LABORATORIUM ELEMENTÓW AUTOMATYKI
SPRAWOZDANIE
GRUPA: D0E1S1
WOŹNIAK Anna
TEMAT: BADANIE STABILNOŚCI LINIOWYCH, CIĄGŁYCH UAR

1. Schemat stanowiska laboratoryjnego:

2.Tabele pomiarowe:

Lp	Typ układu	Częstotliwość	Wzmocnienie	Przesunięcie fazowe
		Hz	V/V	°
1	Układ inercyjny rzędu I Nr 2	10,9	4,48	-1,3
		535,9	3,13	-45
2	Układ inercyjny rzędu I Nr 4	10,9	2,97	-0,8
		674,65	2,055	-45
3	Układ inercyjny rzędu I Nr 14	10,9	2,87	-1
		706,45	1,975	-45
4	Układ inercyjny rzędu III	10	38,49	-2,9
		12,6	38,52	-3,5
		15,8	38,51	-4,2
		19,9	38,54	-5,6
		25,1	38,53	-6,5
		31,5	38,45	-8,8
		39,7	38,38	-10,2
		50	38,21	-13,2
		62,9	38,01	-16,5
		79,2	37,68	-20,9
		99,8	37,14	-26,1
		125,6	36,38	-32,8
		158,1	35,22	-40,6
		199,1	33,48	-50,5
		250,6	31,28	-61,9
		315,5	28,02	-76,2
		397,2	23,98	-92,1
		500	19,24	-110,3
		629,5	14,43	-129,5
		792,4	10,05	-148,5
		997,6	6,48	-167,3
		1255,9	3,94	-184,1
		1581,1	2,3	-198,8
		1990	1,27	-212
		2505,9	0,66	-223,1
		3154,8	0,35	-231,9
		3303,5	0,31	-233,1

3.Obliczenia.

Wyznaczenie transmitancji układów inercyjnych rzędu I nr 2, 4, 14:

Transmitancja układu inercyjnego określona jest wzorem:

$$G\left( s \right) = \frac{k}{1 + \text{sT}}$$

k wyznaczamy jako wzmocnienie układu dla częstotliwości minimalnej

T jest stałą czasową układu. Wyznaczamy jako (ω = 2πf) dla 45^o

1. Transmitancje elementów składowych układu

1. Transmitancje układów I rzędu

$$G_{1}\left( s \right) = \frac{k_{1}}{1 + sT_{1}} = \frac{4,48}{1 + s\frac{1}{2\pi \bullet 535,9}}$$

$$G_{2}\left( s \right) = \frac{k_{2}}{1 + sT_{2}} = \frac{2,97}{1 + s\frac{1}{2\pi \bullet 674,65}}$$

$$G_{3}\left( s \right) = \frac{k_{3}}{1 + sT_{3}} = \frac{2,87}{1 + s\frac{1}{2\pi \bullet 706,45}}$$

1. Transmitancja układu otwartego III rzędu

Przy połączeniu kaskadowym transmitancja układu będzie wyznaczona jako iloczyn transmitancji układów inercyjnych I rzędu (układów składowych):

$$G\left( s \right) = \frac{k_{1} \bullet k_{2} \bullet k_{3}}{\left( 1 + sT_{1} \right) \bullet \left( 1 + sT_{2} \right) \bullet \left( 1 + sT_{3} \right)} = = \frac{4,48 \bullet 2,97 \bullet 2,87}{\left( 1 + s\frac{1}{2\pi \bullet 535,9} \right) \bullet \left( 1 + s\frac{1}{2\pi \bullet 674,65} \right) \bullet \left( 1 + s\frac{1}{2\pi \bullet 706,45} \right)}$$

1. Transmitancja układu zamkniętego III rzędu:

$$G\left( s \right) = \frac{38,19}{1,58 \bullet 10^{- 11} \bullet s^{3} + 1,90 \bullet 10^{- 7} \bullet s^{2} + 7,59 \bullet 10^{- 4} \bullet s + 39,19}$$

Tabela Routha i ocena stabilności

Równanie charakterystyczne układu zamkniętego III rzędu ma postać:

