MECHANIKA TEORETYCZNA

Temat nr 3

Równowaga układu sił zbieżnych

1

Równowaga płaskiego układu sił zbieżnych

1. Definicja

Układ sił, których linie działania przecinają się w jednym punkcie, nazywamy zbieżnym
układem sił (przestrzennym lub płaskim). Punkt przecięcia linii działania sił O nazywa się
punktem zbieżności.

2

1

P



2

P



3

P



O

2. Warunki równowagi płaskiego układu sił zbieżnych

Układ sił zbieżnych działających w jednej płaszczyźnie znajduje się w
równowadze, jeżeli wielobok utworzony ze wszystkich sił tego układu jest zamknięty
(warunek geometryczny).

3

n

P

P

P

P











,

,

,

3

2

1

1

P



2

P



3

P



4

P



4

P



1

P



2

P



O

3

P



0

1

2

1



























n

i

i

n

P

P

P

P

4

Siły zbieżne leżące w jednej płaszczyźnie są w równowadze, jeżeli sumy rzutów tych sił
na dwie osie układu współrzędnych są równe zeru (warunek analityczny).

0

1

2

1

















n

i

ix

nx

x

x

x

P

P

P

P

P



0

1

2

1

















n

i

iy

ny

y

y

y

P

P

P

P

P



5

Zadanie 1

Wspornik składa się z dwóch prętów AB i AC połączonych ze sobą przegubem A i z
pionową ścianą przegubami B i C. Obliczyć siły w tych prętach gdy na wsporniku
zawiesimy ciężar G.
Dane:

.

30

,

60

,

0

,

2















kN

G

G

C

A

B





6

Rozwiązanie zadania 1

0

sin

sin















C

B

ix

S

S

P

kN

S

kN

S

C

B

46

,

3

0

,

2







C

S



G



A





y

x

B

S



0

cos

cos













G

S

S

P

C

B

iy





G

C

A

B





7

Zadanie 2

Wyznaczyć siły w przegubowo połączonych prętach układu przedstawionego na
rysunku.

G

A



B

C

D







8

Rozwiązanie zadania 2

DC

S



G



D



y

x

DB

S



Węzeł D



0

cos

cos















DC

DB

ix

S

S

P

0

sin

sin











G

S

S

P

DC

DB

iy





DC

DB

S

S







sin

2

G

S

S

DC

DB







G

A



B

C

D







9

0

cos

cos











BC

BA

DB

ix

S

S

S

P





0

sin

sin















BA

DB

iy

S

S

P

DB

BA

S

S







cot

G

S

BC







BA

S



B



y

x

DB

S



Węzeł B



BC

S



G

A



B

C

D







10

AC

S



A



y

x

BA

S



Węzeł A



0

cos

cos















AC

BA

ix

S

S

P

BA

AC

S

S







sin

2

G

S

S

S

S

AC

BA

DC

DB











cot

G

S

BC





Ostatecznie:

G

A



B

C

D







11

Zadanie 3

Obliczyć wartość poziomej siły P, jaką należy działać, aby układ pokazany na
rysunku pozostał w spoczynku. Wyznaczyć również reakcję podłoża. Tarcia nie
uwzględniać.

G

A

C

Q



P



12

Rozwiązanie zadania 3

G



Ciało G



y

x

2

R



S





C

Q





P



S



S



2

R



1

y

1

x

Ciało Q

1

R



0

sin









S

G

P

ix



0

cos

2











G

R

P

iy



sin

G

S







cos

2

G

R





0

sin

cos

2

















R

S

S

P

P

ix

0

sin

cos

2

1

















S

R

Q

R

P

iy



sin

G

S

P







G

Q

R







1

13

Równowaga przestrzennego układu sił zbieżnych

1. Warunki równowagi przestrzennego układu sił zbieżnych

Przestrzenny układ sił zbieżnych znajduje się w równowadze, jeżeli
wielobok przestrzenny utworzony ze wszystkich sił tego układu jest zamknięty
(warunek geometryczny).

n

P

P

P

P











,

,

,

3

2

1

0

1

2

1



























n

i

i

n

P

P

P

P

Siły zbieżne są w równowadze, jeżeli sumy rzutów tych sił na trzy osie układu
współrzędnych są równe zeru (warunek analityczny).

