© 2014, Piniu

1

MATEMATYKA

I. RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH

1. Pojęcie funkcji wielu zmiennych, dziedzina funkcji, wykres.

Niech Ω c R

n

, nϵN

Funkcja n zmiennych x

1

,x

2

,x

3

,…,x

n

określona w zbiorze Ω, jest to przyporządkowanie każdemu punktowi

x=( x

1

,x

2

,x

3

,…,x

n

) dokładnie jednej liczby zϵR. Piszemy: z=f(x)=f(x

1

,x

2

,x

3

,…,x

n

).

Zbiór Ω nazywamy dziedziną funkcji.

Zbiór punktów w przestrzeni R

3

w postaci (x, y, f(x,y)) nazywamy wykresem funkcji.

2. Pochodne cząstkowe funkcji 1-go rzędu i wyższych rzędów. Pochodne mieszane.

Ω c R

2

, Ω - zbiór otwarty, f: Ω --> R, (x

0

,y

0

) ϵ Ω

Pochodna cząstkowa funkcji względem zmiennej x:
𝑑𝑓
𝑑𝑥

(𝑥

0

, 𝑦

0

) = lim

ℎ→0

𝑓(𝑥

0

+ ℎ, 𝑦

0

) − 𝑓(𝑥

0

, 𝑦

0

)

ℎ

Pochodna cząstkowa funkcji względem zmiennej y:
𝑑𝑓
𝑑𝑥

(𝑥

0

, 𝑦

0

) = lim

ℎ→0

𝑓(𝑥

0

, 𝑦

0

+ ℎ) − 𝑓(𝑥

0

, 𝑦

0

)

ℎ

Funkcja jest różniczkowalna w punkcie, gdy ma pochodną (posiada styczną)

Tw. Schwarza

Jeżeli

𝑑

2

𝑓

𝑑𝑥𝑑𝑦

,

𝑑

2

𝑓

𝑑𝑦𝑑𝑥

są ciągłe w Ω, to

𝑑

2

𝑓

𝑑𝑥𝑑𝑦

(𝑥, 𝑦) =

𝑑

2

𝑓

𝑑𝑦𝑑𝑥

(𝑥, 𝑦) dla (x,y) ϵ Ω.

3. Definicja pochodnej kierunkowej funkcji dwóch i trzech zmiennych. Wyznaczanie kierunku najszybszego
wzrostu wartości funkcji.

Niech 𝑎⃗=[a

1

,a

2

] oraz |𝑎⃗|=1. Niech f będzie określona w pewnym otoczeniu punktu (x

0

,y

0

). Jeżeli istnieje

skończona granica*, to nazywamy ją pochodną funkcji f w kierunku wektora 𝑎⃗ (pochodną kierunkową).
*

lim

ℎ→0

𝑓(𝑥

0

+ 𝑎

1

ℎ, 𝑦

0

+ 𝑎

2

ℎ) − 𝑓(𝑥

0

, 𝑦

0

)

ℎ

Gradient funkcji wskazuje najszybszy wzrost wartości funkcji w ustalonym punkcie.
𝑑𝑓
𝑑𝑎

(𝑥

0

, 𝑦

0

) = 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑓(𝑥

0

, 𝑦

0

) ° 𝑎⃗

W przypadku funkcji z=f(x,y) pochodna cząstkowa:

𝑑𝑓

𝑑𝑥

(𝑥

0

, 𝑦

0

)

oznacza szybkość zmiany wartości funkcji na kierunku wyznaczonym osią OX

𝑑𝑓

𝑑𝑦

(𝑥

0

, 𝑦

0

)

oznacza szybkość zmiany wartości funkcji na kierunku wyznaczonym osią OY

© 2014, Piniu

2

4. Różniczka zupełna funkcji i jej związek z przyrostem wartości funkcji. Przykłady zastosowania różniczki do
obliczeń przybliżonych.

