Egzamin Wytrzymałość Materiałów

1. Zapisz równanie na naprężenia normalne w przekroju obciążonym siłą mimośrodową.

Skąd bierze się takie równie?

Równanie to bierze się z zasady superpozycji. Zginanie w płaszczyznach XZ i XY oraz osiowe rozciąganie. Równanie na naprężenia normalne w przekroju obciążonym siłą mimośrodową możemy zapisać wzorem:

$$\sigma_{x} = \frac{N}{A} + \frac{M_{y}z}{J_{y}} - \frac{M_{z}y}{J_{z}}$$

N_x = N

M_y = N z₀

M_z =   − N y₀

Takie równanie bierze się stąd iż siła działająca na mimośrodzie jest zależna od punktu przyłożenia w głównych osiach centralnych danego przekroju. Wywołuje ona naprężenia ściskające i rozciągające odpowiednich włókien.

2. Wykaż, że obciążenie przekroju siłą mimośrodową jest równoważne zginaniu ukośnemu i obciążeniu siłą podłużną.

Wypadkowa N normalna do przekroju, zaczepiona jest w punkcie o współrzędnych yn oraz Zn.

Zgodnie z zasadą de Saint-Venanta statycznie równoważne obciążenia wywołują jednakowe stany naprężenia i odkształcenia a to pozwala zastąpić wypadkową N zaczepioną w punkcie (yn;zn.) równoważnym układem złożonym z siły podłużnej N, zaczepionej w środku ciężkości pręta i dwoma momentami My i Mz których wektory są równoległe do odpowiednich osi układu odniesienia. W ten sposób otrzymamy osiowe rozciąganie i dwa proste zginania względem osi Y i Z które są równoważne zginaniu ukośnemu.

3. Wyprowadź równanie odcinkowe osi obojętnej dla mimośrodowego rozciągania.

1. $\sigma_{x} = \frac{N}{A} + \frac{M_{y}z}{J_{y}} - \frac{M_{z}y}{J_{z}}$ σ_x = 0

2. $\frac{N}{A} + \frac{\text{Nz}_{0}z}{J_{y}} + \frac{\text{Ny}_{0}y}{J_{z}} = 0$

3. $1 + \frac{z_{0}z}{J_{y}/A} + \frac{y_{0}y}{J_{z}/A} = 0$

4. $\frac{z_{0}z}{i_{y}^{2}} + \frac{y_{0}y}{i_{z}^{2}} = - 1$

Równanie osi obojętnej :

5. $\mathbf{1 =}\frac{\mathbf{y}}{\mathbf{a}_{\mathbf{y}}}\mathbf{+}\frac{\mathbf{z}}{\mathbf{a}_{\mathbf{z}}}$

$a_{y} = - \frac{i_{z}^{2}}{y_{0}}$ $a_{z} = - \frac{i_{y}^{2}}{z_{0}}$

4. Czy położenie osi obojętnej dla przekroju obciążonego siłą mimośrodową zależy od punktu przyłożenia siły, jej wartości i zwrotu? Odpowiedz uzasadnij.

Położenie osi obojętnej dla przekroju obciążonego siłą mimośrodową zależy od punktu przyłożenia siły. Równanie osi obojętnej opisujemy wzorem :

$$1 = \frac{y}{a_{y}} + \frac{z}{a_{z}}$$

Aby obliczyć a_y i a_z musimy skorzystać ze wzoru:

$a_{y} = - \frac{i_{z}^{2}}{y_{0}}$ $a_{z} = - \frac{i_{y}^{2}}{z_{0}}$

Parametry y₀ i z₀ to nic innego jak współrzędne punktu w którym przyłożona jest siła mimośrodowa. Im dalej od środka ciężkości przekroju przyłożona jest siła tym oś obojętna przybliża się do środka ciężkości i odwrotnie.

