1ET-DI Rzeszów, 15.01.2011

Andrzej Deryło

Sprawozdanie z ćwiczenia nr 13

Temat: Badanie centralnych zderzeń sprężystych niesprężystych.

I Zagadnienia do samodzielnego opracowania:

Zgodnie z zasadą zachowania pędu:

suma wektorowa pędów wszystkich elementów układu izolowanego pozostaje stała

co można wyrazić wzorami

$$\sum_{i = 1}^{n}{\overrightarrow{p_{i}} = \text{const}.}$$

$$\sum_{i = 1}^{n}{\overrightarrow{p_{i}} = 0}$$

Układ izolowany to taki układ, na który nie działają siły zewnętrzne lub siły te się równoważą. Oddziaływanie między elementami układu siłami wewnętrznymi nie zmienia pędu układu.

Gdy na układ ciał działa niezrównoważona siła zewnętrzna, wówczas pęd wypadkowy układu zmienia się. Zasada zachowania pędu wynika wprost z II zasady dynamiki w postaci uogólnionej. Można ją również wywieść z niezmienniczości lagranżjanu (hamiltonianu) względem przesunięć w przestrzeni (jeśli wszystkie punkty zostaną przesunięte w przestrzeni o , to nowy układ będzie identyczny z pierwotnym). Sytuacji takiej odpowiada brak członu potencjalnego w lagranżjanie (hamiltonianie).

Zasada ta jest zawsze spełniona (dla dowolnego układu izolowanego) w każdym procesie fizycznym, tylko w niektórych zjawiskach opisywanych przez mechanikę kwantową możliwe jest krótkotrwałe jej złamanie (w czasie zajścia oddziaływania), jednak już po bardzo krótkim czasie (potrzebnym światłu na przebycie odległości międzycząstkowych) zasada ta jest spełniona. Zasadę zachowania momentu pędu można wraz z zasadą zachowania materii-energii połączyć w zasadę zachowania czteropędu.

Zasada zachowania energii - empiryczne prawo fizyki, stwierdzające, że w układzie izolowanym suma wszystkich rodzajów energii układu jest stała (nie zmienia się w czasie). W konsekwencji, energia w układzie izolowanym nie może być ani utworzona, ani zniszczona, może jedynie zmienić się forma energii. Tak np. podczas spalania wodoru w tlenie energia chemiczna zmienia się w energię cieplną. Zasada zachowania energii w mechanice klasycznej i kwantowej jest konsekwencją symetrii translacji (przesunięć) w czasie. Ma ona jednak w fizyce szersze znaczenie. Przyjmuje się, że zasada zachowania energii jest spełniona również w układach nieprzejawiających takiej symetrii i nie dających się opisywać przy użyciu formalizmu hamiltonowskiego. W ramach tego formalizmu wyprowadzany jest związek między zasadami zachowania a symetriami układów fizycznych. Przykładami takich układów są:

układy opisywane przez fizykę statystyczną, gdzie symetria w czasie dla całego układu nie jest zachowana,

układy związane z występowaniem siły tarcia,

inne układy, na przykład cechujące się przemianami nierównowagowymi, dla których opis hamiltonowski jest nieadekwatny.

Zderzenie sprężyste, zderzenie elastyczne, jest to zderzenie, w którym w stanie końcowym mamy te same cząstki (obiekty) co w stanie początkowym i zachowana jest energia kinetyczna. W fizyce zderzenia analizuje się opisując stan ciał przed i po zderzeniu nie wnikając w szczegóły oddziaływania w trakcie zderzenia. Zderzenie, w którym energia kinetyczna nie jest zachowana nazywa się zderzeniem niesprężystym.

Przykładami zderzeń sprężystych mogą być: zderzenia cząsteczek gazu doskonałego, zderzenia elektronów, rozproszenie niskoenergetycznej cząstki alfa na jądrze atomowym (eksperyment Rutherforda) i wiele innych z mikroświata. Zderzenia zachodzące w skali makroskopowej są sprężyste w pewnym przybliżeniu, np. stosowane jako przykład zderzenie sztywnych stalowych kul jest tylko w przybliżeniu zderzeniem sprężystym, niewielka część energii kinetycznej jest bowiem zawsze tracona, np. w formie wydzielanego ciepła i fali akustycznej wytwarzanych w chwili zderzenia. Zazwyczaj za zderzenia uznaje się procesy trwające bardzo krótko, choć niektóre procesy przebiegające bardzo długo jak przejście komety poruszającej się z prędkością hiperboliczną w okolicy Słońca, z odchyleniem jej toru, też może być rozpatrywane jako oddziaływanie sprężyste.

