• Równania różniczkowe zwyczajne

Def: Niech
będzie ustalone oraz
będzie zbiorem otwartym, a funkcja
będize dana. Wówczas równanie postaci:

(1)
nazywamy równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n. (jest to postać normalna, tzn y^(n) w sposób jawny). Ogólniej: (1')

Def:

1. Funkcję
   nazywamy rozwiązaniem lub całką szczególną równania (1), jeżeli jest ona n-krotnie różniczkowalna w przedziale (a,b); zbiór
   oraz
   

2. Jeżeli
   jest rozwiązaniem szczególnym równania (1) to jej wykres nazywamy krzywą całkową równania (1).

3. Zbiór wszystkich rozwiązań szczególnych w (a,b) równania różniczkowego (1) nazywamy rozwiązaniem ogólnym (całką ogólną) równania 91) w przedziale (a,b)

• Problem Cauchy'ego

Def: Poszukiwania rozwiązania szczególnego równania
spełniającym warunek początkowy
nazywamy problemem Cauchy'ego.

Tw. Picarda.

Jeżeli funkcja f jest funkcją ciągłą mającą ciągłą pochodną cząstkową względem y w obszarze D, to problem Cauchy'ego ma dokładnie jedno rozwiązanie dla dowolnego

• Równanie o zmiennych rozdzielonych

Założenia:

→ iloczyn dwóch funkcji

- ciągła

- ciągła

Tw:
problem początkowy Cauchy'ego
ma dokładnie jedno rozwiązanie.

• Równania liniowe rzędu 1

Def: RLJ (równanie liniowe jednorodne)

RLN (równanie liniowe niejednorodne)

Równania jednorodne - Jeżeli funkcja
ciągła, to dla każdego
problem początkowy Cauchy'ego ma dokładnie jedno rozwiązanie w przedziale

Równania niejednorodne - Jeżeli funkcja
ciągła, to dla każdego
problem początkowy Cauchy'ego, czyli
ma dokładnie jedno rozwiązanie w przedziale

RORLJ jest postaci
gdzie

RSRLN: tzn funkcja
jest rozwiązaniem ogólnym równania liniowego niejednorodnego, czyli
gdzie
jest RORLJ, a
jest RSRLN.

Tw: Rozwiązanie ogólne: RORNJ=RORLJ+RSRLN

• Równania zupełne

Każde równanie postaci (1)
gdzie f-ciągła, można zapisać w postaci (2)
gdzie P I Q są ciągłe.

Def: Równanie
nazywamy równaniem zupełnym w obszarze D, jeżeli istnieje funkcja
klasy
taka, że
,
.

Tw. Jeżeli równanie
jest zupelne w obszarze D to jego rozwiązanie ogólne w postaci uwikłanej dane jest równaniem
,
,

Def: Jeżeli funkcja
jest ciągła I nie zeruje się w żadnym punkcie obszaru D a równaniem
jest zupełne w D to u nazywamy czynnikiem całkującym równania (2)

Tw. Niech
. Warunkiem koniecznym I wystarczającym na to, żeby równanie (2) miało czynnik całkujący postaci:

1. 
   jest by
   I wówczas
   

2. 
   jest by
   I wówczas
   

• Równania wyższych rzędów

Def: Problemem Cauchy'ego dla równania różniczkowego rzędu n

nazywamy poszukiwanie rozwiązania szczególnego tego równania spełniającego warunki początkowe.

Tw. Jeżeli funkcja f jest ciągła w obszarze
I ma w
ciągłe pochodne cząstkowe względem zmiennych
, to dla dowolnego
problem początkowy Cauchy'ego
ma dokładnie jedno rozwiązanie.

• Układy równań różniczkowych

Def: Układem n równań różniczkowych rzędu 1 nazywamy wyrażenie postaci:

gdzie
- funkcje okreslone na zbiorze otwartym
zaś

Def: Ciąg funkcji różniczkowalnych w przedziale (a,b)
nazywamy rozwiązaniem szczególnym układu równań w przedziale (a,b), jeśli na przedziale (a,b)

Def: Zbiór
nazywamy krzywą całkową rozwiązania szczególnego

Def: Zbiór
nazywamy trajektorią rozwiązania szczególnego

Def: Ukłąd równań oraz układ warunków
nazywamy problemem początkowym Cauchy'ego

Tw. Jeżeli funkcje
są ciągłe w obszarze
I mają ciągłe pochodne cząstkowe względem zmiennych
oraz
to problem Cauchy'ego ma dokładnie jedno rozwiązanie.

Def: Jeżeli macierz
jest macierzą o wyrazach stałych to URL nazywamy układem równań liniowych o stałych współczynnikach.

• Metoda Eulera znajdowania układu fundamentalnego w przypadku gdy A jest diagonalizowalna

Niech
będzie wartością własną macierzy A układu jednorodnego o stałych współczynnikach.

1. Jeżeli
   jest krotnością 1 to funkcja wektorowa
   gdzie
   jest dowolnym wektorem własnym odpowiadającym wartości własnej
   jest rozwiązaniem tego układu.