Położenie osi obojętnej nie zależy natomiast od wartości przyłożonej siły (wpływa ona natomiast na wielkość naprężenia) i zwrotu (decyduje on o tym które włókna będą rozciągane a które ściskane względem osi obojętnej)

5. Naszkicuj rozkład naprężenia normalnego przekroju mimośrodowo rozciąganego, jeżeli znane jest położenie osi obojętnej i wskaż punkty maksymalnych bezwzględnych wartości naprężeń normalnych.

6. Co to jest rdzeń przekroju? Wymień podstawowe właściwości rdzenia przekroju.

Miejsce geometryczne punktów przekroju poprzecznego pręta, w których przyłożona siła, równoległa do jego osi wywołuje naprężenia normalne jednego znaku w całym przekroju. Widać z tego, że sile przyłożonej w rdzeniu przekroju musi odpowiadać oś obojętna położona poza przekrojem poprzecznym, natomiast sile położonej na granicy rdzenia - oś obojętna styczna do konturu przekroju poprzecznego.

Właściwości rdzenia:

• Rdzeń jest figurą wypukłą

• Posiada tyle boków, ile boków ma najmniejszy wielobok opisany na przekroju

• Jest figurą symetryczną do symetrycznego przekroju

• Nie może wychodzić poza obrys przekroju, ale może wychodzić poza sam przekrój

7. W jaki sposób jest tworzony rdzeń przekroju? Uzasadnij metodę konstrukcji.

Po wyznaczeniu głównych centralnych osi bezwładności (Y,Z) i wartości ich promieni bezwładności i_y ; i_Z prowadzimy styczną 1-1 uważając ją za oś obojętną. Styczna 1-1 odcina na osiach układu współrzędnych odcinki a_Y1 oraz a_Z1 Współrzędne punktu 1 przyłożenia siły , któremu odpowiada oś obojętna 1-1 wyznaczamy wykorzystując zależności:

$$y_{i} = - \frac{i_{z}^{2}}{a_{\text{yi}}}$$

$$z_{i} = - \frac{i_{y}^{2}}{a_{\text{zi}}}$$

Twierdzenie 1

$$a_{y1} = - \frac{i_{z}^{2}}{y_{N1}}\text{\ \ \ \ a}_{z1} = - \frac{i_{y}^{2}}{z_{N1}}$$

$$a_{y2} = - \frac{i_{z}^{2}}{y_{N2}}\text{\ \ \ a}_{z2} = - \frac{i_{y}^{2}}{z_{N2}}$$

Położenie odpowiadającej mu osi obojętnej l_2. Ponieważ y_N1>y_N2 oraz z_N2 > z_N1 to a_Y2 < a_Y1 oraz a_Z2 < a_Z1 co dowodzi prawdziwości twierdzenia 1.

Twierdzenie 2:

Obrotowi osi obojętnej wokół ustalonego punktu odpowiada przemieszczenie się punktu przyłożenia siły po prostej.

8. Siła mimośrodowa przyłożona jest w przekroju na jednej z jego osi głównych centralnych poza rdzeniem. Opisz położenie osi obojętnej.

Oś obojętna przechodzi przez przekrój i jest prostopadła do osi głównej centralnej na której jest przyłożona siła. Oś obojętna znajduje się poza rdzeniem.

9. Siła mimośrodowa przyłożona jest w narożu krzywej rdzeniowej. Czy oś obojętna ma jeden punkt styczności z konturem czy też więcej? Odpowiedź uzasadnij.

Oś obojętna posiada wtedy więcej niż jeden punkt styczności, ponieważ punkt w narożu krzywej rdzeniowej odpowiada stycznej do boku najmniejszego możliwego wieloboku opisanego na przekroju.