Ω c R

n

, Ω - zbiór otwarty, f: Ω --> R, f. jest różniczkowalna w Ω,

xϵΩ, x=(x

1

,x

2

,x

3

,…,x

n

), x

i

ϵR, i=1,2,3,…,n, Δx=(Δx

1

, Δx

2

, Δx

3

, …, Δx

n

)

Wyrażenie postaci 𝑑𝑓(𝑥) =

𝑑𝑓

𝑑𝑥

1

(𝑥)𝑑𝑥

1

+

𝑑𝑓

𝑑𝑥

2

(𝑥)𝑑𝑥

2

+…+

𝑑𝑓

𝑑𝑥

𝑛

(𝑥)𝑑𝑥

𝑛

nazywamy różniczką zupełną funkcji w

punkcie x=(x

1

,x

2

,x

3

,…,x

n

) dla przyrostów argumentów Δx

1

= dx

1

, Δx

2

= dx

2

, …, Δx

n

= dx

n

Dla dostatecznie małych przyrostów dx

1

, dx

2

,…, dx

n

argumentów funkcji x=(x

1

,x

2

,x

3

,…,x

n

) zachodzi

przybliżona równość Δf≈df(x).

x, y, z – wielkości fizyczne związane zależnością z=f(x,y), gdzie f jest różniczkowalna
Δx, Δy – błędy bezwzględne pomiarów wielkości x, y
Δz – błąd bezwzględny obliczania wielkości z

Wtedy: |∆𝑧| ≈ |

𝑑𝑓
𝑑𝑥

| ∗ ∆𝑥 + |

𝑑𝑓
𝑑𝑦

| ∗ ∆𝑦

5. Ekstrema lokalne funkcji dwóch i trzech zmiennych. Metoda najmniejszych kwadratów jako przykład
wyznaczania ekstremum funkcji dwóch zmiennych.

Ω c R

2

,

Ω - zbiór otwarty

Niech A(x

0

,y

0

) ϵ Ω, f: Ω --> R,

𝑑𝑓

𝑑𝑥

oraz

𝑑𝑓

𝑑𝑦

istnieją i są ciągłe. Jeżeli:

1.

𝑑𝑓

𝑑𝑥

(𝐴) = 0 i

𝑑𝑓

𝑑𝑦

(𝐴) = 0

-warunek konieczny

2. W(A)=|

𝑑

2

𝑓

𝑑𝑥

2

(𝐴)

𝑑

2

𝑓

𝑑𝑥𝑑𝑦

(𝐴)

𝑑

2

𝑓

𝑑𝑦𝑑𝑥

(𝐴)

𝑑

2

𝑓

𝑑𝑦

2

(𝐴)

| > 0

-warunek dostateczny

3.

𝑑

2

𝑓

𝑑𝑥

2

(𝐴) > 0

/

𝑑

2

𝑓

𝑑𝑥

2

(𝐴) < 0

To funkcja ma w punkcie A(x

0

,y

0

) minimum/maximum lokalne.

Jeżeli W(A)<0, to funkcja nie posiada ekstremum w punkcie A.
Jeżeli W(A)=0, to twierdzenie nie rozstrzyga kwestii istnienia ekstremum.

© 2014, Piniu

3

II. OPERATORY RÓŻNICZKOWE

1. Gradient, rotacja, dywergencja i laplasjan (definicje).

Gradientem funkcji f nazywamy wektor określony wzorem:

𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = [

𝑑𝑓
𝑑𝑥

(𝑥, 𝑦, 𝑧),

𝑑𝑓
𝑑𝑦

(𝑥, 𝑦, 𝑧),

𝑑𝑓

𝑑𝑧

(𝑥, 𝑦, 𝑧)]

f: Ω-->R, Ω c R

3

Dywergencją odwzorowania F nazywamy wyrażenie:

𝑑𝑖𝑣 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) =

𝑑𝑃

𝑑𝑥

(𝑥, 𝑦, 𝑧) +

𝑑𝑄

𝑑𝑦

(𝑥, 𝑦, 𝑧) +

𝑑𝑅

𝑑𝑧

(𝑥, 𝑦, 𝑧)

F: R

3

--> R

3

, F=(P,Q,R), gdzie P,Q,R: R

3

--> R

Laplasjanem funkcji f nazywamy wyrażenie:

𝛥𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) =

𝑑

2

𝑓

𝑑𝑥

2

(𝑥, 𝑦, 𝑧) +

𝑑

2

𝑓

𝑑𝑦

2

(𝑥, 𝑦, 𝑧) +

𝑑

2

𝑓

𝑑𝑧

2

(𝑥, 𝑦, 𝑧)

f: Ω-->R, Ω c R

3

Rotacją odwzorowania F nazywamy wyrażenie:

𝑟𝑜𝑡 𝐹 = |

𝑖⃗

𝑗⃗

𝑘

⃗⃗

𝑑

𝑑𝑥

𝑑

𝑑𝑦

𝑑

𝑑𝑧

𝑃

𝑄

𝑅

|

𝑖⃗ = [1,0,0], 𝑗⃗ = [0,1,0], 𝑘⃗⃗ = [0,0,1]

F: R

3

--> R

3

, F=(P,Q,R), gdzie P,Q,R: R

3

--> R

Związek między dywergencją, gradientem i laplasjanem:

𝛥𝑓

= 𝑑𝑖𝑣 (𝑔𝑟𝑎𝑑𝑓)

© 2014, Piniu

4

III. CAŁKOWANIE FUNKCJI DWÓCH ZMIENNYCH

1. Całka podwójna po prostokącie o bokach równoległych do osi układu współrzędnych.

Niech f będzie funkcją rzeczywistą określoną na prostokącie P c R

2

.

Powiemy, że funkcja f jest całkowalna (w sensie Riemanna) na prostokącie P, jeżeli istnieje liczba
rzeczywista S taka, że każdy normalny ciąg sum całkowych funkcji f po prostokącie P jest zbieżny do S.

Liczbę S nazywamy całką podwójną funkcji po prostokącie P i oznaczamy:

∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦

𝑃

2. Definicja obszaru normalnego na płaszczyźnie. Całka podwójna po obszarze normalnym.

Obszar D={(x,y): a≤x≤b, g(x)≤y≤h(x)}, gdzie: a,b ϵ R, g oraz h są funkcjami ciągłymi określonymi w przedziale
<a,b> nazywamy obszarem normalnym względem osi OX.

Całka podwójna po obszarze normalnym względem osi OX:

∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦

𝐷

= ∫ (∫

𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑦)𝑑𝑥

ℎ(𝑥)

𝑔(𝑥)

𝑏

𝑎

3. Zamiana zmiennych w całce podwójnej (w tym: współrzędne biegunowe).

D c R

2

Dane jest przekształcenie x=x(u,v), y=y(u,v), gdzie u oraz v są nowymi zmiennymi określonymi na zbiorze D’,
które jest ciągłe i różniczkowalne oraz przekształca wzajemnie jednoznacznie obszar D’ na obszar D.

Jakobianem przekształcenia x=x(u,v), y=y(u,v) nazywamy wyrażenie postaci:

𝐽 = ||

𝑑𝑥
𝑑𝑢

𝑑𝑥
𝑑𝑣

𝑑𝑦
𝑑𝑢

𝑑𝑦
𝑑𝑣

||

Jeżeli wzory x=x(u,v), y=y(u,v) realizują powyższe przekształcenie, gdzie D’ c R

2

oraz J≠0, to:

∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∬ 𝑓(𝑥(𝑢, 𝑣), 𝑦(𝑢, 𝑣)) ∙ |𝐽|𝑑𝑢𝑑𝑣

𝐷′

𝐷

Współrzędne biegunowe:
x = rcosϕ
y = rsinϕ
J = rcos

2

ϕ + rsin

2

ϕ = r

4. Przykłady zastosowań całki podwójnej w geometrii i mechanice (w tym: wyznaczanie współrzędnych
środka ciężkości obszarów płaskich).

© 2014, Piniu

5

IV. CAŁKOWANIE FUNKCJI TRZECH ZMIENNYCH

1. Całka potrójna po prostopadłościanie o krawędziach równoległych do osi układu współrzędnych.

Niech f będzie funkcją rzeczywistą określoną na prostopadłościanie P c R

3

.

Powiemy, że funkcja f jest całkowalna (w sensie Riemanna) na prostopadłościanie P, jeżeli istnieje liczba
rzeczywista S taka, że każdy normalny ciąg sum całkowych funkcji f po p-padłościanie P jest zbieżny do S.

Liczbę S nazywamy całką potrójną funkcji po prostopadłościanie P i oznaczamy:

∭ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧

𝑃

2. Całka potrójna po obszarze normalnym.

Funkcje h

1

(x), h

2

(x) są ciągłe w przedziale [a,b], natomiast funkcje k

1

(x,y), k

2

(x,y) są ciągłe w Ω.

