Równania różniczkowe zwyczajne

Def: Niech będzie ustalone oraz będzie zbiorem otwartym, a funkcja będize dana. Wówczas równanie postaci:

(1) nazywamy równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n. (jest to postać normalna, tzn y^(n) w sposób jawny). Ogólniej: (1')

Def:

1. Funkcję nazywamy rozwiązaniem lub całką szczególną równania (1), jeżeli jest ona n-krotnie różniczkowalna w przedziale (a,b); zbiór oraz

2. Jeżeli jest rozwiązaniem szczególnym równania (1) to jej wykres nazywamy krzywą całkową równania (1).

3. Zbiór wszystkich rozwiązań szczególnych w (a,b) równania różniczkowego (1) nazywamy rozwiązaniem ogólnym (całką ogólną) równania 91) w przedziale (a,b)

Problem Cauchy'ego

Def: Poszukiwania rozwiązania szczególnego równania spełniającym warunek początkowy nazywamy problemem Cauchy'ego.

Tw. Jeżeli funkcja f jest funkcją ciągłą mającą ciągłą pochodną cząstkową względem y w obszarze D, to problem Cauchy'ego ma dokładnie jedno rozwiązanie dla dowolnego

Równanie o zmiennych rozdzielonych

Założenia:

→ iloczyn dwóch funkcji

– ciągła

– ciągła

Tw: problem początkowy Cauchy'ego ma dokładnie jedno rozwiązanie.

Równania liniowe rzędu 1

Def: RLJ (równanie liniowe jednorodne)

RLN (równanie liniowe niejednorodne)

Równania jednorodne – Jeżeli funkcja ciągła, to dla każdego problem początkowy Cauchy'ego ma dokładnie jedno rozwiązanie w przedziale

Równania niejednorodne – Jeżeli funkcja ciągła, to dla każdego problem początkowy Cauchy'ego, czyli ma dokładnie jedno rozwiązanie w przedziale

RORLJ jest postaci gdzie

RSRLN: tzn funkcja jest rozwiązaniem ogólnym równania liniowego niejednorodnego, czyli gdzie jest RORLJ, a jest RSRLN.

Tw: Rozwiązanie ogólne: RORNJ=RORLJ+RSRLN

Równania zupełne

Każde równanie postaci (1) gdzie f-ciągła, można zapisać w postaci (2) gdzie P I Q są ciągłe.

Def: Równanie nazywamy równaniem zupełnym w obszarze D, jeżeli istnieje funkcja klasy taka, że , .

Tw. Jeżeli równanie jest zupelne w obszarze D to jego rozwiązanie ogólne w postaci uwikłanej dane jest równaniem , ,

Def: Jeżeli funkcja jest ciągła I nie zeruje się w żadnym punkcie obszaru D a równaniem jest zupełne w D to u nazywamy czynnikiem całkującym równania (2)

Tw. Niech . Warunkiem koniecznym I wystarczającym na to, żeby równanie (2) miało czynnik całkujący postaci:

1. jest by I wówczas

2. jest by I wówczas

Równania wyższych rzędów

Def: Problemem Cauchy'ego dla równania różniczkowego rzędu n nazywamy poszukiwanie rozwiązania szczególnego tego równania spełniającego warunki początkowe.

Tw. Jeżeli funkcja f jest ciągła w obszarze I ma w ciągłe pochodne cząstkowe względem zmiennych , to dla dowolnego problem początkowy Cauchy'ego ma dokładnie jedno rozwiązanie.

Układy równań różniczkowych

Def: Układem n równań różniczkowych rzędu 1 nazywamy wyrażenie postaci:

gdzie – funkcje okreslone na zbiorze otwartym zaś

Def: Ciąg funkcji różniczkowalnych w przedziale (a,b) nazywamy rozwiązaniem szczególnym układu równań w przedziale (a,b), jeśli na przedziale (a,b)

Def: Zbiór nazywamy krzywą całkową rozwiązania szczególnego

Def: Zbiór nazywamy trajektorią rozwiązania szczególnego

Def: Ukłąd równań oraz układ warunków nazywamy problemem początkowym Cauchy'ego

Tw. Jeżeli funkcje są ciągłe w obszarze I mają ciągłe pochodne cząstkowe względem zmiennych oraz to problem Cauchy'ego ma dokładnie jedno rozwiązanie.

Def: Jeżeli macierz jest macierzą o wyrazach stałych to URL nazywamy układem równań liniowych o stałych współczynnikach.

Metoda Eulera znajdowania układu fundamentalnego w przypadku gdy A jest diagonalizowalna

Niech będzie wartością własną macierzy A układu jednorodnego o stałych współczynnikach.

1. Jeżeli jest krotnością 1 to funkcja wektorowa gdzie jest dowolnym wektorem własnym odpowiadającym wartości własnej jest rozwiązaniem tego układu.

2. Jeżeli i , gdzie są krotności 1, to każda z funkcji wektorowych , , gdzie jest dowolnym wektorem własnym odpowiadającym wartości własnej jest rozwiązaniem tego układu.

3. Jeżeli macierz A ma tylko jednokrotne wartości własne (rzeczywiste lub zespolone), to funkcje zestawione dla wszystkich tych wartości w podany powyżej sposób stanowią jego układ fundamentalny

4. Jeżeli jakaś wartość własna %lambda macierzy A jest k-krotna (k>1), to ponieważ wiemy, że A jest diagonalizowalna, istnieje k liniowo niezaleznych wektorów własych odpowiadających tej wartości własnej (bo przestrzeń własna odpowiadająca tej wartości własnej jest k-wymiarowa). Każdemu takimeu wektorowi odpowiada k funkcji wektorowych (lub 2k, gdy - zespolone), które tworzymy analogicznie jak dla k=1.

W ten sposób tworzymy układ fundamentalny, składający się z n funkcji wektorowych.

Stabilność punktów równowagi

Def: Autonomicznym (stacjonarnym) układem równań różniczkowych rzędu pierwszego nazywamy układ postaci UA: .

Def: Punkt nazywamy punktem równowagi układu UA, jeżeli .

Punkt (rozwiązanie trywialne) jest punktem równowagi URLJ o stałych współczynnikach.

Każdy punkt równowagi układu UA wyznacza rozwiązanie stałe: na tego układu. Rozwiązanie takie nazywamy rozwiązaniem równowagi lub rozwiązaniem stacjonarnym.

Def: Punkt równowagi układu UA nazywamy stabilnym, jeżeli taka, że każde rozwiązanie tego układu z warunkiem początkowym spełniającym nierówność istnieje na I spełnia ten warunek: . W przeciwnym wypadku punkt równowagi nazywamy niestabilnym.

Asymptotyczna stabilność punktu równowagi

Def. Punkt równowagi układu UA nazywamy asymptotycznie stabiltymy jeżeli jest stabilny I jeżeli takie, że każde rozwiązanie z warunkiem początkowym spełniającym nierówność spełnia warunki

Tw: warunki wystarczające stabilności URLJ o stałych współczynnikach

1. Jeżeli wszystkie wartości własne macierzy A takiego układu mają ujemne części rzeczywiste, to punkt jest asymptotycznie stabilny (rozwiązanie trywialne jest asymptotycznie stabilne).

2. Jeżeli co najmniej jedna wartość własna tego układu ma dodatnią część rzeczywistą, to ten punkt jest niestabilny (rozwiązanie trywialne jest niestabilne)

3. Jeżeli wszystkie wartości własne takiego układu mają niedodatnie części rzeczywiste to ten punkt jest stabilny tylko wtedy, gdy dla wartości własnej o zerowej części =krotność

Tw: warunki wystarczające stabilności układów nieliniowych

Niech funkcje mają ciągłe pochodne cząstkowe rzędu 2 w otoczeniu punktu równowagi układu UA.

Niech

1. Jeżeli wszystkie wartości własne macierzy A mają ujemne części rzeczywiste, to jest asymptotycznie stabilnym punktem równowagi układu UA.

2. Jeżeli co najmniej jedna wartość własna macierzy A ma dodatnią część rzeczywistą to jest niestabilnym punktem równowagi układu UA.

Zbieżności szeregów liczbowych

1. Mówimy, że szerego jest zbieżny, jeżeli istnieje granica właściwa ciągu . Granicę tę oznaczamy wówczas (czyli tak samo jak szereg) I nazywamy sumą szeregu. Ozn: , gdzie

2. Jeżeli to mówimy, że szereg jest rozbieżny do

Kryterium porównawcze

Niech . Wówczas:

1. Jeżeli szereg jest zbieżny, to n jest zbieżny.

2. Jeżeli jest rozbieżny do to jest rozbieżny do

Kryterium porównawcze w postaci granicznej (asymptotyczne)

Jeśli oraz :

1. Jeśli to szeregi I są albo równocześnie zbieżne, albo równocześnie rozbieżne.

2. Jeżeli , to jeśli szereg zbieżny → zbieżny.

3. Jeżeli , to jeśli szereg rozbieżny → szereg rozbieżny

Kryterium d'Alemberta

Jeżeli I (istnieje), to gdy:

1. q<1 → szereg zbieżny

2. q>1 → szereg rozbieżny

3. q=1 → nie wiadomo nic o zbieżności szeregu.

Kryterium Cauchy'ego

Jeżeli I (istnieje) to gdy:

1. q<1 → szereg zbieżny

2. q>1 → szereg rozbieżny

3. q=1 → nic nie wiadomo