0

1

2

1

















n

i

ix

nx

x

x

x

P

P

P

P

P



0

1

2

1

















n

i

iy

ny

y

y

y

P

P

P

P

P



0

1

2

1

















n

i

iz

nz

z

z

z

P

P

P

P

P



14

Zadanie 1

Żuraw podnoszący ciężar Q=20,0kN, jest zbudowany, jak pokazano na rysunku;
AB=AE=AF=2,0m

, kąt EAF=90º. Płaszczyzna wysięgnika ABC dzieli na połowy kąt

dwuścienny EABF. Wyznaczyć siłę ściskającą pionowy słup AB, a także siły

rozciągające liny BC, BE i BF. Ciężary części składowych żurawia pominąć.

1

P



4

3

2

,

,

P

P

P







m

BC

77

,

5

60

sin

0

,

5







m

BC

KB

89

,

2

60

cos











2

2

KC

KB

AB

AC











m

AC

0

,

7

0

,

5

89

,

2

0

,

2

2

2









7143

,

0

0

,

7

0

,

5

sin







7000

,

0

cos





A

C

B

E

F



60



45



45

m

0

,

5

Q

K



















45

AFB

AEB

AF

AE

AB

15

Rozwiązanie zadania 1

2

P



Q



C



y

x

DB

S



Węzeł C



30

5

P



0

sin

30

cos

5

2















P

P

P

ix

0

cos

30

sin

5

2















Q

P

P

P

iy



A

C

B

E

F



60



45



45

m

0

,

5

Q

K



kN

P

36

,

57

2





16

A

C

B

E

F



60



45



45

m

0

,

5

Q

K



Węzeł B

B



60



45



45

1

x

1

y

1

z



30



45



45

2

P



3

P



4

P



1

P



0

45

cos

45

cos

30

cos

3

2

















P

P

P

ix

0

45

cos

45

cos

30

cos

4

2















P

P

P

iy

kN

P

67

,

49

3





kN

P

67

,

49

4





0

45

sin

45

sin

60

cos

1

3

4

2



















P

P

P

P

P

iz

kN

P

56

,

41

1





17

Zadanie 2

Na rysunku przedstawiono kratownicę przestrzenną złożoną z sześciu prętów. Siła P
działa na węzeł A w płaszczyźnie prostokąta ABCD, przy czym jej prosta działania
tworzy z prostą pionową CA kąt 45°. ΔEAK= ΔFBM. Kąty trójkątów
równoramiennych: EAK, FBM i NDB przy wierzchołkach A, B i D są proste. Obliczyć
siły w prętach jeżeli P=10,0kN.

A

C

B

E

F



45

D

K

M

N



45



45



45



45

P



1

2

3

4

5

6

18

A

C

B

E

F



45

D

K

M

N



45



45



45



45

P



1

2

3

4

5

6

Rozwiązanie zadania 2

A



45



45



45

P



Węzeł A

x

y

z

1

P



2

P



3

P



0

45

cos

45

cos

2

1













P

P

P

ix

0

45

sin

3











P

P

P

iy

0

45

sin

45

sin

45

sin

2

1



















P

P

P

P

iz

19

A

C

B

E

F



45

D

K

M

N



45



45



45



45

P



1

2

3

4

5

6

B



45



45

x

y

z

Węzeł B

3

P



5

P



4

P



6

P



0

45

cos

45

cos

4

5















P

P

P

ix

0

45

cos

6

3













P

P

P

iy

0

45

sin

45

sin

45

sin

6

5

4



















P

P

P

P

iz

Wartości liczbowe sił wyznaczyć samodzielnie.