D={(x,y,z) ϵ R

3

: a≤x≤b, h

1

(x) ≤y≤ h

2

(x), k

1

(x,y) ≤z≤ k

2

(x,y)}

∭ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = ∫ 𝑑𝑥 ∫

𝑑𝑦 ∫

𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑧

k

2

(x,y)

k

1

(x,y)

h

2

(x)

h

1

(x)

𝑏

𝑎

𝐷

3. Zamiana zmiennych (w tym: współrzędne walcowe i sferyczne).

D c R

3

Dane jest przekształcenie x=x(u,v,w), y=y(u,v,w), z=z(u,v,w), gdzie u, v oraz w są nowymi zmiennymi
określonymi na zbiorze D’, które jest ciągłe i różniczkowalne oraz przekształca wzajemnie jednoznacznie
obszar D’ na obszar D.

Jakobianem przekształcenia x=x(u,v,w), y=y(u,v,w), z=z(u,v,w) nazywamy wyrażenie postaci:

𝐽 =

|

|

𝑑𝑥
𝑑𝑢

𝑑𝑥
𝑑𝑣

𝑑𝑥

𝑑𝑤

𝑑𝑦
𝑑𝑢

𝑑𝑦
𝑑𝑣

𝑑𝑦

𝑑𝑤

𝑑𝑧

𝑑𝑢

𝑑𝑧
𝑑𝑣

𝑑𝑧

𝑑𝑤

|

|

Jeżeli wzory x=x(u,v,w), y=y(u,v,w), z=z(u,v,w) realizują powyższe przekształcenie, gdzie D’ c R

3

oraz J≠0, to:

∭ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = ∭ 𝑓(𝑥(𝑢, 𝑣, 𝑤), 𝑦(𝑢, 𝑣, 𝑤), 𝑧(𝑢, 𝑣, 𝑤)) ∙ |𝐽|𝑑𝑢𝑑𝑣𝑑𝑤

𝐷′

𝐷

Współrzędne walcowe:
x = rcosϕ

0 < r < +∞

y = rsinϕ

gdzie:

0 < ϕ < 2𝜋

J=r

z = z

-∞

< z < +∞

Współrzędne sferyczne:
x = rsinΨcosϕ
y = rsinΨsinϕ
z = rcosΨ

© 2014, Piniu

6

V. CAŁKI KRZYWOLINIOWE

1. Definicja całki krzywoliniowej niezorientowanej.

Ω c R

2

, f: Ω-->R, f - funkcja ciągła, c - krzywa na płaszczyźnie zawarta w zbiorze Ω, c: y=y(x), xϵ[a,b]

Funkcja y=y(x) ma ciągłe pochodne w (a,b) oraz ciągłe pochodne jednostronne na krańcach przedziału [a,b].
Krzywą C dzielimy punktami Mi na n dowolnych części. W każdej z tych części wybieramy dowolnie punkt
NiϵMi-

1

Mi. Tworzymy sumę ∑

𝑓(𝑁𝑖)𝛥𝑆𝑖

∞

𝑖=1

. Jeżeli przy max ΔSi-->0 istnieje skończona granica sum

∑

𝑓(𝑁𝑖)𝛥𝑆𝑖

∞

𝑖=1

niezależna od sposobu podziału krzywej c punktami Mi i niezależna od wyboru punktów

pośrednich Ni, to nazywamy ją całką krzywoliniową nieskierowaną i oznaczamy:

∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑠

𝐶

2. Zamiana całki krzywoliniowej niezorientowanej na całkę pojedynczą (całkę Riemanna).

∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑠 = ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦(𝑥))√1 + (𝑦

′

(𝑥))

2

𝑏

𝑎

𝐶

𝑑𝑥

Jeżeli krzywa ma opis parametryczny x=x(t), y=y(t) dla tϵ<α,β>, to:

∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑠 = ∫ 𝑓(𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡))√(𝑥

′

(𝑡))

2

+ (𝑦

′

(𝑥𝑡))

2

β

α

𝐶

𝑑𝑡

3. Przykłady zastosowania całek krzywoliniowych niezorientowanych.

4. Definicja całki krzywoliniowej zorientowanej.

P(x,y), Q(x,y) - funkcje ciągłe w Ω c R

2

Niech 𝐶 = 𝐴𝐵

̂ - krzywa opisana równaniem y=y(x), xϵ[a,b] przebiegająca od punktu A do punktu B.

