Rafał Wosik

Marcin Styczyński

Janusz Sadziak

Mariusz Stepczyński

PŁASKI ZBIEŻNY UKŁAD SIŁ

Siłami zbieżnymi nazywamy siły, których linie działania są zbieżne w jednym punkcie.

Układ złożony z dużej liczby sił możemy zastąpić układem składającym się z mniejszej liczby sił a skutek jego działania będzie taki sam jak działanie układu pierwotnego.

WYKREŚLNY SPOSÓB SKŁADANIA SIŁ ZBIEŻNYCH

Kiedy jakiś złożony układ sił da się zastąpić jedną, siłę tę nazywamy wypadkową. Postępowanie związane ze znajdywaniem siły wypadkowej nazywamy składaniem sił. Siły zbieżne możemy składać metodą równoległoboku i metodą wieloboku.

Metoda równoległoboku - działając na ciało sztywne trzema siłami F₁, F_2, F₃ zbieżnymi w jednym punkcie, dwie z pośród sił np. F₁, F₂ traktujemy jako boki równoległoboku, przekątna R_W tego równoległoboku tworzy wypadkową tych sił składowych. W ten sposób układ złożony z trzech sił zastępujemy dwiema siłami R_W i F₃, które znowu możemy połączyć za pomocą równoległoboku i zastąpić jedną siłą wypadkową(przekątną), która to będzie tworzyła wypadkową całego naszego układu F₁, F_2, F_3. W przypadku stosowania tej metody nie ma znaczenia kolejność składania sił.

Wartość tej siły zależy od:
- Wartości sił składowych
- kąta zawartego między nimi.

Metoda wieloboku - znajduje zastosowanie gdy mamy do złożenia większą liczbę sił.

Metodę wieloboku sił stosujemy, kiedy na ciało działają więcej niż dwie siły składowe np. F₁, F₂, F₃, F₄ dodajemy te siły za pomocą wektorów ( z zachowaniem wartości, kierunku i zwrotu wektoru). Przenosimy do dowolnego punktu A pierwszą siłę F_1, następnie kopiujemy siłę F₂ zaczynając od końca siły F₁ (wektor musi być równy i równoległy!). To samo robimy z siłą F₃, zaczynając od końca narysowanej siły F₂. Powtarzamy to dla wszystkich sił. W ten sposób dochodzimy do punktu B, który jest końcem ostatniej siły. Otrzymaną linię nazywamy wielobokiem sił. Następnie wektorowo (wektor S) łączymy początek pierwszej z końcem ostatniej siły. Wektor S nazywamy geometryczną sumą układu sił. Następnie przenosimy tę sumę (S = AB) do wspólnego punktu przyłożenia wszystkich sił układu, odcinek ten to siła wypadkowa R. Suma S i wypadkowa R mają taką samą wartość, kierunek i zwrot. Wypadkowa R jest siłą, więc ma sciśle określony punkt zaczepienia.

ROZKŁADANIE SIŁY NA DWIE SKŁADOWE

Rozkładanie siły na dwa żądane kierunki jest odwrotnością składania sił. Jeśli daną siłę R, działającą na punkt A, chcemy rozłożyć na dwie składowe siły F_1, F₂ o kierunkach l₁ i l_2, których skutek działania byłby taki sam jak siły R ( R ma być wypadkową F_1, F₂), należy przez koniec siły zakreślić proste równoległe do kierunków l₁ i l_2, punkty przecięcia się tych prostych z danymi kierunkami wyznaczają końce sił składowych za czepionych we wspólnym punkcie A.

RZUT SIŁ NA OŚ.

Rzutem sił na dowolną oś nazywamy odcinek A₁ B₁ , łączący rzut początku i końca układu danej siły na te oś. Weźmy pod uwagę dowolną prostą l, posiadającą zwrot, którą będziemy nazywać osią, oraz siłę F leżącą w jednej płaszczyźnie z tą osią. Następnie znajdujemy rzuty prostopadłe (A₁ B₁) początku i końca wektora siły na tę oś. Rys.1

Rysunek 1. Rzut sił na oś

Rzut siły przyjmujemy za dodatni, jeżeli odcinek A₁ B₁ jest zorientowany zgodnie z dodatnim zwrotem osi, a za ujemny, jeżeli odcinek A₁ B₁ jest zorientowany przeciwnie do zwrotu osi

Rzut siły na oś oznaczamy symbolem danej siły z dodaniem u dołu indeksu wskazującego, na którą oś rzutujemy siłę, np.: F₁ — rzut siły F na oś l. Kierunek osi tworzy z linią działania siły F kąt alfa (kąt ten stale odmierza się w stronę przeciwną do ruchu obrotowego wskazówek zegara). Rzut siły na oś jest równy iloczynowi wartości tej siły i cosinusa kąta zawartego między osią i linią działania siły.

