MECHANIKA TEORETYCZNA
Temat nr 3
Równowaga układu sił zbieżnych
1
MECHANIKA TEORETYCZNA
Temat nr 3
Równowaga układu sił zbieżnych
1
Równowaga płaskiego układu sił zbieżnych
1. Definicja
Układ sił, których linie działania przecinają się w jednym punkcie, nazywamy zbieżnym
układem sił (przestrzennym lub płaskim). Punkt przecięcia linii działania sił O nazywa się
punktem zbieżności.
2
1
P
2
P
3
P
O
2. Warunki równowagi płaskiego układu sił zbieżnych
Układ sił zbieżnych działających w jednej płaszczyźnie znajduje się w
równowadze, jeżeli wielobok utworzony ze wszystkich sił tego układu jest zamknięty
(warunek geometryczny).
3
n
P
P
P
P
,
,
,
3
2
1
1
P
2
P
3
P
4
P
4
P
1
P
2
P
O
3
P
0
1
2
1
n
i
i
n
P
P
P
P
4
Siły zbieżne leżące w jednej płaszczyźnie są w równowadze, jeżeli sumy rzutów tych sił
na dwie osie układu współrzędnych są równe zeru (warunek analityczny).
0
1
2
1
n
i
ix
nx
x
x
x
P
P
P
P
P
0
1
2
1
n
i
iy
ny
y
y
y
P
P
P
P
P
5
Zadanie 1
Wspornik składa się z dwóch prętów AB i AC połączonych ze sobą przegubem A i z
pionową ścianą przegubami B i C. Obliczyć siły w tych prętach gdy na wsporniku
zawiesimy ciężar G.
Dane:
.
30
,
60
,
0
,
2
kN
G
G
C
A
B
6
Rozwiązanie zadania 1
0
sin
sin
C
B
ix
S
S
P
kN
S
kN
S
C
B
46
,
3
0
,
2
C
S
G
A
y
x
B
S
0
cos
cos
G
S
S
P
C
B
iy
G
C
A
B
7
Zadanie 2
Wyznaczyć siły w przegubowo połączonych prętach układu przedstawionego na
rysunku.
G
A
B
C
D
8
Rozwiązanie zadania 2
DC
S
G
D
y
x
DB
S
Węzeł D
0
cos
cos
DC
DB
ix
S
S
P
0
sin
sin
G
S
S
P
DC
DB
iy
DC
DB
S
S
sin
2
G
S
S
DC
DB
G
A
B
C
D
9
0
cos
cos
BC
BA
DB
ix
S
S
S
P
0
sin
sin
BA
DB
iy
S
S
P
DB
BA
S
S
cot
G
S
BC
BA
S
B
y
x
DB
S
Węzeł B
BC
S
G
A
B
C
D
10
AC
S
A
y
x
BA
S
Węzeł A
0
cos
cos
AC
BA
ix
S
S
P
BA
AC
S
S
sin
2
G
S
S
S
S
AC
BA
DC
DB
cot
G
S
BC
Ostatecznie:
G
A
B
C
D
11
Zadanie 3
Obliczyć wartość poziomej siły P, jaką należy działać, aby układ pokazany na
rysunku pozostał w spoczynku. Wyznaczyć również reakcję podłoża. Tarcia nie
uwzględniać.
G
A
C
Q
P
12
Rozwiązanie zadania 3
G
Ciało G
y
x
2
R
S
C
Q
P
S
S
2
R
1
y
1
x
Ciało Q
1
R
0
sin
S
G
P
ix
0
cos
2
G
R
P
iy
sin
G
S
cos
2
G
R
0
sin
cos
2
R
S
S
P
P
ix
0
sin
cos
2
1
S
R
Q
R
P
iy
sin
G
S
P
G
Q
R
1
13
Równowaga przestrzennego układu sił zbieżnych
1. Warunki równowagi przestrzennego układu sił zbieżnych
Przestrzenny układ sił zbieżnych znajduje się w równowadze, jeżeli
wielobok przestrzenny utworzony ze wszystkich sił tego układu jest zamknięty
(warunek geometryczny).
n
P
P
P
P
,
,
,
3
2
1
0
1
2
1
n
i
i
n
P
P
P
P
Siły zbieżne są w równowadze, jeżeli sumy rzutów tych sił na trzy osie układu
współrzędnych są równe zeru (warunek analityczny).