Warunek: y’ istnieje w (a,b). Wtedy poniższe wyrażenie nazywamy całką krzywoliniową zorientowaną:

∫ 𝑃(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑄(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦

𝐶

5. Zamiana całki krzywoliniowej zorientowanej na całkę Riemanna.

∫ 𝑃(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑄(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = ∫ (𝑃(𝑥, 𝑦(𝑥)) + 𝑄(𝑥, 𝑦(𝑥))𝑦

′

(𝑥)) 𝑑𝑥

𝑏

𝑎

𝐶

Jeżeli krzywa ma opis parametryczny x=x(t), y=y(t) dla tϵ<α,β>, to:

∫ 𝑃(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑄(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = ∫ (𝑃(𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡))𝑥′(𝑡) + 𝑄(𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡))𝑦

′

(𝑡)) 𝑑𝑡

β

α

𝐶

© 2014, Piniu

7

6. Interpretacja fizyczna całki krzywoliniowej zorientowanej.

Jeżeli

𝐹 = 𝑃(𝑥, 𝑦)𝑖⃗ + 𝑄(𝑥, 𝑦)𝑗⃗

jest wektorem siły o składowych zmiennych wzdłuż krzywej K, to całka:

𝑊 = ∫ 𝑃(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑄(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦

𝐾

przedstawia pracę siły F przy przemieszczeniu masy jednostkowej wzdłuż krzywej K.

7. Twierdzenie Greena.

Niech C jest brzegiem obszaru Ω c R

2

, normalnego względem osi OX oraz OY, skierowanym dodatnio

(przeciwnie do ruchu wskazówek zegara). Niech funkcje P(x,y) oraz Q(x,y) będą określone na zbiorze ΩuC.

Funkcje P,Q,

𝑑𝑃

𝑑𝑦

,

𝑑𝑄

𝑑𝑥

są ciągłe na zbiorze

ΩuC. Wtedy:

∫ 𝑃(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑄(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = ∬ (

Ω

𝐶

𝑑𝑄

𝑑𝑥

−

𝑑𝑃
𝑑𝑦

)𝑑𝑥𝑑𝑦

© 2014, Piniu

8

VI. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE

1. Definicja równania różniczkowego zwyczajnego.

Równaniem różniczkowym zwyczajnym nazywamy równanie postaci f(x,y,y’,y’’,…,y

(n)

)=0, gdzie niewiadomą

jest funkcja y=y(x). Najwyższy rząd pochodnej funkcji niewiadomej występującej w równaniu nazywamy
rzędem równania różniczkowego zwyczajnego.

2. Równanie różniczkowe rzędu pierwszego, całka ogólna i całka szczególna.

f(x,y,y’)=0

-równanie różniczkowe I-go rzędu

y=y(x)

-funkcja niewiadoma

Całką ogólną nazywamy funkcję y=F(x,c) zmiennej niezależnej x oraz stałej liczbowej c, która przy każdej
ustalonej i dopuszczalnej wartości c spełnia równanie różniczkowe.

Całką szczególną nazywamy funkcję y=y(x), która spełnia równanie różniczkowe dla wszystkich
argumentów x, dla których funkcja ta ma sens.

3. Zagadnienie Cauchy’ego.

Zagadnienie to dla równania różniczkowego f(x,y,y’)=0 polega na wyznaczeniu takiego rozwiązania
szczególnego, które dla pewnej, z góry ustalonej wartości zmiennej niezależnej x

0

przyjmuje z góry

określoną wartość y

0

. Równość y

0

=y(x

0

) nazywamy warunkiem początkowym dla danego r.r.

4. Praktyczne metody rozwiązywania wybranych typów równań liniowych pierwszego rzędu.

5. Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współczynnikach.

y

(n)

+a

n-1

y

(n-1)

+a

n-2

y

(n-2)

+…+a

1

y’+a

0

y=b(x)

a

i

dla i=0,1,2,…,n-1 są współczynnikami liczbowymi

y=y(x) jest funkcją niewiadomą

Jeżeli b(x)=0, to równanie nazywamy jednorodnym.

