Cel i zakres doświadczenia

Celem ćwiczenia było zapoznanie się z rodzajami ruchu występującymi w przewodach ciśnieniowych, rozpoznawanie różnic pomiędzy ruchem laminarnym a turbulentnym oraz wyznaczenie górnej i dolnej wartości liczby Reynoldsa poprzez zaprojektowanie doświadczenia i wykonanie stosownych obliczeń.

Opis analizowanego zjawiska

Badanie wykonywane przez Osborne’a Reynoldsa w roku 1883 wykazały istnienie dwóch rodzajów ruchu płynu: laminarnego oraz turbulentnego.

O ruchu laminarnym możemy mówić, gdy cząsteczki cieczy poruszają się prostoliniowo, równolegle do osi podłużnej przewodu. Oznacza to, że kolejne warstwy płynu nie ulegają mieszaniu. Ruch laminarny występuje przy niewielkich prędkościach przepływu.

Ruchem turbulentnym nazywamy przepływ, w którym cząstki cieczy poruszają się w różnych kierunkach , ich ruch jest nieuporządkowany a wektory prędkości można rozłożyć na dwa kierunki- równoległy i prostopadły do osi przewodu. Zjawisko to jest wywołane faktem, iż cząstki wykonują zarówno ruch postępowy, jak i wsteczny, co doprowadza do ich zderzania się i mieszania.

Rys. 1 Ilustracja zjawiska przepływu laminarnego i turbulentnego

Z przeprowadzonych przez Reynoldsa badań wynikało, że dane rodzaje ruchu nie występują losowo, lecz pojawiają się w pewnych granicach wartości liczby Re, którą nazywamy liczbą Reynoldsa. Jest to wartość bezwymiarowa .

Liczba Reynoldsa powinna się zawierać w granicach

2320 < Re < 50000

Idea przeprowadzenia doświadczenia

Poprawnie wykonane doświadczenie potwierdzające teorię Reynoldsa powinno składać się z dwóch części:

-obserwacja zachodzących zjawisk oraz wykonanie odpowiednich pomiarów przy przechodzeniu z ruchu laminarnego w turbulentny

- obserwacja zachodzących zjawisk oraz wykonanie odpowiednich pomiarów przy przechodzeniu z ruchu turbulentnego w laminarny.

Najprostszym sposobem na wyznaczenie liczby Reynoldsa w warunkach laboratoryjnych jest korzystanie ze wzoru (1) wykorzystującego prędkość przepływu cieczy i średnice wewnętrzną rury:

$$Re = \frac{\upsilon D}{\nu}$$

(1)

gdzie:

V - objętość zmierzonej cieczy [m³]
D - średnica rury [m]
t - czas [s]
ν - kinetyczny współczynnik lepkości $\left\lbrack \frac{m^{2}}{s} \right\rbrack$

Rozpoczynając pomiary od ruchu laminarnego należy stopniowo zwiększać przepływ, równolegle dodając barwnika. Ważnym jest, aby barwnik był dodawany równomiernie, by zaburzenie ilości barwnika, o większej gęstości niż woda, nie powodowało wrażenia wchodzenia w fazę ruchu turbulentnego. W momencie zaobserwowania na wysokości ok 30D od źródła barwnika zjawiska rozpraszania cząstek barwnika w wodzie należy wykonać pomiar dowolnie pobranej objętości oraz czasu, który jej odpowiadał. Pomiary należy wykonywać w seriach, w celu uśrednienia wartości prędkości przepływu. W celu eliminacji wyników znacznie odchylających się od normy serii należy wykonać przynajmniej 4.

W przypadku pomiarów przy przechodzeniu z ruchu turbulentnego w laminarny należy zaobserwować moment, w którym cząsteczki z ruchu chaotycznego zaczynają poruszać się prostoliniowo, równomiernie. W tym momencie również należy wykonać przynajmniej 4 serie pomiarów. Wyniki zapisać.

