POLITECHNIKA ŚWIĘTOKRZYSKA	LABORATORIUM FIZYKI
WYDZIAŁ Budownictwa i Inżynierii Środowiska	Grupa: L04
SPRAWOZDANIE	Prowadzący: Dr Marek Gajdek
TEMAT:	Wyznaczanie odległości ogniskowych soczewek (z wzoru soczewkowego, graficznie i metodą Bessela).
Nr Ćwicz.:
07

I WSTĘP TEORETYCZNY

Soczewką nazywamy bryłę z przezroczystego materiału ograniczoną dwoma powierzchniami sferycznymi, których środki krzywizny leżą na jednej osi. Oś łącząca środki krzywizny obydwu powierzchni nazywamy osią optyczną soczewki. Każdy promień ulega dwukrotnie załamaniu na powierzchniach ograniczających soczewkę. Na rysunkach załamanie dwukrotne zastępujemy jednokrotnym załamaniem na tzw. powierzchni środkowej, czyli powierzchni prostopadłej do osi optycznej przechodzącej przez punkt leżący na osi optycznej w środku grubości soczewki. Wiązka promieni biegnących równolegle do osi optycznej, po przejściu przez soczewkę skupia się w jednym punkcie zwanym ogniskiem. Odległość ogniska od powierzchni środkowej nazywamy ogniskową soczewki.

W każdej soczewce istnieje środek optyczny, który jest punktem wykazującym następujące właściwości: promień biegnący pod dowolnym kątem wzglądem osi optycznej nie ulega załamaniu, jeżeli przechodzi przez środek optyczny. Istnieją soczewki zbierające i rozpraszające. W przypadku gdy współczynnik załamania materiału soczewki jest większy od współczynnika załamania otaczającego środowiska, soczewki zbierające są grubsze w środku niż na brzegach, a soczewki rozpraszające są grubsze na brzegach. W przypadku gdy grubość soczewki jest mała w porównaniu z promieniem krzywizny, soczewkę nazywamy cienką.

Ognisko w soczewce rozpraszającej leży po stronie wiązki równoległej, a ogniskowa jest ujemna. Wielkością D=1/f nazywamy zdolnością zbierającą. Jednostką zdolności zbierającej jest dioptria o wymiarze m^-1

Wszystkie promienie wybiegające pod małym kątem względem osi optycznej z punktu stanowiącego przedmiot skupiają się po przejściu przez soczewką w punkcie zwanym obrazem. Obraz nazywamy rzeczywisty gdy przecinają się promienie, natomiast gdy

przecinają się przedłużenia promieni obraz nazywamy pozornym. Odległość przedmiotu od soczewki a i obrazu od środka optycznego soczewki b oraz ogniskowa f spełniają następujący związek:

Przyjmujemy następującą umowę dotyczącą znaków odległości: jako dodatnie przyjmujemy odległości mierzone wzdłuż promieni rzeczywistych oraz odległości w górę od osi optycznej, ujemne są odległości mierzone wzdłuż promieni pozornych oraz w dół od osi optycznej. Promień krzywizny jest dodatni, gdy powierzchnia soczewkę jest wypukła, a ujemny, gdy jest wklęsła.

Powiększeniem liniowym p obrazu nazywamy stosunek wielkości obrazu A do wielkości przedmiotu B:

Ten stosunek jest równy stosunkowi odległości b obrazu od soczewki do odległości a przedmiotu od soczewki:

Metody wyznaczania ogniskowych soczewek

a) z pomiaru odległości przedmiotu i obrazu od soczewki - jest to bardzo prosta i zarówno dokładna metoda. Pomiary dokonywane są za pomocą ławy optycznej - zaopatrzona w podziałkę milimetrowa szyna, po której można przesuwać świecący przedmiot, soczewkę i ekran. Wystarczy dokonać na ławie optycznej pomiaru odległości a i b (niezależnie od siebie), aby z przekształconego wzoru soczewki wyznaczyć wartość ogniskowej f:

f = ab / (a + b)

b) metoda Bessela - wielkości a i b występują w równaniu soczewki symetrycznie. Gdy zrealizujemy w praktyce te dwa położenia to zobaczymy, że odległość przedmiotu od obrazu zostanie nie zmieniona, przy czym w pierwszym przypadku otrzymamy obraz powiększony a w drugim pomniejszony. Jeżeli odległość przedmiotu od ekranu oznaczymy przez d, zaś odległość między dwoma położeniami soczewki przez c to:

d = a + b c = a - b

Wstawiając obliczone z powyższych równań wartości a i b do równania soczewki mamy:

2/ ( d + c) + 2/( d - c) = 1/f

stąd:

f = ( d + c)(d - c) / 4d = 1/4(d - c²/d)

Ponieważ c²= d(d - 4f) to metodę tę można zastosować tylko wtedy, gdy d > 4f.

c) wyznaczanie odległości ogniskowej soczewki rozpraszającej metodą Bessela - bezpośrednie wyznaczenie odległości ogniskowej tą metodą nie jest możliwe, ponieważ soczewka rozpraszająca nie daje obrazu rzeczywistego. Aby wyznaczyć ogniskową tej soczewki ( f₁ ) należy zestawić ją z soczewką skupiającą o znanej ogniskowej (f₂ ) tak aby układ tych dwóch soczewek był układem skupiającym (f₂ < f₁ ). Zdolność skupiająca tego układu soczewek ( f₁₂ ), które mają wspólną oś optyczną jest opisana zależnością:

1/f₁₂= 1/f₁ + 1/f₂ + 1/h h - odległość między soczewkami

stąd:

f₁ = f₁₂f₂ / [f₂(1-h) - f₁₂]

Literatura:

Podstawy Fizyki, Halliday D., Resnick R., Walker J., wyd. PWN, Warszawa 2005,

Pracownia fizyczna, Szydłowski H., wyd. PWN, Warszawa 1973.

Wielka Encyklopedia Polonica

II. Opracowanie wyników :

Obliczenie na podstawie wzoru soczewkowego oraz zmierzonych wartości odległości a1 i a2 przy ustalonej, lecz nieznanej odległości ekranu od przedmiotu.

Pierwszy pomiar

Lp	a1 [cm]	a1śr [cm]	a2 [cm]	a2śr [cm]	f [cm]
1.	28,6		165,2
2.	28,4	28,5	165,5	165,35	24,31

Δ_e a₁=0,1 mm Δ_e a₂=0,15 mm Δ_da_i =0,5mm

Niepewność standardowa pomiaru a₁ i a₂

u(a₁) =$\sqrt{\frac{{(\Delta e\ a1)}^{2}}{3} + \ 2\frac{{(\Delta d\ ai)}^{2}}{3} =}\sqrt{\frac{{(0,1)}^{2}}{3} + \ 2\frac{{(0,5)}^{2}}{3} =}\ \frac{\sqrt{17}}{10} = 0,41$

u(a₂) = $\sqrt{\frac{{(\Delta e\ a2)}^{2}}{3} + \ 2\frac{{(\Delta d\ ai)}^{2}}{3} =}\sqrt{\frac{{(0,15)}^{2}}{3} + \ 2\frac{{(0,5)}^{2}}{3} =}\frac{\sqrt{627}}{60} = 0,42$

Niepewność standardowa i rozszerzona wyznaczonej wartości f₁ odległości ogniskowej

u(f) = $\sqrt{\left( \frac{f^{2}}{{a_{1}}^{2\ }} \right)^{2}*u^{2\ }\left( a_{1} \right) + \ \left( \frac{f^{2}}{{a_{2}}^{2\ }} \right)^{2}*\ u^{2\ }\left( a_{2} \right)} = \sqrt{\left( \frac{{24,31}^{2}}{{28,5}^{2\ }} \right)^{2}*{0,41}^{2} + \ \left( \frac{{24,31}^{2}}{{165,35}^{2\ }} \right)^{2}*\ {0,42}^{2}} = 0,30$

U(f) = 2 * u(f) = 2*0,30=0,6

Drugi pomiar

Lp	a1 [cm]	a1śr [cm]	a2 [cm]	a2śr [cm]	f [cm]
1.	29,6		139,1
2.	29,9	29,75	139,9	139,5	24,52

Δa₁=0,15 mm Δa₂=0,4 mm Δ_da_i =0,5mm

Niepewność standardowa i rozszerzona wyznaczonej wartości f₂ odległości ogniskowej

u(f) = $\sqrt{\left( \frac{f^{2}}{{a_{1}}^{2\ }} \right)^{2}*u^{2\ }\left( a_{1} \right) + \ \left( \frac{f^{2}}{{a_{2}}^{2\ }} \right)^{2}*\ u^{2\ }\left( a_{2} \right)} = \sqrt{\left( \frac{{24,52}^{2}}{{29,75}^{2\ }} \right)^{2}*{0,41}^{2} + \ \left( \frac{{24,52}^{2}}{{139,5}^{2\ }} \right)^{2}*\ {0,47}^{2}} = 0,28$