Jeżeli zderzenie jest centralne, oznacza to, że początkowo ciała poruszają się po jednej prostej, zatem całkowity pęd ma kierunek pokrywający się również z tą prostą. A z zasady zachowania pędu wynika z kolei, że końcowy pęd układu będzie miał nie tylko taką samą wartość, lecz również kierunek. Można powiedzieć, że zderzenie centralne jest jednowymiarowe.

Zderzające się dwa ciała oznaczono indeksami 1 i 2, ich prędkości przed zderzeniem oznaczono przez u a po zderzeniu przez v, a masy przez m.

Całkowita energia kinetyczna po zderzeniu jest równa energii kinetycznej ciał przed zderzeniem:

Całkowity pęd po zderzeniu jest równy pędowi przed zderzeniem:

Z powyższych równań wynikają prędkości ciał po zderzeniu:

a gdy masy obu ciał są równe:

Z czego wynika, że ciała wymieniają się prędkościami.

Zderzenie całkowicie niesprężyste, zderzenie doskonale nieelastyczne –zderzenie, w którym następuje największa możliwa strata energii kinetycznej, tj. zderzenie, którego produkty mają najmniejszą możliwą energię kinetyczną umożliwiającą im spełnienie zasady zachowania pędu.

Wygodnie jest analizować takie zderzenie w układzie środka masy zderzających się obiektów. W układzie tym całkowity pęd wynosi zero. Oznacza to, że minimalna energia kinetyczna po zderzeniu też może być zerowa, sytuacja ta odpowiada stanowi spoczynku wszystkich produktów zderzenia. Ponieważ jednak strata energii nie może zależeć od układu odniesienia, dlatego w dowolnym układzie odniesienia wszystkie produkty zderzenia całkowicie niesprężystego poruszają się z tą samą prędkością w tym samym kierunku. Dla zderzeń obiektów makroskopowych oznacza to, że po zderzeniu ciała te poruszają się z takimi samymi prędkościami, tak jakby stanowiły jeden obiekt. Kosztem traconej energii kinetycznej wykonywana jest praca związana z odkształceniem ciał i rośnie ich energia wewnętrzna (wydziela się w postaci ciepła.

Na przykład niech dwa ciała o masach m₁i m₂ oraz o prędkościach początkowych v₁ iv₂ zderzają się doskonale niesprężyście. Niech obie prędkości mają te same kierunki i v₁ niech będzie większe od v₂ (czyli pierwsze ciało dogania drugie). Podczas zderzenia następuje odkształcenie obydwu ciał oraz ich połączenie tak, że po zderzeniu poruszają razem z prędkością u.

W czasie tego zderzenia nie działają w układzie odosobnionym siły zachowawcze, a zatem nie jest zachowana energia mechaniczna. Natomiast pęd zostaje zachowany, z czego wynika

Stąd prędkość wspólna po zderzeniu wynosi:

.

Znając energię kinetyczną obu ciał przed zderzeniem, jak również energię kinetyczną bryły utworzonej w wyniku zderzenia, można obliczyć stratę energii kinetycznej przekształconą na inne postacie energii:

.

ostatecznie:

.

Iloczyn obu zderzających się mas podzielony przez ich sumę przedstawia tzw. masę zredukowaną układu. Różnica (v₁ − v₂) jest prędkością względną. A zatem ubytek energii kinetycznej przekształcony w czasie doskonale niesprężystego zderzenia na inne rodzaje energii jest proporcjonalny do masy zredukowanej układu oraz kwadratu prędkości względnej.

II Pomiary

1. Na nakrętki zawieszek wkręcamy dwie kule wskazane przez prowadzącego zajęcia, zwracamy uwagę czy układ jest wypoziomowany.

