Zbieżny układ sił 

 
Przykład 1 
 
Dane są trzy siły: P

1

 = 3i + 4j, P

2 

= 2i 



5j, P

3

 = 



7i + 3j (składowe sił wyrażone są w niutonach), 

przecinające się w punkcie A (1, 2). Wyznaczyć wektor wypadkowej i jej wartość oraz kąt 



 nachylenia 

linii działania względem osi Ox układu.  
 
R o z w i ą z a n i e 
 
Przy zastosowaniu sposobu analitycznego należy wyznaczyć składowe wypadkowej P

x 

i 

P

y

  

 

                  

 

Wektor i wartość wypadkowej wynoszą 
 

                  

 

 
Kierunek wypadk

owej określa kąt 



, który wyznaczamy z następującego wzoru 

 

                  

 

 
Ponieważ składowe wypadkowej są następujące: P

x

 < 0, P

y

 > 0, to kąt 





 = 135º. Linia działania 

wypadkowej przechodzi przez punkt  

A pod kątem 





= 135º do osi Ox. 

 

 

 
 
 

 

Przykład 2 
 
Wzdłuż dwóch boków i głównej przekątnej sześcianu działają siły P

1

, 

P

2

, 

P

3

. Wartości tych sił są równe: 

P

1 

= P

2

 = Q, P

3 

= 3Q. Wyznaczyć ich wypadkową. 

 

R o z w i ą z a n i e 
 
Cosinusy kierunkowe sił P

1

, 

P

2

, 

P

3

 wynoszą 

 

                 

 

Wyznaczamy składowe wypadkowej 
 

                  

 

 
Wartość wypadkowej wyznaczamy z następującego wzoru 
 

                  

 

 
a jej cosinusy kierunkowe i kąty wynoszą odpowiednio 
 

                  

 

 
Linia działania wypadkowej przebiega przez punkt przecięcia się linii działania sił P

1

, 

P

2

, 

P

3

 pod kątami 



, 



i



do osi układu współrzędnych Oxyz.  

 
Przykład 3 
 
Na punkt materialny o ciężarze G, leżący na gładkiej równi pochyłej o kącie pochylenia 



, działają 

dwie siły S tak, jak przedstawiono na rysunku. Wyznaczyć siłę S oraz reakcję równi, jeżeli punkt 
znajduje się w spoczynku. 
 

 

 
R o z w i ą z a n i e 
 
 Metoda analityczna

. Na punkt materialny działają cztery siły, które są w równowadze. Na podstawie 

warunków równowagi sił zbieżnych można napisać następujące równania równowagi 
 

                  

 

 
Z równania pierwszego otrzymamy 
 

                  

 

 
Po podstawieniu do drugiego równania 
 

                  

 

Stąd 
 

                  

 

 
      Metoda geometryczna

. Na rysunku przedstawiono zamknięty wielobok sił utworzony z czterech sił 

działających na punkt materialny, z którego wyznaczono wartości siły S i reakcji R 
 

                  

 

 
 
 
 

 

Przykład 4 
 
Nieważka belka AB o długości l opiera się jednym końcem A na stałej podporze przegubowej A. Drugi 
koniec 

B tej belki jest zamocowany na podporze przegubowej przesuwnej (rysunek). Wyznaczyć 

reakcje podpór A i B, jeżeli belka jest obciążona w punkcie C siłą P. 
 

 

 
R o z w i ą z a n i e 
 
Metoda analityczna. Na rysu

nku b belka została uwolniona od więzów i przyłożone zostały reakcje R

Ax

, 

R

Ay 

i 

R

B

. Ponieważ belka jest obciążona trzema siłami R

A

, 

R

B 

i 

P, wobec tego ich linie działania muszą 

przecinać się w jednym punkcie D, zaś trójkąt sił musi być zamknięty (rys. c). 
W przyjętym układzie współrzędnych Axy równania równowagi będą następujące 
 

                  

 

 
Ponadto 

                  

 

 
gdzie 

                  

 

 
Z rozwiązania powyższego układu trzech równań otrzymamy 
 

                  

 

 
      Metoda geometryczna

. Na rysunku c przedstawiono trójkąt sił R

A

, 

R

B 

i 

P. Na podstawie twierdzenia 

równań sinusów otrzymamy 
 

                  

 

 
Stąd 

                  

 

 
 
 
 

 

Przykład 5 
 
Walec o promieniu 

r i ciężarze G spoczywa na gładkiej równi pochyłej o kącie pochylenia 





 = 30º i jest 

utrzymywany w położeniu równowagi za pomocą liny OA, zgodnie z rysunkiem. Do środka walca 
zamocowano drugą linę, którą przerzucono przez nieważki krążek. Na końcu tej liny zawieszono 
ciężar P. Obliczyć wartość reakcji N w punkcie E zetknięcia się walca z równią oraz napięcie w linie OA, 
jeżeli lina OB jest pozioma, a lina OA tworzy z poziomem kąt 



  = 45º. 

 

 

 
R o z w i ą z a n i e 
 
 Metoda analityczna

. Na walec działają siły P, G, S i N. Równania równowagi walca są następujące 

 

                  

 

Stąd 

                  

 

 
Metoda geometryczna

. Na rysunku b przedstawiono zamknięty wielobok sił, utworzony ze wszystkich 

sił działających na walec. Korzystając z odpowiednich trójkątów otrzymamy 
 

                  

 

Z rozwiązania tych równań otrzymamy takie same wartości sił S i N, jak przy zastosowaniu metody 
analitycznej. 
 
 
 
 

 

Przykład 6 
 
Ciało o ciężarze G jest zawieszone na wsporniku składającym się z trzech prętów połączonych 
przegubowo w sposób pokazany na rysunku. Pręty AO i BO, leżące w płaszczyźnie prostopadłej do 
pionowej ściany, tworzą z tą ścianą kąty 





= 45º. Pręt CO tworzy z pionową ścianą kąt  





= 60º i 

również leży w płaszczyźnie prostopadłej do tej ściany. Obliczyć siły w prętach, pomijając ich ciężary 
własne oraz tarcie w przegubach. 
 

 

 
R o z w i ą z a n i e 
 
 Metoda analityczna. Na przegub 

O działają siły wynikające z oddziaływania prętów OA, OB i OC: S

1

, 

S

2 

i 

S

3 

oraz ciężar G. Na podstawie warunków równowagi otrzymujemy następujące równania 

 

                  

 

 
Po rozwiązaniu powyższego układu równań otrzymamy 
 

                   

 

 
 
 
 

 

Przykład 7 
 
Wyznaczyć siły w prętach konstrukcji pokazanej na rysunku. Nieważkie pręty AB, AC, BC, BE, CE i CD są 
połączone przegubowo w węzłach A, B, C, D i E. W węźle B działają dwie siły: 2P w kierunku pionowym 
i siła P w kierunku pręta BC. 
 

 

 
R o z w i ą z a n i e 
  
Metoda analityczna

. Na węzeł B działają reakcje S

1

, 

S

2 

i 

S

3

, wynikające z oddziaływania prętów AB, BE i 

BC oraz siły P i 2P. Równania równowagi tego węzła są następujące 
 

                  

 

 
Na węzeł C działają reakcje S

3

, 

S

4

, 

S

5

 i 

S

6 

oraz siła P. Równania równowagi rozpatrywanego węzła są 

równe 
 

                  

 

 
Po rozwiązaniu powyższego układu równań otrzymamy