SCHEMAT URZĄDZENIA – Załącznik nr 1

Opis przebiegu doświadczenia

1. Sprawdzono poprawność działania i szczelność instalacji.

2. Odkręcono główne zawory doprowadzające wodę.

3. Wykonywano pomiary:

1. Przepływ laminarny:

   -odkręcano zawór (KTÓRY ZAWOR) wywołując niski przepływ cieczy
   - równolegle z zaworem (KTÓRY ZAWOR) odkręcano pokrętło (KTÓRE POKRETLO) wywołujące wypływ barwnika do cieczy
   -stosunkowo zwiększano przepływ cieczy za pomocą zaworu(KTÓRY ZAWOR) aż do momentu zaobserwowania stopniowego rozpływania się barwnika w cieczy na wysokości 30 D ( 60 cm)

b) Przepływ turbulentny:
-odkręcano zawór (KTÓRY ZAWOR) wywołując wysoki przepływ cieczy
- równolegle z zaworem (KTÓRY ZAWOR) odkręcano pokrętło (KTÓRE POKRETLO) wywołujące wypływ barwnika do cieczy
-stosunkowo zmniejszano przepływ cieczy za pomocą zaworu(KTÓRY ZAWOR) aż do momentu zaobserwowania stopniowego zanikania drgania barwnika w cieczy na wysokości 30 D ( 60 cm)

4.Nie zmieniając wartości przepływu pobierano dowolną objętość cieczy do cylindra miarowego, jednocześnie mierząc czas wykonywanych działań na stoperze. Dla danego przepływu pomiaru dokonywano dwa razy (2 pomiary w 1 serii).

5. Wyniki zapisywano w protokole.

6. Wykonano 4 serie pomiarów.

7. Spisano dokładności używanych przyrządów

Przebieg doświadczenia

Dane:

Temperatura wody:

t = 15⁰C → T = 288 K

Odczytano wartość kinematycznego współczynnika lepkości wody z tablic¹ na podstawie zmierzonej temperatury wody:

ν = 1,142∙10^-6 $\ \frac{m^{2}}{s}$

Dokładności używanego sprzętu:

cylinder miarowy

ΔV = 1 [cm³] = 0,01³ [m³]

termometr

Δt_temo = 1 [^oC]
ΔT = 1 [K]

stoper

Δt_czas = 0,01 [s]

rura
ΔD = 0 [m] – przyjmujemy, że średnica rury została podana

Określenie dolnej krytycznej liczby Reynoldsa

Objętości mierzonej cieczy i uzyskane czasy im odpowiadające przedstawiono w tabeli nr 1.

Średnica przewodu: 20 mm = 20∙10^-3 m
Przejście z ruchu turbulentnego w laminarny
Nr serii pomiarowej
1
2
3
4

Tabela nr 1: Pomiary wykonane dla przejścia z ruchu turbulentnego w laminarny.

Korzystając z powyższych danych wykonano obliczenia przy użyciu poniższych wzorów (obliczenia wykonywane są dla pomiaru 1 w serii 1):

$$Q = \frac{V}{t}$$

Gdzie:

Q – natężenie przepływu cieczy mierzone w $\left\lbrack \frac{m^{3}}{s} \right\rbrack$

V – objętość cieczy mierzona w [m³]

t – czas mierzony w [s]

$Q = \frac{0,00009600}{6,24} = \ 0,00001538$ $\left\lbrack \frac{m^{3}}{s} \right\rbrack$

Korzystając ze wzoru na Q wyliczono prędkość przepływu wody υ:

$$Q = \frac{\pi{\bullet D}^{2}}{4} \upsilon$$

^{--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------}

¹ - "Tablice i wykresy do obliczeń z mechaniki płynów" W. Stefański, K. Wyszkowski

Wydawnictwa Politechniki Warszawskiej 1979

$$\upsilon = \frac{1 \bullet Q}{\pi{\bullet D}^{2}}$$

$$\left\lbrack \upsilon \right\rbrack = \frac{1 \bullet \frac{m^{3}}{s}}{1{\bullet m}^{2}} = \left\lbrack \frac{m}{s} \right\rbrack$$