© 2014, Piniu

9

VII. SZEREGI POTĘGOWE I SZEREGI FOURIERA

1. Szeregi potęgowe (w tym: badanie zbieżności, całkowanie i różniczkowanie szeregu).

Szeregiem potęgowym nazywamy szereg postaci:

∑ 𝑎

𝑛

(𝑥 − 𝑥

0

∞

𝑛=0

)

𝑛

(a

n

-współczynniki liczbowe, x

0

-ustalona liczba, x-zmienna)

Jeżeli x

0

=0, to szereg przyjmuje postać

∑ 𝑎

𝑛

𝑥

𝑛

∞

𝑛=0

Promień zbieżności:

𝑅 = sup {𝑟 > 0: ∑ 𝑎

𝑛

𝑟

𝑛

∞

𝑛=0

𝑗𝑒𝑠𝑡 𝑧𝑏𝑖𝑒ż𝑛𝑦}

Tw. o obszarze zbieżności
Jeżeli R jest promieniem zbieżności szeregu ∑

𝑎

𝑛

𝑥

𝑛

∞

𝑛=0

, to szereg jest zbieżny dla wszystkich argumentów x

spełniających nierówność |x|<R. Dla |x|>R szereg jest rozbieżny. Natomiast dla –R oraz R twierdzenie nie
rozstrzyga kwestii zbieżności.

Tw. o różniczkowaniu
Jeżeli 0<R<∞ jest promieniem zbieżności szeregu ∑

𝑎

𝑛

𝑥

𝑛

∞

𝑛=0

, to:

(∑

𝑎

𝑛

𝑥

𝑛

)

∞

𝑛=0

′ = ∑

𝑛𝑎

𝑛

𝑥

𝑛−1

∞

𝑛=0

dla |x|<R

Tw. o całkowaniu
Jeżeli 0<R<∞ jest promieniem zbieżności szeregu ∑

𝑎

𝑛

𝑥

𝑛

∞

𝑛=0

, to:

∫ (∑

𝑎

𝑛

𝑡

𝑛

)

∞

𝑛=0

𝑑𝑡

𝑥

0

= ∑

𝑎

𝑛

𝑛+1

𝑥

𝑛+1

∞

𝑛=0

dla |x|<R

2. Rozwijanie w szereg potęgowy wybranych funkcji.

3. Współczynniki Eulera-Fouriera funkcji określonej na przedziale (-π, π). Szereg Fouriera.

Współczynniki liczbowe a

0

, a

n

, b

n

dla n=1,2,3… nazywamy współczynnikami Eulera-Fouriera funkcji f.

𝑎

0

=

1

𝜋

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

𝜋

−𝜋

𝑎

𝑛

=

1

𝜋

∫ 𝑓(𝑥)𝑐𝑜𝑠𝑛𝑥𝑑𝑥

𝜋

−𝜋

𝑏

𝑛

=

1

𝜋

∫ 𝑓(𝑥)𝑠𝑖𝑛𝑛𝑥𝑑𝑥

𝜋

−𝜋

© 2014, Piniu

10

Poniższy szereg nazywamy szeregiem Fouriera.

1
2

𝑎

0

+ ∑(𝑎

𝑛

𝑐𝑜𝑠𝑛𝑥 + 𝑏

𝑛

𝑠𝑖𝑛𝑛𝑥)

∞

𝑛=1

4. Kryterium Dirichleta.

Jeżeli funkcja [−𝜋, 𝜋] → 𝑅 jest:
-przedziałami monotoniczna
-przedziałami ciągła oraz w każdym punkcie nieciągłości x spełniony jest warunek:

𝑓(𝑥) =

𝑓(𝑥 − 0) + 𝑓(𝑥 + 0)

2

oraz

𝑓(−𝜋) = 𝑓(𝜋) =

𝑓(−𝜋 + 0) + 𝑓(𝜋 − 0)

2

to:

𝑓(𝑥) =

1
2

𝑎

0

+ ∑(𝑎

𝑛

𝑐𝑜𝑠𝑛𝑥 + 𝑏

𝑛

𝑠𝑖𝑛𝑛𝑥)

∞

𝑛=1

f(x-0) – lewostronna granica w punkcie x
f(x+0) – prawostronna granica w punkcie x
f(𝜋-0) – lewostronna granica w punkcie 𝜋
f(-𝜋+0) – prawostronna granica w punkcie -𝜋