10. Naszkicuj kształt rdzenia dla trójkąta prostokątnego.

Charakterystyka geometryczna:

J_y = $\frac{bh^{3}}{36}$

J_z = $\frac{b^{3}h}{36}$

Pole przekroju:

F = $\frac{\text{bh}}{2}$

Promienie bezwładności:
i_y² = $\frac{I_{y}}{A}$ = $\frac{h^{2}}{18}$

i_z² = $\frac{I_{z}}{A}$ = $\frac{b^{2}}{18}$

R (y_0i, z_0i) – współrzędne punktu wyznaczającego rdzeń przekroju.

y_0i = - -$\frac{i_{z}^{2}}{a_{\text{yi}}}$

z_0i = - $\frac{i_{y}^{2}}{a_{\text{zi}}}$

y_0i, z_0i - współczynniki w postaci prostych okalających przekrój,

1 – 1:

a_y1 = ∞ a_z1 = - $\frac{h}{3}$

y₀₁ = 0 $z_{01} = \ \frac{h}{6}$

2 – 2:

a_y2 = $\frac{b}{3}$ a_z2 = $\frac{h}{3}$

y₀₂ = - $\frac{b}{6}$ $z_{02} = - \ \frac{h}{6}$

3 – 3:

a_y3 = - $\frac{b}{3}$ a_z3 = ∞

y₀₃ = $\frac{b}{6}$ z₀₃ =  0

11. Naszkicuj kształt rdzenia dla półkola.

Na obwiedni półkola występuje nieskończenie wiele prostych stycznych dlatego wybieramy tylko te prostopadłe do głównych osi centralnych.

Charakterystyka geometryczna:

J_y = $r^{4}\left( \frac{\pi}{8} - \ \frac{8}{9\pi} \right)$ = $r^{4}\ \left( \frac{3,14}{8} - \ \frac{8}{9\ \bullet \ 3,14} \right)$ = 0,1094r⁴

J_z = $\frac{\pi r^{4}}{8}$ = $\frac{3,14r^{4}}{8}$ = 0,3925r⁴

Pole przekroju:

F = $\frac{\pi r^{2}}{2}$ = $\frac{3,14r^{2}}{2}$ = 1,57r²

Promienie bezwładności:

i_y² = $\frac{I_{y}}{A}$ = $\frac{0,1094r^{4}}{1,57r^{2}}$ = 0,0697r²

i_z² = $\frac{I_{z}}{A}$ = $\frac{0,3925r^{4}}{1,57r^{2}}$ = 0,25r²

R (y_0i, z_0i) – współrzędne punktu wyznaczającego rdzeń przekroju.

y_0i = - -$\frac{i_{z}^{2}}{a_{\text{yi}}}$

z_0i = - $\frac{i_{y}^{2}}{a_{\text{zi}}}$

y_0i, z_0i - współczynniki w postaci prostych okalających przekrój,

1 – 1:

a_y1 = ∞ a_z1 = - 0,4246r

y₀₁ = 0 z₀₁ =  0,1641r

2 – 2:

a_y2 = r a_z2 = ∞

y₀₂ = - 0,25r z₀₂ =  0

3 – 3:

a_y3 = ∞ a_z3 = - 0,4246r

y₀₃ = 0 z₀₃ =  0,1211r

12. Naszkicuj kształt rdzenia dla przekroju o jednej osi symetrii.

13. O czym mówi hipoteza płaskich przekrojów (Bernoulliego)?

Przekrój poprzeczny płaski i prostopadły do osi pręta przed odkształceniem, pozostaje w wyniku deformacji nadal płaski i prostopadły do ugiętej osi pręta. W przypadku czystego zginania hipoteza staje się twierdzeniem, którego dowód przeprowadza się w oparciu o analizę deformacji pręta.

Doświadczenia nie potwierdzają tej hipotezy, jednak wzory wynikające z niej zapewniają wystarczającą dla celów praktycznych dokładność.

To, że przekrój po odkształceniu pozostaje płaski oznacza liniowy rozkład odkształceń normalnych po wysokości przekroju.

ε_x = ε₀ + K_z

Dwa parametry występujące we wzorze powyżej mają prostą interpretacje fizyczną.

