Politechnika Śląska
Wydział MT
Kierunek MiBM
Ćwiczenie laboratoryjne z fizyki
Pomiar prędkości dźwięku w powietrzu.
Metody: rezonansowa , przesunięcia fazowego i Quinckego.
Grupa II sekcja VII
Jacek Pańtak
Piotr Płonka
1.1 Fala akustyczna
Rozchodzenie się dźwięku w powietrzu jest zjawiskiem falowym. Jest to zaburzenie rozchodzące się w ośrodku sprężystym ( powietrzu ), polegające na przenoszeniu energii przez drgające cząstki ośrodka bez zmiany ich średniego położenia. Fala akustyczna jest sprężystą falą podłużną. Równanie tej fali rozchodzącej się wzdłuż osi x, w dwóch punktach odległych od siebie o r ma postać:
y1 = A cos [ 2π ( t/T - x/l) + d ]
y2 = A cos [ 2π ( t/T - (x + r)/l ) + δ ].
Między falą w punkcie 1 i 2 istnieje dodatkowa różnica fazy
Δδ = 2πn r / c
gdzie: c - prędkość propagacji fali.
Zakładając że w punktach 1 i 2 są dwa kolejne węzły otrzymujemy:
π = 2πν (ri i - ri-1) /c.
podstawiając:
δri = ri - ri-1
otrzymujemy:
c = 2ν δri.
Analogicznie postępując możemy otrzymać wzór, w którym zmieniana jest częstotliwość - dla tegosamego punktu po zmianie częstotliwości powinniśmy otrzymać ponownie węzeł. Wzór na prędkość propagacji fali ma wtedy postać:
c = 2r δνi
Rozchodzenie się fali jest równierz procesem termodynamicznym. Zagęszczenia i rozrzedzenia ośrodka, który jest nośnikiem fali, są adiabatyczne - ze względu na dużą szybkość propagacji fali w powietrzu. Znając cp / cv = χ można wzór na propagację fali w powietrzu zapisać w postaci:
gdzie :
R- uniwersalna stała gazowa,
T- temperatura w kelwinach,
µ- masa molowa powietrza.
1.2. Fale stojące
W wyniku interferencji dwóch fal, biegnących na przeciw siebie, o równaniach:
y1 = A cos 2π ( t/T - x/l )
y2 = A cos 2π ( t/T + x/l )
otrzymamy falę wypadkową o równaniu :
y = y1 + y2 = 2A cos 2π x/l cos 2π t/T
Analizując powyższe równanie otrzymujemy warunki na istnienie fali stojącej. W przypadku rury Kundta, gdy fala jest ograniczona dwoma ośrodkami gęstszymi warunek ten przyjmuje pstać: l=(2n+1)*l/4, co oznacza, że fala stojąca wytworzy się tylko w rurze o takiej długości, gdy mieści się w niej nieparzysta liczba ćwiartek fal. Analizując równanie fali można również podać warunki na istnienie węzłów i strzałek. Węzły, czyli punkty w których nie występują drgania powstają w miejscach spełniającym warunek : x=(2n+1)*l/4, a strzałki, czyli punkty w których amplituda drgań jest maksymalna, powstają w punktach spełniających warunek: x=n*l/2.
2.1. Schematy układów
W pierwszej części ćwiczenia dokonywano pomiaru prędkości dźwięku w powietrzu metodą rezonansową. W celu dokonania pomiarów zbudowano układ według schematu przedstawionego poniżej.
Schemat 1.
gdzie:
G- generator, F- częstotliwościomierz,
1-głośnik, 2-rura Kundta,
3-mikrofon, 4-oscyloskop
W części drugiej ćwiczenia dokonywano pomiarów metodą przesunięcia fazowego. Zbudowano układ według schematu zamieszczonego poniżej.
Schemat 2.
Oznaczenia jak powyżej.
2.2 Krótki opis przebiegu ćwiczenia
W części pierwszej ćwiczenia zbudowano układ jak na schemacie 1. Zdejmowano pomiary za pomocą metody rezonansowej. Pomiarów dokonywano w następujący sposób:
1. Ustawiano częstotliwość f0 i szukano takiego położenia mikrofonu by wskaznie na oscyloskopie było maksymalne ( strzałka ).
2. Nie zmieniając położenia mikrofnu szukano dwóch najbliższych wartości częstotliwości odpowiadających rezonansowi akustycznemu.
Ogółem dokonano 3 serie pomiarów według powyżej przedstawionej kolejności.
Wczęści drugiej mierzono prędkość dźwięku metodą przesunięcia fazowego. Zbudowano układ jak na schemacie 2. Pomiarów dokonywano według następującej kolejności:
1. Ustawiano częstotliwość.
2. Szukano takich położeń mikrofonu, kiedy na ekranie oscyloskopu elipsa przechodziła w prostą skośną. Notowano 5 kolejnych takich płożeń.
Ogółem dokonano pomiarów dla 3 różnych częstotliwości.
3. Obliczenia i analiza błędów
Do obliczeń przyjęto następujące wartości błędów wynikających z niedokładności odczytu i niedoskonałości mierników:
Δl = 0.005 [m] - błąd odczytu z przymiaru,
Δf = 3 [Hz] - błąd częstotliwościomierza,
ΔT = 0.5 [° C] = 273.8 [K]- błąd odczytu z termometru.
Metoda rezonansowa.
