ØÜ=ØÜØÜØÜ2ØÜ−ØÜ1ØÜØÜØÜ
2) Obliczanie Å‚uku krzywej
Tw.: Jeżeli
, to długość łuku krzywej w tym przedziale wyraża się wzorem:
3) Objętość i pole powierzchni obrotowej
Niech
, C0- f. ciągła, y=f(x)
Obracamy f(x) dookoła osi OX otrzymujemy bryłę obrotową.
Całki niewłaściwe
Przy konstrukcji całki oznaczonej zakładaliśmy że: f(x) jest ograniczona w przedziale skończonym [a,b].
Jeżeli warunki te nie są spełnione mamy do czynienia z całkami niewłaściwymi.
1) Jeżeli f(x) jest ograniczona i całkowalna w przedziale [a, T] to:
2) Przedział całkowania skończony, funkcja podcałkowa nieskończona, f(x) jest ograniczona w każdym [a,b], a≤T<b-i nieograniczona w każdym przedziale [T,b]
Liczby zespolone
Liczba zespolona to liczba postaci
a - część rzeczywista liczby Z: Re(Z) b - część urojona liczby Z: Im(Z) i - jednostka urojona
Działania w zbiorze liczb zespolonych
Niech
Def.:
Def.:
Def.:
Sprzężenie
Def.:
Własności:
1)
2)
3)
4)
Moduł liczby zespolonej
Def.:
Własności:
1)
2)
3)
- tzw. Nierówność trójkątna
Postać trygonometryczna liczby zespolonej
Twierdzenie Eulera:
Postać wykładnicza
Mnożenie, dzielenie, potęgowanie, pierwiastkowanie liczb zespolonych w postaci wykładniczej i trygonometrycznej
Mnożnie:
Dzielenie:
Potęgowanie:
Pierwiastkowanie liczb zespolonych
Istnieje dokładnie n różnych pierwiastków stopnia n-tego z liczby Z. Wyrażają się wzorem:
Wszystkie te pierwiastki leżą na okręgu o promieniu
i tworzą n-kąt foremny (o środku w początku układu współrzędnych).
Macierze
Def.: Iloczyn kartezjański zbiorów:
(a,b) - para uporzÄ…dkowana (porzÄ…dek odgrywa rolÄ™)
(1,2)≠(2,1)
Def.: MacierzÄ… o m wierszach i n kolumnach i elementach rzeczywistych (zespolonych) nazywamy dowolnÄ… funkcjÄ™:
ta funkcja każdej parze liczb
przypisuje liczbę rzeczywistą (zespoloną), którą oznaczamy
.
Funkcję tą w sposób jawny zapisujemy w postaci tablicy o m-wierszach i n-kolumnach.
Własności (dodawanie):
1)
przemienność dodawania
2)
dodawanie macierzy jest Å‚Ä…czne
3)
macierz zerowa
4)
macierz przeciwna
Mnożenie macierzy przez liczbę (skalar)
Niech
Własności (mnożenie przez skalar):
1)
2)
3)
4)
Mnożenie macierzy
Umowa:
Iloczyn skalarny wektorów w postaci
Uwaga:
Element
w iloczynie macierzy
jest równy iloczynowi skalarnemu
-tego wiersza macierzy
i
-tej kolumny macierzy
.
Własności (mnożenie):
1)
mnożenie jest łączne
2)
rozdzielność mnożenia względem dodawania
3)
mnożenie nie jest przemienne
4)
5)
Def.: Macierz transponowana
, gdzie:
6)
Wyznaczniki
Def.: Wyznacznikiem nazywamy funkcjÄ™:
określoną indukcyjnie:
1)
2)
gdzie:
, tzn. wyznacznik który powstał z naszego wyznacznika przez wykreślenie
-tego wiersza i
-tej kolumny.
Własności wyznaczników:
Umowa: linia wyznacznika - wiersz bądź kolumna dwie linie równoległe to dwa wiersze bądź dwie kolumny
1)
2) Jeżeli jedna linia wyznacznika składa się z samych zer to
3) Jeżeli zamienimy miejscami dwie ||/ to wyznacznik zmieni znak na przeciwny.
4) Jeżeli dwie ||/ wyznacznika są identyczne to
5) Jeżeli w wyznaczniku dwie ||/ są proporcjonalne to
6)Jeżeli jedna linia wyznacznika jest pomnożona przez skalar
, to skalar ten można wyłączyć przed znak wyznacznika.
Umowa: Niech
- wektory
Wyrażenie
nazywamy kombinacją liniową wektorów
Umowa: linie wyznacznika można potraktować jak wektory z odpowiedniej postaci
7) Jeżeli jedna / wyznacznika jest kombinacją liniową innych /||, to
8) Jeżeli do jednej / wyznacznika dodamy kombinację liniową innych /||, to wartość wyznacznika nie ulegnie zmianie.
9) Twierdzenie Laplace'a
- dopełnienie algebraiczne elementu
- minor dopełniający
Uwaga (metoda obliczania wyznaczników):
korzystając z własności 1-8 doprowadzamy wybraną linię do stanu, w którym zawiera ona dużą ilość zer (patrz np. własność 8) i stosujemy twierdzenie Laplace'a do tej linii.