ε₀ - jest to odkształcenie liniowe (wydłużenie lub skrócenie) włókien dla z = 0,

K - oznacza krzywiznę tych włókien.

14. Zapisz wzór na naprężenia normalne w przekroju zginanym poprzecznie. Gdzie osiągną one największe bezwzględne wartości?

δ_x = $\frac{M}{I_{y}}$ z

M – moment gnący,

I_y - moment bezwładności przekroju względem osi głównej centralnej y,

z – współrzędna warstwy dla której wyznaczane jest naprężenie,

Największe wartości naprężenia występują w warstwach belki dla których współrzędna z osiąga wartości ekstremalne, czyli na górnej i dolnej krawędzi przekroju.

15. Zapisz wzór na uśrednione naprężenia styczne przekroju zginanego poprzecznie. Opisz wielkości występujące we wzorze.

τ_sr = τ_zx = - $\frac{Q_{z}\left( x \right)\ \bullet \ S_{y}(z)}{I_{y}\ \bullet \ b(z)}$

gdzie:

- τ_zx – średnie naprężenia styczne we włóknach z = const w przekroju pręta o współrzędnej x,

- S_y(z) - moment styczny względem osi zginania części przekroju ponad włóknami w których wyznaczamy naprężenia,

- b(z) - szerokość przekroju na wysokości z,

- Q_z(x) - siła poprzeczna w przekroju, w którym wyznaczamy naprężenia,

- I_y - moment bezwładności przekroju poprzecznego względem osi zginania.

16. Jak określić znak naprężenia stycznego w przekroju zginanym poprzecznie?

Zwrot tych naprężeń jest taki jak zwrot siły poprzecznej i nie zależy od przyjętego układu odniesienia. Przypisanie odpowiedniego znaku po ustalonym już zwrocie naprężenia stycznego związane jest z przyjętym układem odniesienia i reguluje to umowa znakowania naprężeń stycznych – reguła podwójnej zgodności (zwrotów osi układów współrzędnych i zwrot normalnej zewnętrznej do płaszczyzny przekroju) + Rysunek.

18. Przedstaw zależność krzywizny osi pręta od momentu zginającego. Jak nazywa się współczynnik proporcjonalności?

Zależność osi pręta od momentu zginającego przedstawia wzór:
1/(ρ(x))=(My(x))/(E∙Iy)
Ze wzrostem momentu zginającego M wzrastają naprężenia w przekroju poprzecznym zginanej próbki co powoduje wzrost krzywizny.
Współczynnik proporcjonalności E – moduł Younga dla materiału danej belki
Iy – moment bezwładności względem głównej centralnej osi bezwładności

19. Jakie punkty wyznaczają przedziały charakterystyczne metody Clebscha obliczania ugięć belki.

Przedziały charakterystyczne wyznaczają wszystkie pkt. w których przyłożona jest siła skupiona, moment zginający czy zaczepione jest obciążenie ciągłe. Jak i pkt. w których umocowana lub podparta jest belka.

20. Pomiędzy jakimi równaniami zachodzi analogia wykorzystywana w metodzie momentów wtórnych Mohra

Metoda ta jest oparta na formalnej analogii między równaniem różniczkowym momentu zginającego M(x) i równania różniczkowego ugiętej osi belki

$M"(x) = - q(x)$ $w"(x) = - \frac{M(x)}{\text{EJ}}$

$\frac{\ M(x)}{\text{EI}} q^{f}$ – obciążenie fikcyjne

Należy pamiętać że podczas przekształcania „belki rzeczywistej” na „belkę fikcyjną” należy odpowiednio dobrać statyczne warunki brzegowe B.F. (dotyczące Q^f i M^f) tak aby odpowiadały kinematycznym warunkom brzegowym B.RZ.

Ugięcie osi belki: w^rz(P) = M^f(P)

Kąt obrotu osi belki: φ^rz(P) = Q^f(P)

21. Co to jest wytężenie? Dlaczego pojęcie to jest tak istotne? Jaki jest zasadniczy cel stosowania hipotez wytężeniowych?