Gdzie:

D - średnica przewodu mierzona w [m]

$$\upsilon = \frac{4 \bullet 0,00001538}{\pi{\bullet (20 \bullet 10^{- 3}\ )}^{2}} = \ 0,04897\ \left\lbrack \frac{m}{s} \right\rbrack$$

Jako że strumień wody w poszczególnych seriach podczas mierzenia nie ulegał zmianom, obie prędkości powinny być do siebie zbliżone. Wyliczono teraz prędkość średnią dla pierwszej serii korzystając ze wzoru na średnią arytmetyczną:

$$u = \ \frac{\sum_{i = 1}^{n}\text{υi}}{n}$$

$$u = \ \frac{0,04897 + 0,04033}{2} = 0,04465\ \left\lbrack \frac{m}{s} \right\rbrack$$

Korzystając ze wzoru na liczbę Reynoldsa jesteśmy w stanie ją wyliczyć:

$$Re = \frac{\upsilon D}{\nu}$$

$\left\lbrack \text{Re} \right\rbrack = \ \frac{\frac{m}{s} \bullet m}{\frac{m^{2}}{s}} = \lbrack - \rbrack$

$$Re = \frac{0,04897 \bullet 20 10^{- 3}}{1,142 \bullet 10^{- 6}} = 857,66\ \lbrack - \rbrack$$

Korzystając ze średniej arytmetycznej określono dolną krytyczną liczbę Reynoldsa:

$$Re = \ \frac{\sum_{i = 1}^{n}\text{Rei}}{n}$$

$$Re = \ \frac{857,66 + 706,24 + 712,3 + 733,12 + 654,57 + 654,43 + 658,69 + 646,49}{8} = \ 702,94\ \lbrack - \rbrack$$

Średnica przewodu: 20·10^-3 m
Przejście z ruchu turbulentnego w laminarny
Nr serii pomiarowej
1
2
3
4

Wszelkie wyniki obliczeń znajdą się w tabeli nr 2.

Tabela nr 2: Wyniki wszystkich dokonanych obliczeń zestawione w jednym miejscu.

Wyliczono niepewność pomiarową natężenia przepływu cieczy korzystając ze wzoru:

$$\text{ΔQ} = \ \left| \frac{\partial Q}{\partial V} \right| \bullet V + \left| \frac{\partial Q}{\partial t} \right| \bullet t = \left| \frac{1}{t} \right| \bullet V + \left| V \bullet \left( - \frac{1}{t^{2}} \right) \right| \bullet t$$

$$\text{ΔQ} = \left| \frac{1}{6,24} \right| \bullet {0,01}^{3} + \left| 0,00009600 \bullet \left( - \frac{1}{{6,24}^{2}} \right) \right| \bullet 0,01 = 0,0000002\left\lbrack \frac{m^{3}}{s} \right\rbrack$$

Wyliczono niepewność pomiarową prędkości korzystając ze wzoru:

$$\Delta\upsilon = \ \left| \frac{\partial\upsilon}{\partial Q} \right| \bullet Q + \left| \frac{\partial\upsilon}{\partial D} \right| \bullet D = \left| \frac{4}{\pi \bullet D^{2}} \right| \bullet Q + \left| \frac{4 \bullet Q}{\pi} \bullet \left( - \frac{2}{D^{3}} \right) \right| \bullet D$$

$$\Delta\upsilon = \left| \frac{4}{\pi \bullet {0,02}^{2}} \right| \bullet 0,0000002 + \left| \frac{4 \bullet 0,00001538}{\pi} \bullet \left( - \frac{2}{{0,02}^{3}} \right) \right| \bullet 0 = 0,0006\ \left\lbrack \frac{m}{s} \right\rbrack$$