Warto rozpatrzeć kilka przypadków:

1. Siła jest równoległa do osi – rzut siły na oś równoległą do linii działania siły jest równy danej sile i ma znak plus gdy zwrot siły i osi są jednakowe oraz znak minus gdy zwrot siły jest przeciwny zwrotowi osi;

2. Siła jest prostopadła do osi – rzut siły na oś prostopadłą do linii działania tej siły jest zawsze równy zeru;

3. Pomiędzy siłą a osią jest kąt ostry – rzut siły na oś jest zawsze dodatni;

4. Pomiędzy siłą a osią jest kąt rozwarty - rzut siły na oś jest zawsze ujemny.

Z twierdzenia Pitagorasa wynika, iż wartość siły jest równa pierwiastkowi kwadratowemu z sumy kwadratów rzutów tej siły na obie osie układu współrzędnych. Za pomocą rzutów można również określić kierunek i zwrot siły

TWIERDZENIE O SUMIE RZUTÓW SIŁ NA DOWOLNĄ OŚ.

Suma rzutów dowolnej liczby sił na oś jest równa rzutowi sumy tych sił na tę oś.

Rysunek 2. Suma rzutów na oś

Załóżmy, że punkt A jest punktem zbieżności czterech sił F₁ F₂ F₃ F_4. Siły te mają sumę S, którą możemy określić np. za pomocą wieloboku sił. Biorąc dowolną oś l i rzutując na tę oś wszystkie siły wchodzące w skład naszego wieloboku (Rys 2).Rzuty poszczególnych sił wynosząF_1l = AB, F_2l = BC, F_3l = CD, F_4l = -DE. Z rysunku widzimy, że AE = AB + BC + CD – DE a rzut sumy S_l = AE

Rzut sumy dowolnej liczby na osie układu współrzędnych – układ składa się z ″n″ sił F₁ F₂ F₃ F₄…F_n, które rzutujemy na osie x i y. w tym przypadku twierdzenie można zapisać S_x = F_1x + F_2x + F_3x + ... + F_nx S_y = F_1y + F_2y + F_3y + ... + F_ny. Równania te można zapisać krócej, używając matematycznego symbolu Σ(suma)S_x = ΣF_ix ;      S_y = ΣF_iy

ANALITYCZNE SKŁADANIE SIŁ ZBIERZNYCH

 Przy analitycznym składaniu sił zbieżnych należy przyjąć następujący tok postępowania:

 w punkcie zbieżności sił przyjąć początek 0 układu współrzędnych x, y,

 określić rzuty wypadkowej na osie x i y,

 ze wzoru 2 obliczyć wartość wypadkowej,

 z zależności 3 określić cosinus kąta a, jaki wypadkowa tworzy z osią x (lub osią y),

 z tablic trygonometrycznych wyszukać odpowiedni kąt nachylenia wypadkowej,

 w zależności od znaku cosinusa a oraz znaków rzutów wypadkowej określić jej zwrot.

Mając dwie siły F₁ F_2, w celu określenia wypadkowej sił należy w punkcie zbieżności sił przyjąć początek układu współrzędnych x i y. podane siły mają wypadkową R, której rzuty na oś są równe sumie rzutów tych sił na te osie, więc R_X= F_1X + F_2X oraz R_y= F_1y + F_2y. Mając określone rzuty siły wypadkowej można określić wartość i kierunek wypadkowej. Wartość tej siły wynosi R= $\sqrt{\text{RX}^{2} + \text{RY}^{2}}\text{\ \ }.$

Jej linia działania jest nachylona do osi x pod kątem a, którego cosinus obliczamy z zależności: cos α = RX ÷$\sqrt{\text{RX}^{2} + \text{RY}^{2}}$.

WARUNKI RÓWNOWAGI PŁASKIEGO ZBIERZNEGO UKŁADU SIŁ

Jeżeli do punktu materialnego (ciała sztywnego) znajdującego się w spoczynku przyłożymy układ sił zbieżnych znajdujących się w równowadze, to punkt materialny (ciało sztywne) pozostanie nadal w spoczynku.

Płaski układ sił zbieżnych jest w równowadze, jeżeli wielobok sił tego układu jest zamknięty. Jest to tzw. wykreślny warunek równowagi sił zbieżnych.     

Jeżeli chodzi o analityczne związki aby była równowaga sił zbieżnych to w przypadku równowagi wypadkowa układu musi być równa zeru. Warunek ten będzie spełniony tylko wtedy, gdy rzuty wypadkowej na osie x i y układu współrzędnych będą równe zeru. Dochodzimy więc do wniosku, że płaski układ sił zbieżnych może być w równowadze tylko wtedy, gdy spełnione będą dwa następujące warunki analityczne:

 suma algebraiczna rzutów wszystkich sił na oś x jest równa zeru,

 suma algebraiczna rzutów wszystkich sił na oś y jest równa zeru.

      Powyższe dwa analityczne warunki równowagi możemy zapisać w postaci dwóch równań

F_1x + F_2x + F_3x + ... + F_nx = 0

F_1y + F_2y + F_3y + ... + F_ny = 0

lub krócej

ΣF_ix = 0; ΣF_iy =₌ 0

      Warunki równowagi (tak wykreślne, jak i analityczne) umożliwiają rozwiązanie wielu praktycznych zadań z zakresu statyki.