Wytężenie jest to granica możliwości materiału do przenoszenia obciążeń, stopień zbliżenia się do granicy niebezpiecznej (lub uznanej za taką)
Miarą wytężenia jest wielkość fizyczna przyjęta jako miernik wytężenia. Stosując tę miarę do złożonego i jednoosiowego stanu naprężenia otrzymuje się wzór przeliczeniowy ze stanu złożonego na jednoosiowy tzw. Naprężenia zredukowane.
Pojęcie to jest istotne gdyż dzięki niemu możemy określić niebezpieczeństwo przejścia w stan plastyczny – przekroczenie granicy sprężystości, jeśli materiał taką posiada, lub utratę spójności(pęknięcie przełom de kohezja).
Zasadniczym celem stosowania hipotez wytężeniowych jest odniesienie przestrzennego stanu naprężenia do stanu jednoosiowego, w którym miara wytężenia jak i jej wartość w stanie niebezpiecznym jest zdefiniowana i łatwa do doświadczalnego wyznaczenia.

22. Co jest miarą wytężenia w hipotezie HMH a co w CTG?
Hipoteza CTG (Coulomba-Tresci-Guesta) – o wytężeniu materiału w danym punkcie ciała decyduje maksymalna bezwzględna wartość ekstremalnych naprężeń stycznych , niezależnie od rodzaju stanu naprężenia.
Hipoteza HMH (Hubera-Misesa-Hencky’ego) – o wytężeniu materiału w danym punkcie ciała decyduje gęstość energii odkształcenia postaciowego, niezależnie od rodzaju stanu naprężenia

23. Na czym zasadza się hipoteza Mohra dla materiałów kruchych?
Miarą natężenia jest wektor naprężenia: jego składowa normalna i styczna, stan niebezpieczny według Mohra obrazowany jest w układzie |τ|(σ) krzywoliniową obwiednią(wewnątrz której zawierają się wszystkie koła Mohra dla stanów zwanych z tego powodu stanami dopuszczalnymi), hipoteza jest odpowiednia dla materiałów kruchych; liniowa aproksymacja obwiedni (stanów niebezpiecznych) w układzie |τ|(σ) stanowi podstawę hipotezy Coulomba stosowanej dla gruntu.

$$\sigma_{0} = \sqrt{(\sigma_{x})^{2} + 4(\tau_{\text{xz}})^{2}}$$

25. Podaj powody dla których utrata stateczności konstrukcji jest tak groźna?
Utrata stateczności konstrukcji – utrata równowagi trwałej, jest niezwykle groźna: zachodzi w sposób nie sygnalizowany i przebiega w bardzo krótkim czasie(ułamki sekund), nie dającym szans na jakąkolwiek reakcję; z reguły oznacza jeśli nie katastrofę to awarię konstrukcji. Jest jedną z przyczyn wystąpienia granicznego stanu nośności czyli wyczerpania możliwości pracy przez osiągnięcie granicznego poziomu naprężeń: zależnie od szczebla analizy mówimy o nośności granicznej punktu, przekroju albo konstrukcji; jest to jeden z podstawowych warunków projektowania.

26. Co to jest siła krytyczna? Jak ma się ona do obciążenia dopuszczalnego?
Siła krytyczna to siła przy której osiowo ściskany pręt prosty o ustalonych: geometrii, materiale więzach znajduje się w stanie równowagi obojętnej (traci stateczność) czyli może przyjąć inną (od prostoliniowej) krzywoliniową postać równowagi.