Wyliczono niepewność pomiarową liczby Reynoldsa korzystając ze wzoru:

$$\Delta\text{Re} = \ \left| \frac{\partial Re}{\partial\upsilon} \right| \bullet \upsilon + \left| \frac{\partial Re}{\partial\nu} \right| \bullet \nu + \left| \frac{\partial Re}{\partial D} \right| \bullet D = \left| \frac{D}{\nu} \right| \bullet \upsilon + \left| D \bullet \upsilon \bullet \left( - \frac{1}{\nu^{2}} \right) \right| \bullet \nu + \left| \frac{\upsilon}{\nu} \right| \bullet D$$

$$\Delta\text{Re} = \left| \frac{0,02}{1,142 \bullet 10^{- 6}} \right| \bullet 0,0006 + \left| 0,02 \bullet 0,04897 \bullet \left( - \frac{1}{({1,142 \bullet 10^{- 6})}^{2}} \right) \right| \bullet 0 + \left| \frac{0,04897}{1,142 \bullet 10^{- 6}} \right| \bullet 0 = 10,31\ \lbrack - \rbrack$$

Średnica przewodu: 20∙10^-3 m
Przejście z ruchu laminarnego w turbulentny
Nr serii pomiarowej
1
2
3
4

Tabela nr 3: Policzone niepewności pomiarowe dla każdego pomiaru.

Określenie górnej krytycznej liczby Reynoldsa

Objętości mierzonej cieczy i uzyskane czasy im odpowiadające przedstawiono w tabeli nr 3.

Średnica przewodu: 20 mm = 20∙10^-3 m
Przejście z ruchu laminarnego w turbulentny
Nr serii pomiarowej
1
2
3
4

Tabela nr 4: Pomiary wykonane dla przejścia z ruchu laminarnego w turbulentny.

Korzystając z powyższych danych wykonano obliczenia przy użyciu poniższych wzorów (obliczenia wykonywane są dla pomiaru 1 w serii 1):

$$Q = \frac{V}{t}$$

Gdzie:

Q – natężenie przepływu cieczy mierzone w $\left\lbrack \frac{m^{3}}{s} \right\rbrack$

V – objętość cieczy mierzona w [m³]

t – czas mierzony w [s]

$Q = \frac{0,0001590}{8,19} = \ 0,00001941$ $\left\lbrack \frac{m^{3}}{s} \right\rbrack$

Korzystając ze wzoru na Q wyliczono prędkość przepływu wody υ:

$$Q = \frac{\pi{\bullet D}^{2}}{4} \upsilon$$

$$\upsilon = \frac{4 \bullet Q}{\pi{\bullet D}^{2}}$$

$$\left\lbrack \upsilon \right\rbrack = \frac{1 \bullet \frac{m^{3}}{s}}{1{\bullet m}^{2}} = \left\lbrack \frac{m}{s} \right\rbrack$$

Gdzie:

D - średnica przewodu mierzona w [m]

$$\upsilon = \frac{4 \bullet 0,00001941}{\pi{\bullet (20 \bullet 10^{- 3}\ )}^{2}} = \ 0,06180\left\lbrack \frac{m}{s} \right\rbrack$$

Jako że strumień wody w poszczególnych seriach podczas mierzenia nie ulegał zmianom, obie prędkości powinny być do siebie zbliżone. Wyliczono prędkość średnią dla pierwszej serii korzystając ze wzoru na średnią arytmetyczną:

$$u = \ \frac{\sum_{i = 1}^{n}{\upsilon i}}{n}$$

$$u = \ \frac{0,06180 + 0,05824}{2} = 0,06002\ \left\lbrack \frac{m}{s} \right\rbrack$$

Korzystając ze wzoru na liczbę Reynoldsa jesteśmy w stanie ją wyliczyć:

$$Re = \frac{\upsilon D}{\nu}$$

$\left\lbrack \text{Re} \right\rbrack = \ \frac{\frac{m}{s} \bullet \bullet m}{\frac{m^{2}}{s}} = \lbrack - \rbrack$

$$Re = \frac{0,06180 20 10^{- 3}}{1,142 \bullet 10^{- 6}} = 1082,28\ \lbrack - \rbrack$$