U(f)=2* u(f) = 2 * 0,28= 0,56

Niepewność standardowa pomiaru a₁ i a₂

u(a₁) =$\sqrt{\frac{{(\Delta e\ a1)}^{2}}{3} + \ 2\frac{{(\Delta d\ ai)}^{2}}{3} =}\sqrt{\frac{{(0,15)}^{2}}{3} + \ 2\frac{{(0,5)}^{2}}{3} =}\ \frac{\sqrt{17}}{10} = 0,41$

u(a₂) =$\sqrt{\frac{{(\Delta e\ a2)}^{2}}{3} + \ 2\frac{{(\Delta d\ ai)}^{2}}{3} =}\sqrt{\frac{{(0,4)}^{2}}{3} + \ 2\frac{{(0,5)}^{2}}{3} =}\ \frac{\sqrt{22}}{10}$=0,47

Trzeci pomiar

Lp	a1 [cm]	a1śr [cm]	a2 [cm]	a2śr [cm]	f [cm]
1.	31,4		107,3
2.	31,1	31,25	107,8	107,55	24,21

Δa₁=0,15 mm Δa₂=0,25 mm Δ_da_i =0,5mm

Niepewność standardowa i rozszerzona wyznaczonej wartości f₃ odległości ogniskowej

u(f) = $\sqrt{\left( \frac{f^{2}}{{a_{1}}^{2\ }} \right)^{2}*u^{2\ }\left( a_{1} \right) + \ \left( \frac{f^{2}}{{a_{2}}^{2\ }} \right)^{2}*\ u^{2\ }\left( a_{2} \right)} = \sqrt{\left( \frac{{24,21}^{2}}{{31,25}^{2\ }} \right)^{2}*{0,42}^{2} + \ \left( \frac{{24,21}^{2}}{{107,55}^{2\ }} \right)^{2}*\ {0,43}^{2}} = 0,25$

U(f) = 2 *u(f) = 2*0,25= 0,5

Niepewność standardowa pomiaru a₁ i a₂

u(a₁) =$\sqrt{\frac{{(\Delta e\ a1)}^{2}}{3} + \ 2\frac{{(\Delta d\ ai)}^{2}}{3} =}\sqrt{\frac{{(0,15)}^{2}}{3} + \ 2\frac{{(0,5)}^{2}}{3} =}\ \frac{\sqrt{627}}{60} = 0,42$

u(a₂) =$\sqrt{\frac{{(\Delta e\ a2)}^{2}}{3} + \ 2\frac{{(\Delta d\ ai)}^{2}}{3} =}\sqrt{\frac{{(0,25)}^{2}}{3} + \ 2\frac{{(0,5)}^{2}}{3} =}\ \frac{\sqrt{3}}{4} = 0,43$

Średnia wartość f odległości ogniskowej

w₁ = 1/[u(f₁)]² = 11,11

w₂ = 1/[u(f₂)]² = 11,89

w₃ = 1/[u(f₃)]² = 16

f = (w₁*f₁ + w₂*f₂ + w₃*f₃)/ (w₁ + w₂ + w₃) = 24,33

Niepewność standardowa i rozszerzona wyznaczonej średniej wartości f odległości ogniskowej

u(f) = 1/ sqrt(w₁ + w₂ + w₃) = 0,16

U(f) = 2*u(f) = 0,32

III. Wnioski :

Celem ćwiczenia było wyznaczenie wartości f odległości ogniskowej metodą wzoru soczewkowego. Na podstawie przeprowadzonych przez nas pomiarów możemy stwierdzić, że jest to prosta w zastosowaniu, szybka metoda o niewielkim błędzie pomiarowym. Przyczyną wystąpienia błędu mogły być:

- niedokładność ustawienia ostrości obrazu na ekranie, spowodowana różnicą ostrości widzenia wzroku ludzkiego

- niedokładność odczytu odległości przedmiotu i obrazu od soczewki

- zabrudzenia, zarysowania soczewki