Wstawiając do wzorów na prędkość fali w zależności od różnicy faz obliczono prędkości dźwięku ( c ) w powietrzu. Następnie ze wzoru na różniczkę zupełną obliczono błąd ( Δc )
c = 2 l | f0 -f1 | i c = 2 l | f0 -f2 |
Δc = | 2 ( f0-f1 ) | | Δl | + | 2 l | |Δf | i Δc = | 2 ( f0-f2 ) | | Δl | + | 2 l | |Δf |
Po wstawieniu odpowiednich danych uzyskano następujące wartości prędkości oraz błędy dla odpowiednich prędkości:
| ν - różnica faz | | f0 - f1 | | | f0 - f2 | |
|---|---|---|
| nr | 1 | 2 |
| c - prędkość dzwięku [m/s] | 54.1 | 154.8 |
| Δc - błąd obliczeń [m/s] | 4.0 | 6.4 |
Z obliceń w dalszej części ćwiczenia wyłączono pomiary 1 i 2 dla różnicy faz | f0 - f1 |, gdyż wyniki wskazują na błąd gruby spowodowany najprawdopodobniej złym doborem częstotliwości rezonansowej a raczej jej nie znaleźieniem (wysoka prosta lecz nie rezonansowa).
Stosując wzór na średnią ważoną otrzymano wartość prędkości dźwięku w powietrzu oraz błąd średniej ważonej:
c=341.9 [m/s] ,
Δc=14.3 [m/s]
Metoda przesunięcia fazowego
Obliczono odległości między strzałkami dla danych czestotliwości - ν. Następnie wstawiając do wzoru na prędkość fali wyznaczono wartości c w zależności od n. Obliczono następnie ze wzoru na różniczkę zupełną błąd wyznaczenia c tą metodą. Po podstawieniu odpowiednich danych otrzymano odpowiednio dla każdej prędkości następujące błędy:
c= 2 f | λι − λι−1 |
Δc = | 2f ( λι − λι−1 )| Δl | + | 2l | | Δφ |
| Częstotliwość [Hz] | 2000 | 2500 | 3000 |
|---|---|---|---|
| nr | c | Δc | c |
| 1 | 348.0 | 72.2 | 350.0 |
| 2 | 352.0 | 72.8 | 355.0 |
| 3 | 340.0 | 71.0 | 335.0 |
| 4 | 360.0 | 73.0 | 355.0 |
Wstawiając do wzoru na średnią ważoną otrzymano wartość c oraz średniej ważonej:
c=344.2 [m/s]
Δc=3.8 [m/s]
Następnie obliczono wykładniki adiabaty χ, stosując poniższy wzór:
gdzie:
R = 8.31 [J/ (mol K)],
µ = 28.87E-3 [kg/mol],
T = 24.0 [C] = 297.0 [K].
Podstawiając uzyskane prędkości c z obu części ćwiczenia, oraz pozostałe dane otrzymano następujące wartości stałej χ:
χ=1.37 dla metody rezonansowej,
χ=1.39 dla metody przesunięcia fazowego.
Błąd wyznaczenia c obliczano według wzoru:
Po wstawieniu danych otrzymano:
Δχ=1.17 [m/s] dla metody rezonansowej,
Δχ=0.32 [m/s] dla metody przesunięcia fazowego.
4. Podsumowanie
Za pomocą dwóch metod otrzymano prędkości dźwięku w powietrzu .
c=341.9 ± 14.3 [m/s], dla metody rezonansowej,
c=344.2 ± 3.8 [m/s]. dla metody przesunięcia fazowego.
Za pomocą obu wyznaczonych prędkości obliczono wykładniki adiabaty
χ=1.37 ± 1.17 dla metody rezonansowej,
χ=1.39 ± 0.32 dla metody przesunięcia fazowego.
Wartość tablicowa χ δla powietrza wynosi χt=1.40. Jak widać metodą przesunięcia fazowego otrzymano wartość χ dokładniejszą niż rezonansową. Dzięki znajomości χ można porównać wyznaczoną prędkość z wartością tablicową prędkości propagacji dźwięku w powietrzu (w tmperaturze 273 K). Prędkość c0 wyznaczono korzystając ze wzoru:
i wyniosła ona:
c=328.1 [m/s] dla metody rezonansowej,
c=330.5 [m/s] dla metody przesunięcia fazowego.
Błąd uzyskanego wyniku liczono ze wzoru:
Wyniósł on odpowiednio:
Δc=28.0 [m/s] dla metody rezonansowej,
Δc=7.6 [m/s] dla metody przesunięcia fazowego.
Wartość tablicowa c0 wynosi c0=331 [m/s]. Porównanie ze sobą prędkości otrzymanych z pomiaru z wartością tablicową prowadzi do wniosku, że metoda przesunięcia fazowego jest dookładniejsza niż metoda rezonansowa ponieważ otrzymany wynik jest obarczony mniejszym błędem, a wartość prędkości jest dokładniejsza. Otrzymano za jej pomocą wartość: c=330.5±7.6 [m/s]. Odchyłka od wartości tablicowej liczonej wg wzoru:
σ= (c0 / c -1) *100%
wynosi σ=0.2 %. Używając metody rezonansowej otrzymano: c=328.1±28.0 [m/s]. W tym przypadku σ=0.9%.
Warto zauważyć że metoda przesunięcia fazowego powinna być metodą bardziej dokładną poniewarz opiera sie na różnicy odległości i wszelkie błędy wyskalowania miarki długości są mniej prawdopodobne. W metodzie tej łatwiej też jest ustawić przyżądy w odpowiednich pozycjach - nie nakładanie się fal jest łatwe do zauwarzenia w przeciwieństwie do znaleźienia częstotliwości rezonansowej.