M(s) = 1, 58 • 10⁻¹¹ • s³ + 1, 90 • 10⁻⁷ • s² + 7, 59 • 10⁻⁴ • s + 39, 19

a₃ = 1, 58 • 10⁻¹¹ a₂ = 1, 90 • 10⁻⁷  a₁ = 7, 59 • 10⁻⁴ a₀ = 39, 19

$$b_{1} = \frac{\left| \begin{matrix} a_{3} & a_{1} \\ a_{2} & a_{0} \\ \end{matrix} \right|}{{- a}_{2}} = \frac{\left| \begin{matrix} {1,58 \bullet 10}^{- 11} & {7,59 \bullet 10}^{- 4} \\ {1,90 \bullet 10}^{- 7} & 39,19 \\ \end{matrix} \right|}{{- 1,90 \bullet 10}^{- 7}} = - 2,50 \bullet 10^{- 3}$$

$$b_{2} = \frac{\left| \begin{matrix} a_{3} & 0 \\ a_{2} & 0 \\ \end{matrix} \right|}{{- a}_{2}} = \frac{\left| \begin{matrix} {1,58 \bullet 10}^{- 11} & 0 \\ {1,90 \bullet 10}^{- 7} & 0 \\ \end{matrix} \right|}{{- 1,90 \bullet 10}^{- 7}} = 0$$

$$b_{3} = \frac{\left| \begin{matrix} a_{3} & 0 \\ a_{2} & 0 \\ \end{matrix} \right|}{{- a}_{2}} = \frac{\left| \begin{matrix} {1,58 \bullet 10}^{- 11} & 0 \\ {1,90 \bullet 10}^{- 7} & 0 \\ \end{matrix} \right|}{{- 1,90 \bullet 10}^{- 7}} = 0$$

$$c_{1} = \frac{\left| \begin{matrix} a_{2} & a_{0} \\ b_{1} & b_{2} \\ \end{matrix} \right|}{{- b}_{1}} = \frac{\left| \begin{matrix} 1,90 \bullet 10^{- 7} & 39,19 \\ - 2,50 \bullet 10^{- 3} & 0 \\ \end{matrix} \right|}{- ( - 2,50 \bullet 10^{- 3})} = 39,19$$

$$c_{2} = \frac{\left| \begin{matrix} a_{2} & 0 \\ b_{1} & 0 \\ \end{matrix} \right|}{{- b}_{1}} = \frac{\left| \begin{matrix} 1,90 \bullet 10^{- 7} & 0 \\ - 2,50 \bullet 10^{- 3} & 0 \\ \end{matrix} \right|}{- \left( - 2,50 \bullet 10^{- 3} \right)} = 0$$

$$d_{1} = \frac{\left| \begin{matrix} b_{1} & b_{2} \\ c_{1} & c_{2} \\ \end{matrix} \right|}{{- c}_{1}} = \frac{\left| \begin{matrix} - 2,50 \bullet 10^{- 3} & 0 \\ 39,19 & 0 \\ \end{matrix} \right|}{- 39,19} = 0$$

$$d_{2} = \frac{\left| \begin{matrix} b_{1} & 0 \\ c_{1} & 0 \\ \end{matrix} \right|}{{- c}_{1}} = \frac{\left| \begin{matrix} - 2,50 \bullet 10^{- 3} & 0 \\ 39,19 & 0 \\ \end{matrix} \right|}{- 39,19} = 0$$

Powstała tablica Routha ma postać:

$$\begin{bmatrix} \begin{matrix} a_{3} \\ a_{2} \\ \begin{matrix} b_{1} \\ c_{1} \\ d_{1} \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} & \begin{matrix} a_{1} \\ a_{0} \\ \begin{matrix} b_{2} \\ c_{2} \\ d_{2} \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} & \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ \begin{matrix} b_{3} \\ c_{3} \\ d_{3} \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \begin{matrix} 1,58 \bullet 10^{- 11} \\ 1,90 \bullet 10^{- 7} \\ \begin{matrix} - 2,50 \bullet 10^{- 3} \\ 39,19 \\ 0 \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} & \begin{matrix} 7,59 \bullet 10^{- 4} \\ 39,19 \\ \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} & \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \\ \end{bmatrix}$$