Macierz odwrotna
Def.: Macierz
nazywamy nieosobliwą jeżeli
Tw.: Jeżeli macierz A jest nieosobliwa to istnieje macierz odwrotna do niej
Procedura wyznaczania macierzy odwrotnej
1)
2) wyznaczamy macierz transponowanÄ…
3) wyznaczamy
- macierz dopełnień algebraicznych macierzy transponowanych: każdy element macierzy
zastępujemy jego dopełnieniem algebraicznym
4) Macierz odwrotna
Rozwiązywanie układów równań
układ
-równań liniowych o
-niewiadomych.
Macierz współczynników układu (x):
Kolumna niewiadomych:
Kolumna wyrazów wolnych:
Postać macierzowa układu
Przykład:
Rozwiązaniem układu, nazywamy każdy układ
-liczb:
o tej własności, że po podstawieniu tych liczb do układu odpowiednio:
uzyskujemy układ tożsamości.
Układy równań Crammera
Układ
gdzie:
- nazywamy układem Crammera.
Tw.: układ Crammera
ma dokładnie jedno rozwiązanie dane wzorami:
, gdzie:
1)
2)
- wyznacznik powstały z wyznacznika
przez zastÄ…pienie
-tej kolumny kolumną wyrazów wolnych.
RzÄ…d macierzy
Def.: Rzędem macierzy nazywamy największy ze stopni jej podwyznaczników (minorów) różnych od 0.
Procedura wyznaczania rzędu macierzy:
Poruszamy się od wyznaczników stopnia mniejszego do wyznaczników stopnia wyższego: jeżeli znaleźliśmy wyznacznik różny od zera, stopnia
, zaÅ› wszystkie zawierajÄ…ce go wyznaczniki stopnia
są równe 0, to rząd macierzy równa się
Układy równań liniowych - sytuacja ogólna
Mamy układ:
układ
-równań o
-niewiadomych
macierz układu
macierz poszerzona (uzupełniona)
Twierdzenie (Kroneckera-Capellego):
Układ równań ma rozwiązanie
, nadto, jeżeli:
to:
1)
- układ ma dokładnie 1 rozwiązanie
2)
- układ ma nieskończenie wiele rozwiązań
-układ sprzeczny
- układ ma rozwiązanie, należy je znaleźć
Procedura wyznaczania rozwiązań niesprzecznego układu równań
Jeżeli
oznacza to, że w macierzy A istnieje niezerowy wyznacznik stopnia k. Równania, których współczynniki nie tworzą tego wyznacznika opuszczamy (są one liniowo zależne od pozostawionych). Niewiadome, których współczynniki nie tworzą naszego współczynnika stopnia
przenosimy na drugą stronę układu równań i traktujemy jako tzw. Zmienne swobodne (można im nadać dowolną wartość rzeczywistą). Uzyskaliśmy układ
-równań z
-niewiadomymi i wyznacznikiem różnym od zera. Jest to układ Crammera. Rozwiązujemy go.
Elementy rachunku wektorowego
Def.: Wektorem nazywamy uporządkowaną parę punktów przestrzeni:
-
poczÄ…tek wektora,
koniec wektora
Def.: Długość wektora
to długość odcinka
. Wektor
którego początek pokrywa się z końca to tzw. wektor zerowy:
Def.: (równość wektorów) dwa wektory
są równe tylko i tylko wtedy gdy:
1)
długość
2)
kierunek
3)
majÄ… ten sam zwrot
Wektor swobodny - zbiór wszystkich wektorów równych wektorowi
- zbiór wszystkich wektorów przestrzeni (na płaszczyźnie)
Dodawanie wektorów
to wektor uzyskany w następujący sposób: z końca wektora
odkładamy wektor
. Wektor którego początek jest początkiem wektora
, zaś koniec końcem wektora
to wektor
.
Własności:
1)
przemienność
2)
łączność
3)
istnienie wektora zerowego
4)
istnienie wektora zerowego
to tzw. grupa przeciwna
Mnożenie wektora przez skalar
- skalar
- wektor
Def.:
1)
2)
kierunek
3)
, to wektory
i
majÄ… ten sam zwrot,
, to wektory majÄ… przeciwne zwroty
Własności:
,
1)
2)
3)
4)
Iloczyn skalarny wektorów
Def.:
Własności:
1)
2)
3)
=
4)
5)
6)
7)
Def. kartezjański ukł. współrzędnych - to układ trzech wzajemnie prostopadłych osi o wspólnym początku i tej samej jednostce długości.
wersory
Własności:
1)
2)
3)
4) |
5)
warunek prostopadłości wektorów
6)
warunek równoległości wektorów
7)
Iloczyn wektorowy
Def.:
to wektor:
1)
długość
2)
kierunek
3)
jest zgodnie skrętna z przyjętą orientacją układu współrzędnych, tzn. jest zgodnie skrętna z trójką wersorów.
Jeżeli
Własności
1)
2)
3)
4)
symboliczny zapis
5)
Iloczyn mieszany wektorów
Def.:
Własności:
1)
patrz własności wyznaczników
2)
3) wektory
są współ płaszczyznowe
PÅ‚aszczyzna w przestrzeni
1. Napisać równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt
i ⊥
Równanie ogólne płaszczyzny:
Odległość punktu od płaszczyzny:
Mamy dwie płaszczyzny:
Kiedy
?
?
?
Prosta w przestrzeni
równanie kanoniczne prostej
Równanie parametryczne prostej
Równanie płaszczyznowe (krawędziowe) prostej
Mamy dwie proste:
warunek prostopadłości prostych
Odległość punktu od prostej
prosta: