Def: Niech
będzie ustalone oraz
będzie zbiorem otwartym, a funkcja
będize dana. Wówczas równanie postaci:
(1)
nazywamy równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n. (jest to
postać normalna, tzn y^(n) w sposób jawny). Ogólniej: (1')
Def:
Funkcję
nazywamy rozwiązaniem lub całką szczególną równania (1),
jeżeli jest ona n-krotnie różniczkowalna w przedziale (a,b);
zbiór
oraz
Jeżeli
jest rozwiązaniem szczególnym równania (1) to jej wykres nazywamy
krzywą całkową równania (1).
Zbiór wszystkich rozwiązań szczególnych w (a,b) równania różniczkowego (1) nazywamy rozwiązaniem ogólnym (całką ogólną) równania 91) w przedziale (a,b)
Def: Poszukiwania rozwiązania szczególnego równania
spełniającym warunek początkowy
nazywamy problemem Cauchy'ego.
Tw. Jeżeli funkcja f jest funkcją ciągłą mającą
ciągłą pochodną cząstkową względem y w obszarze D, to problem
Cauchy'ego ma dokładnie jedno rozwiązanie dla dowolnego
Założenia:
→ iloczyn dwóch funkcji
– ciągła
– ciągła
Tw:
problem początkowy Cauchy'ego
ma dokładnie jedno rozwiązanie.
Def: RLJ (równanie liniowe jednorodne)
RLN (równanie liniowe niejednorodne)
Równania jednorodne – Jeżeli funkcja
ciągła, to dla każdego
problem początkowy Cauchy'ego ma dokładnie jedno rozwiązanie w
przedziale
Równania niejednorodne – Jeżeli funkcja
ciągła, to dla każdego
problem początkowy Cauchy'ego, czyli
ma dokładnie jedno rozwiązanie w przedziale
RORLJ jest postaci
gdzie
RSRLN: tzn funkcja
jest rozwiązaniem ogólnym równania liniowego niejednorodnego,
czyli
gdzie
jest RORLJ, a
jest RSRLN.
Tw: Rozwiązanie ogólne: RORNJ=RORLJ+RSRLN
Każde równanie postaci (1)
gdzie f-ciągła, można zapisać w postaci (2)
gdzie P I Q są ciągłe.
Def: Równanie
nazywamy równaniem zupełnym w obszarze D, jeżeli istnieje funkcja
klasy
taka, że
,
.
Tw. Jeżeli równanie
jest zupelne w obszarze D to jego rozwiązanie ogólne w postaci
uwikłanej dane jest równaniem
,
,
Def: Jeżeli funkcja
jest ciągła I nie zeruje się w żadnym punkcie obszaru D a
równaniem
jest zupełne w D to u nazywamy czynnikiem całkującym równania (2)
Tw. Niech
. Warunkiem koniecznym I wystarczającym na to, żeby równanie (2)
miało czynnik całkujący postaci:
jest by
I wówczas
jest by
I wówczas
Def: Problemem Cauchy'ego dla równania różniczkowego
rzędu n
nazywamy poszukiwanie rozwiązania szczególnego tego równania
spełniającego warunki początkowe.
Tw. Jeżeli funkcja f jest ciągła w obszarze
I ma w
ciągłe pochodne cząstkowe względem zmiennych
, to dla dowolnego
problem początkowy Cauchy'ego
ma dokładnie jedno rozwiązanie.
Def: Układem n równań różniczkowych rzędu 1 nazywamy wyrażenie postaci:
gdzie
– funkcje okreslone na zbiorze otwartym
zaś
Def: Ciąg funkcji różniczkowalnych w przedziale
(a,b)
nazywamy rozwiązaniem szczególnym układu równań w przedziale
(a,b), jeśli na przedziale (a,b)
Def: Zbiór
nazywamy krzywą całkową rozwiązania szczególnego
Def: Zbiór
nazywamy trajektorią rozwiązania szczególnego
Def: Ukłąd równań oraz układ warunków
nazywamy problemem początkowym Cauchy'ego
Tw. Jeżeli funkcje
są ciągłe w obszarze
I mają ciągłe pochodne cząstkowe względem zmiennych
oraz
to problem Cauchy'ego ma dokładnie jedno rozwiązanie.
Def: Jeżeli macierz
jest macierzą o wyrazach stałych to URL nazywamy układem równań
liniowych o stałych współczynnikach.
Niech
będzie wartością własną macierzy A układu jednorodnego o
stałych współczynnikach.
Jeżeli
jest krotnością 1 to funkcja wektorowa
gdzie
jest dowolnym wektorem własnym odpowiadającym wartości własnej
jest rozwiązaniem tego układu.
Jeżeli
i
,
gdzie
są krotności 1, to każda z funkcji wektorowych
,
,
gdzie
jest dowolnym wektorem własnym odpowiadającym wartości własnej
jest rozwiązaniem tego układu.
Jeżeli macierz A ma tylko jednokrotne wartości własne (rzeczywiste lub zespolone), to funkcje zestawione dla wszystkich tych wartości w podany powyżej sposób stanowią jego układ fundamentalny
Jeżeli jakaś wartość własna %lambda
macierzy A jest k-krotna (k>1), to ponieważ wiemy, że A jest
diagonalizowalna, istnieje k liniowo niezaleznych wektorów własych
odpowiadających tej wartości własnej
(bo przestrzeń własna odpowiadająca tej wartości własnej
jest k-wymiarowa). Każdemu takimeu wektorowi
odpowiada k funkcji wektorowych (lub 2k, gdy
- zespolone), które tworzymy analogicznie jak dla k=1.
W ten sposób tworzymy układ fundamentalny, składający się z n funkcji wektorowych.
Def: Autonomicznym (stacjonarnym) układem równań różniczkowych
rzędu pierwszego nazywamy układ postaci UA:
.
Def: Punkt
nazywamy punktem równowagi układu UA, jeżeli
.
Punkt
(rozwiązanie trywialne) jest punktem równowagi URLJ o stałych
współczynnikach.
Każdy punkt równowagi układu UA wyznacza rozwiązanie stałe:
na
tego układu. Rozwiązanie takie nazywamy rozwiązaniem równowagi
lub rozwiązaniem stacjonarnym.
Def: Punkt równowagi
układu UA nazywamy stabilnym, jeżeli
taka, że każde rozwiązanie
tego układu z warunkiem początkowym
spełniającym nierówność
istnieje na
I spełnia ten warunek:
.
W przeciwnym wypadku punkt równowagi nazywamy niestabilnym.
Def. Punkt równowagi
układu UA nazywamy asymptotycznie stabiltymy jeżeli jest stabilny I
jeżeli
takie, że każde rozwiązanie
z warunkiem początkowym
spełniającym nierówność
spełnia warunki
Jeżeli wszystkie wartości własne macierzy A takiego
układu mają ujemne części rzeczywiste, to punkt
jest asymptotycznie stabilny (rozwiązanie trywialne jest
asymptotycznie stabilne).
Jeżeli co najmniej jedna wartość własna tego układu ma dodatnią część rzeczywistą, to ten punkt jest niestabilny (rozwiązanie trywialne jest niestabilne)
Jeżeli wszystkie wartości własne takiego układu mają
niedodatnie części rzeczywiste to ten punkt jest stabilny tylko
wtedy, gdy dla wartości własnej
o zerowej części
=krotność
Niech funkcje
mają ciągłe pochodne cząstkowe rzędu 2 w otoczeniu punktu
równowagi
układu UA.
Niech
Jeżeli wszystkie wartości własne macierzy A mają ujemne
części rzeczywiste, to
jest asymptotycznie stabilnym punktem równowagi układu UA.
Jeżeli co najmniej jedna wartość własna macierzy A ma
dodatnią część rzeczywistą to
jest niestabilnym punktem równowagi układu UA.
Mówimy, że szerego
jest zbieżny, jeżeli istnieje granica właściwa ciągu
.
Granicę tę oznaczamy wówczas
(czyli tak samo jak szereg) I nazywamy sumą szeregu. Ozn:
,
gdzie
Jeżeli
to mówimy, że szereg
jest rozbieżny do
Niech
.
Wówczas:
Jeżeli szereg
jest zbieżny, to
n
jest zbieżny.
Jeżeli
jest rozbieżny do
to
jest rozbieżny do
Jeśli
oraz
:
Jeśli
to szeregi
I
są albo równocześnie zbieżne, albo równocześnie rozbieżne.
Jeżeli
,
to jeśli szereg
zbieżny →
zbieżny.
Jeżeli
, to jeśli szereg
rozbieżny → szereg
rozbieżny
Jeżeli
I
(istnieje), to gdy:
q<1 → szereg
zbieżny
q>1 → szereg
rozbieżny
q=1 → nie wiadomo nic o zbieżności szeregu.
Jeżeli
I
(istnieje) to gdy:
q<1 → szereg
zbieżny
q>1 → szereg
rozbieżny
q=1 → nic nie wiadomo