0
1
2
1
n
i
ix
nx
x
x
x
P
P
P
P
P
0
1
2
1
n
i
iy
ny
y
y
y
P
P
P
P
P
0
1
2
1
n
i
iz
nz
z
z
z
P
P
P
P
P
14
Zadanie 1
Żuraw podnoszący ciężar Q=20,0kN, jest zbudowany, jak pokazano na rysunku;
AB=AE=AF=2,0m
, kąt EAF=90º. Płaszczyzna wysięgnika ABC dzieli na połowy kąt
dwuścienny EABF. Wyznaczyć siłę ściskającą pionowy słup AB, a także siły
rozciągające liny BC, BE i BF. Ciężary części składowych żurawia pominąć.
1
P
4
3
2
,
,
P
P
P
m
BC
77
,
5
60
sin
0
,
5
m
BC
KB
89
,
2
60
cos
2
2
KC
KB
AB
AC
m
AC
0
,
7
0
,
5
89
,
2
0
,
2
2
2
7143
,
0
0
,
7
0
,
5
sin
7000
,
0
cos
A
C
B
E
F
60
45
45
m
0
,
5
Q
K
45
AFB
AEB
AF
AE
AB
15
Rozwiązanie zadania 1
2
P
Q
C
y
x
DB
S
Węzeł C
30
5
P
0
sin
30
cos
5
2
P
P
P
ix
0
cos
30
sin
5
2
Q
P
P
P
iy
A
C
B
E
F
60
45
45
m
0
,
5
Q
K
kN
P
36
,
57
2
16
A
C
B
E
F
60
45
45
m
0
,
5
Q
K
Węzeł B
B
60
45
45
1
x
1
y
1
z
30
45
45
2
P
3
P
4
P
1
P
0
45
cos
45
cos
30
cos
3
2
P
P
P
ix
0
45
cos
45
cos
30
cos
4
2
P
P
P
iy
kN
P
67
,
49
3
kN
P
67
,
49
4
0
45
sin
45
sin
60
cos
1
3
4
2
P
P
P
P
P
iz
kN
P
56
,
41
1
17
Zadanie 2
Na rysunku przedstawiono kratownicę przestrzenną złożoną z sześciu prętów. Siła P
działa na węzeł A w płaszczyźnie prostokąta ABCD, przy czym jej prosta działania
tworzy z prostą pionową CA kąt 45°. ΔEAK= ΔFBM. Kąty trójkątów
równoramiennych: EAK, FBM i NDB przy wierzchołkach A, B i D są proste. Obliczyć
siły w prętach jeżeli P=10,0kN.
A
C
B
E
F
45
D
K
M
N
45
45
45
45
P
1
2
3
4
5
6
18
A
C
B
E
F
45
D
K
M
N
45
45
45
45
P
1
2
3
4
5
6
Rozwiązanie zadania 2
A
45
45
45
P
Węzeł A
x
y
z
1
P
2
P
3
P
0
45
cos
45
cos
2
1
P
P
P
ix
0
45
sin
3
P
P
P
iy
0
45
sin
45
sin
45
sin
2
1
P
P
P
P
iz
19
A
C
B
E
F
45
D
K
M
N
45
45
45
45
P
1
2
3
4
5
6
B
45
45
x
y
z
Węzeł B
3
P
5
P
4
P
6
P
0
45
cos
45
cos
4
5
P
P
P
ix
0
45
cos
6
3
P
P
P
iy
0
45
sin
45
sin
45
sin
6
5
4
P
P
P
P
iz
Wartości liczbowe sił wyznaczyć samodzielnie.