Siła krytyczna Eulera ma postać:

P_KR^E = $\frac{\pi^{2}\ \bullet \ E\ \bullet \ I_{\min}}{{l_{w}}^{2}}$

gdzie:

l_w =  α • l – długość wyboczeniowa

α - współczynnik długości wyboczeniowej zależy od warunków podparcia

l – długość pręta

I_min - minimalny moment bezwładności

E – stała materiałowa – moduł sprężystości (moduł Younga)
Siła obciążająca powinna spełniać warunki:

P ≤ A • R_C

P ≤ P_KR

aby pręt spełniał warunki stanu granicznego nośności (tzn. był wytrzymały i znajdował się w równowadze statecznej)

gdzie:

A – pole przekroju poprzecznego pręta

R_C – wytrzymałość przy ściskaniu

$$P_{\text{dop}\ = \ \frac{P_{\text{kr}}}{\eta}}$$

η – współczynnik bezpieczeństwa

27. Podaj długość wyboczeniową dla podanego schematu statycznego pręta.

1. l_w = l

2. l_w = 2l

3. l_w = 0,7l

4. l_w = 0,5l

5. l_w = l

6. l_w = 2l

l_w =  α • l – długość wyboczeniowa

α - współczynnik długości wyboczeniowej zależy od warunków podparcia

l – długość pręta

28. Co to jest smukłość i jaki ma wymiar?

Smukłość jest to stosunek długości wyboczeniowej do minimalnego promienia bezwładności, zależy więc zarówno od geometrii przekroju jak i od schematu statycznego czyli rodzaju więzów.

$$\lambda = \left\lbrack \frac{m}{m} \right\rbrack$$

Jest bezwymiarowa w granicach 10 - pręt krępy 300 - pręt smukły
Wzór na Smukłość:
$\lambda \frac{l_{w}}{i_{\min}}$

gdzie:

l_w = długość wyboczeniowa,

i_min = $\sqrt{\frac{I_{\min}}{A}}$ – minimalny promień bezwładności przekroju poprzecznego,

29. Co to jest smukłość graniczna i skąd taka nazwa?
Smukłość graniczna jest to stała materiałowa, bezwymiarowa, określająca granicę między liniowo sprężystym i sprężysto-plastycznym zakresem pracy pręta ściskanego; wartość dla stali około 110.

Wzór określający smukłość graniczną:

$$\lambda_{\text{gr}} = \pi\sqrt{\frac{E}{Rh}}$$

σ_KR^E = $\frac{P_{\text{KR}}^{E}}{A}$ = $\frac{\pi^{2}E}{\lambda^{2}}$ – wzór na naprężenia krytyczne według Eulera, stosujemy ten wzór wtedy gdy smukłość naszego pręta jest większa od smukłości granicznej (λ ≥ λ_GR) i naprężenia krytyczne są opisane przez hiperbolę Eulera, a pręt pracuje w zakresie liniowo sprężystym.

σ_KR^T − J = $R_{e} - \ \frac{R_{e} - \ R_{h}}{\pi}$ $\sqrt{\frac{R_{h}}{E}}$ • λ – wzór na naprężenia krytyczne według Tetmajera – Jasińskiego, stosujemy ten wzór wtedy gdy smukłość naszego pręta jest mniejsza od smukłości granicznej (λ ≤ λ_GR) a pręt pracuje w zakresie nieliniowo sprężystym i sprężysto plastycznym.

30. Podaj wzór na siłę Eulerowską i wg Tetmajera – Jasinskiego.

Wzór według Eulera:

λ ≥ λ_GR

$$N = \frac{\pi^{2}EJ_{\min}}{\text{lw}^{2}}$$

gdzie:

E – stała materiałowa – moduł sprężystości (moduł Younga),
J_min – minimalny moment bezwładności,

l_w = długość wyboczeniowa,

Wzór według Tetmajera – Jasińskiego:

λ ≤ λ_GR

$$N = \left( \text{Re} - \frac{\text{Re} - Rh}{\pi} \bullet \sqrt{\frac{Rh}{E}} \bullet \lambda \right) \bullet A$$

gdzie:

Re - wyraźna granica plastyczności,

Rh - granica stosowalności prawa Hooke’a (granica proporcjonalności),

λ - smukłość pręta,