2. Jeżeli
   i
   , gdzie
   są krotności 1, to każda z funkcji wektorowych
   ,
   , gdzie
   jest dowolnym wektorem własnym odpowiadającym wartości własnej
   jest rozwiązaniem tego układu.

3. Jeżeli macierz A ma tylko jednokrotne wartości własne (rzeczywiste lub zespolone), to funkcje zestawione dla wszystkich tych wartości w podany powyżej sposób stanowią jego układ fundamentalny

4. Jeżeli jakaś wartość własna %lambda macierzy A jest k-krotna (k>1), to ponieważ wiemy, że A jest diagonalizowalna, istnieje k liniowo niezaleznych wektorów własych odpowiadających tej wartości własnej
   (bo przestrzeń własna odpowiadająca tej wartości własnej
   jest k-wymiarowa). Każdemu takimeu wektorowi
   odpowiada k funkcji wektorowych (lub 2k, gdy
   - zespolone), które tworzymy analogicznie jak dla k=1.

W ten sposób tworzymy układ fundamentalny, składający się z n funkcji wektorowych.

• Stabilność punktów równowagi

Def: Autonomicznym (stacjonarnym) układem równań różniczkowych rzędu pierwszego nazywamy układ postaci UA:
.

Def: Punkt
nazywamy punktem równowagi układu UA, jeżeli
.

Punkt
(rozwiązanie trywialne) jest punktem równowagi URLJ o stałych współczynnikach.

Każdy punkt równowagi układu UA wyznacza rozwiązanie stałe:
na
tego układu. Rozwiązanie takie nazywamy rozwiązaniem równowagi lub rozwiązaniem stacjonarnym.

Def: Punkt równowagi
układu UA nazywamy stabilnym, jeżeli
taka, że każde rozwiązanie
tego układu z warunkiem początkowym
spełniającym nierówność
istnieje na
I spełnia ten warunek:
. W przeciwnym wypadku punkt równowagi nazywamy niestabilnym.

• Asymptotyczna stabilność punktu równowagi

Def. Punkt równowagi
układu UA nazywamy asymptotycznie stabiltymy jeżeli jest stabilny I jeżeli
takie, że każde rozwiązanie
z warunkiem początkowym
spełniającym nierówność
spełnia warunki

• Tw: warunki wystarczające stabilności URLJ o stałych współczynnikach

• Jeżeli wszystkie wartości własne macierzy A takiego układu mają ujemne części rzeczywiste, to punkt
  jest asymptotycznie stabilny (rozwiązanie trywialne jest asymptotycznie stabilne).

• Jeżeli co najmniej jedna wartość własna tego układu ma dodatnią część rzeczywistą, to ten punkt jest niestabilny (rozwiązanie trywialne jest niestabilne)

• Jeżeli wszystkie wartości własne takiego układu mają niedodatnie części rzeczywiste to ten punkt jest stabilny tylko wtedy, gdy dla wartości własnej
  o zerowej części
  =krotność
  

• Tw: warunki wystarczające stabilności układów nieliniowych

Niech funkcje
mają ciągłe pochodne cząstkowe rzędu 2 w otoczeniu punktu równowagi
układu UA.

Niech


1. Jeżeli wszystkie wartości własne macierzy A mają ujemne części rzeczywiste, to
   jest asymptotycznie stabilnym punktem równowagi układu UA.

2. Jeżeli co najmniej jedna wartość własna macierzy A ma dodatnią część rzeczywistą to
   jest niestabilnym punktem równowagi układu UA.

• Zbieżności szeregów liczbowych




1. Mówimy, że szerego
   jest zbieżny, jeżeli istnieje granica właściwa ciągu
   . Granicę tę oznaczamy wówczas
   (czyli tak samo jak szereg) I nazywamy sumą szeregu. Ozn:
   , gdzie
   

2. Jeżeli
   to mówimy, że szereg
   jest rozbieżny do
   

• Kryterium porównawcze

Niech
. Wówczas:

1. Jeżeli szereg
   jest zbieżny, to
   n jest zbieżny.

2. Jeżeli
   jest rozbieżny do
   to
   jest rozbieżny do
   

• Kryterium porównawcze w postaci granicznej (asymptotyczne)

Jeśli
oraz
:

1. Jeśli
   to szeregi
   I
   są albo równocześnie zbieżne, albo równocześnie rozbieżne.

2. Jeżeli
   , to jeśli szereg
   zbieżny →
   zbieżny.

3. Jeżeli
   , to jeśli szereg
   rozbieżny → szereg
   rozbieżny

• Kryterium d'Alemberta

Jeżeli
I
(istnieje), to gdy:

1. q<1 → szereg
   zbieżny

2. q>1 → szereg
   rozbieżny

3. q=1 → nie wiadomo nic o zbieżności szeregu.

• Kryterium Cauchy'ego

Jeżeli
I
(istnieje) to gdy:

1. q<1 → szereg
   zbieżny

2. q>1 → szereg
   rozbieżny

3. q=1 → nic nie wiadomo

---