Korzystając ze średniej arytmetycznej określono dolną krytyczną liczbę Reynoldsa:

$$Re = \ \frac{\sum_{i = 1}^{n}{\text{Re}i}}{n}$$

$$\text{Re} = \ \frac{1082,28 + 1019,99 + 830,55 + 842,17 + 886,89 + 861,56 + 831,15 + 818,89}{8} = \ 896,68\ \lbrack - \rbrack$$

Wszelkie wyniki obliczeń znajdą się w tabeli nr 4

Średnica przewodu: 20·10^-3 m
Przejście z ruchu laminarnego w turbulentny
Nr serii pomiarowej
1
2
3
4

Tabela nr 5: Wyniki wszystkich dokonanych obliczeń zestawione w jednym miejscu.

Wyliczono niepewność pomiarową natężenia przepływu cieczy korzystając ze wzoru:

$$\text{ΔQ} = \ \left| \frac{\partial Q}{\partial V} \right| \bullet V + \left| \frac{\partial Q}{\partial t} \right| \bullet t = \left| \frac{1}{t} \right| \bullet V + \left| V \bullet \left( - \frac{1}{t^{2}} \right) \right| \bullet t$$

$$\text{ΔQ} = \left| \frac{1}{8,19} \right| \bullet {0,01}^{3} + \left| 0,0001590 \bullet \left( - \frac{1}{{8,19}^{2}} \right) \right| \bullet 0,01 = 0,0000001\left\lbrack \frac{m^{3}}{s} \right\rbrack$$

Wyliczono niepewność pomiarową prędkości korzystając ze wzoru:

$$\Delta\upsilon = \ \left| \frac{\partial\upsilon}{\partial Q} \right| \bullet Q + \left| \frac{\partial\upsilon}{\partial D} \right| \bullet D = \left| \frac{4}{\pi \bullet D^{2}} \right| \bullet Q + \left| \frac{4 \bullet Q}{\pi} \bullet \left( - \frac{2}{D^{3}} \right) \right| \bullet D$$

$$\Delta\upsilon = \left| \frac{4}{\pi \bullet {0,02}^{2}} \right| \bullet 0,0000001 + \left| \frac{4 \bullet 0,00001941}{\pi} \bullet \left( - \frac{2}{{0,02}^{3}} \right) \right| \bullet 0 = 0,0005\left\lbrack \frac{m}{s} \right\rbrack$$

Wyliczono niepewność pomiarową liczby Reynoldsa korzystając ze wzoru:

$$\Delta\text{Re} = \ \left| \frac{\partial Re}{\partial\upsilon} \right| \bullet \upsilon + \left| \frac{\partial Re}{\partial\nu} \right| \bullet \nu + \left| \frac{\partial Re}{\partial D} \right| \bullet D = \left| \frac{D}{\nu} \right| \bullet \upsilon + \left| D \bullet \upsilon \bullet \left( - \frac{1}{\nu^{2}} \right) \right| \bullet \nu + \left| \frac{\upsilon}{\nu} \right| \bullet D$$

$$\Delta\text{Re} = \left| \frac{0,02}{1,142 \bullet 10^{- 6}} \right| \bullet 0,0005 + \left| 0,02 \bullet 0,06180 \bullet \left( - \frac{1}{({1,142 \bullet 10^{- 6})}^{2}} \right) \right| \bullet 0 + \left| \frac{0,06180}{1,142 \bullet 10^{- 6}} \right| \bullet 0 = 8,13\ \lbrack - \rbrack$$

Średnica przewodu: 20·10^-3 m
Przejście z ruchu laminarnego w turbulentny
Nr serii pomiarowej
1
2
3
4

Tabela nr 5: Policzone niepewności pomiarowe dla każdego pomiaru.

Wnioski