2. Kręcąc pokrętłem 7 umieszczonym na wsporniku górnym ustawić taką odległość między nitkami 10, aby kule stykały się.

3. Poluzować śruby 9 i przesunąć uchwyty 8 do pozycji, w której ostrza zawieszek będą znajdować się w jednej płaszczyźnie z kątownikami ze stali 3; dokręcić śruby 9.

4. Skorygować centralne ustawienie kul doprowadzając do równości poziomów rys na kulach.

5. Ustawić kątowniki tak, aby ostrza zawieszek przy początkowym położeniu kul wskazywały kat α=0 (regulacja odpowiednimi śrubami na kątowniku).

6. Ustawić elektromagnes w odległości wskazanej przez prowadzącego i na takiej wysokości, aby jego os była przedłużeniem rys w skali (regulacja śrubami 4 i 5).

7. Włączyć przyrząd do sieci przyciskiem W1, nacisnąć przełącznik W3.

8. Pokrętłem 6 ustawić położenie elektromagnesu tak, aby trzymał on kule w pozycji odchylonej.

IV Obliczenia:

Obliczamy wartości błędów dla zderzeń sprężystych:

$u\left( E_{p} \right) = \sqrt{{(gl - glcos \propto )}^{2}{(u\left( m \right))}^{2} + {mg - mgcos \propto )}^{2}{(u\left( l \right))}^{2} + {(mglsin \propto )}^{2}{(u\left( \propto \right))}^{2}} =$0,0006 J

$u\left( p \right) = \sqrt{\left( \sqrt{gl(1 - cos \propto )} \right)^{2}{(u\left( m \right))}^{2} + \left( \frac{m_{1}}{2\sqrt{gl(1 - cos \propto )}} \right)^{2}{(u\left( l \right))}^{2} + \left( \frac{m_{1}gl*sin \propto}{2\sqrt{gl(1 - cos \propto )}} \right)^{2}{(u\left( \propto \right))}^{2}} = 0,0003\ kg*\frac{m}{s}$

Oraz dla zderzeń niesprężystych:

$$u\left( \text{Ep} \right) = \sqrt{{2\left( gl - glcos \propto \right)}^{2}\left( u\left( m \right) \right)^{2} + \left( ({m_{1}gl(1 - cos \propto ))}^{2} + \left( m_{2}\text{gl}\left( 1 - cos \propto \right) \right)^{2} \right)\left( u\left( l \right) \right)^{2} + (\left( m_{1}\text{gl}\left( sin \propto \right) \right)^{2}{u\left( \propto \right)}^{2}} +$$

$+ \sqrt{({m_{2}gl(1 - sin \propto ))}^{2}{u\left( \propto \right)}^{2}} =$ 0,0006 J

$u\left( p \right) = \sqrt{{(2\sqrt{gl(1 - cos \propto )})}^{2}{(u\left( m \right))}^{2} + \left( \frac{m_{1}{+ m}_{2}}{2\sqrt{2gl(1 - cos \propto}} \right)^{2}{(u\left( l \right))}^{2} + \left( \frac{{(m}_{1} + m_{2})sin \propto}{2\sqrt{2gl(1 - cos \propto )}} \right)^{2}{(u\left( \propto \right))}^{2}} =$ 0,0004 $kg*\frac{m}{s}$

Zadanie	Ep +/- u(Ep)	Ek +/- u(Ek)	pp +/- u(p)	Pk +/- u(p)
--	[J]	[J]	$$kg*\frac{m}{s}$$	$$kg*\frac{m}{s}$$
Zderzenia sprężyste	0,0140 +/- 0,0006	0,0177 +/- 0,0006	0,0543 +/- 0,0003	0,0875 +/- 0,0003
Zderzenia niesprężyste	0,0140 +/- 0,0006	0,0155 +/- 0,0006	0,0543 +/- 0,0003	0,0821 +/- 0,0004

Ep – Energia kinetyczna przed z zderzeniem

Ek—Energia kinetyczna po zderzeniu

pp—pęd przed zderzeniem

pk—pęd po zderzeniu

IV Wnioski:

Po przeanalizowaniu wyników pomiarów oraz obliczeń, można stwierdzić że zasad zachowania energii w tym układzie została zachowana. Stosunkowe duże odchyły zostały spowodowane bardzo mało precyzyjnymi odczytami wychylenia kul po zderzeniu.