Temat: Tematem zadania jest identyfikacja obiektu dwuwejściowego przedstawionego schematycznie na rysunku. Transmitancje Gu(s) i Gz(s) opisują obiekty RLC lub RC. Dana jest rezystancja toru głównego R_u=90 [Ω] oraz rezystancja zakłócenia R_z=1000 [Ω]

z – zakłócenie w postaci szumu o rozkładzie normalnym, lub skok jednostkowy;

u – wejście obiektu w postaci szumu o rozkładzie równomiernym lub skok jednostkowy;

y – wyjście obiektu

1. Wyznaczenie transmitancji układów RLC oraz RC:

1. Układ RLC:

Korzystając z II prawa Kirchhoffa:

Stosując transformatę Laplace’a otrzymujemy:

Transmitancja układu wynosi:

ω₀ – częstotliwość drgań własnych; - bezwzględny współczynnik tłumienia

1. Układ RC:

Korzystając z II prawa Kirchhoffa:

Stosując transformatę Laplace’a otrzymujemy:

Transmitancja układu wynosi:

- obiekt inercyjny I rzędu

1. Identyfikacja parametrów modelu na podstawie odpowiedzi skokowej:

Metodyka wyznaczenia transmitancji modelu:

1. Potrzebne wzory:

Mając δ i ω₀ możemy wyznaczyć transmitancję układu z wzoru:

Zidentyfikowana transmitancja:

1. Identyfikacja parametrów obiektu na podstawie odpowiedzi impulsowej:

Z odpowiedzi impulsowej wyznaczamy krzywą Nyquista poprzez przekształcenie Fouriera. Następnie na podstawie znalezionych ω₁ i ω₂ wyliczamy współczynniki transmitancji.

Aby obliczyć transmitancję z charakterystyki amplitudowo – częstotliwościowej musimy wyliczyć ω₁ i ω₂. Oblicza się to z wzoru:

Częstotliwość f dla określonej omegi obliczymy: , gdzie np. jest to numer próbki przy której występuje szukana omega.

Wiadomo, że ω₂ występuje dla Re≈0, więc szukam w tablicy takiej próbki, dla której ten warunek jest spełniony. W naszym przypadku jest to próbka nr 307.

Drugą omege znajduje się na podstawie tego, że leży ona w miejscu przecięcia prostej nachylonej do osi Re pod kątem 45⁰ i przechodzi przez punkt (0,0) oraz przecina charakterystykę. Stąd wiemy, że wartości Re oraz Im muszą być sobie w przybliżeniu równe. W naszym przypadku spełnia to próbka numer 280.

Przyrost częstotliwości df obliczamy z wzoru , gdzien N_s to długość wektora Mod I transmitancji widmowej.

ModI=Pxy/Pxx

Transmitancja układu ma postać:

Gdzie:

Transmitancja wyliczona dla danych wynosi:

1. Identyfikacja parametrów modelu obiektu SISO:

Sygnał wejściowy u (sygnał losowy), sygnał wyjściowy y. Wyznaczam współczynniki modelu na podstawie funkcji gęstości widmowych mocy własnej i wzajemnej.

Funkcje gęstości widmowej mocy wyznaczamy na podstawie przekształceń Fouriera procesów czasowych u(t) oraz y(t).

Obliczamy gęstości widmowe własne:

Oraz wzajemne:

Następnie wyznaczamy charakterystykę Nyquista:

Mając już tą charakterystykę możemy wyznaczyć transmitancję modelu w taki sam sposób jak w poprzednim punkcie.

Wyliczona transmitancja:

1. Identyfikacja parametrów modelu obiektu MISO:

Należy wyznaczyć współczynniki transmitancji metodą gęstości widmowych mocy własnej i wzajemnej.

Wzory z których korzystam:

Transmitancje widmowe toru głównego oraz toru zakłócenia :

Gdzie:

S_zz, S_uu – funkcje gęstości widmowej mocy własne dla sygnałów u i z

S_zy, S_uy – funkcje gęstości widmowej mocy wzajemne dla sygnałów u i y oraz z i y

S_uz, S_zu – funkcje gęstości widmowej mocy wzajemne dla sygnałów u i z

Z transmitancji widmowych możemy wykreślić charakterystyki amplitudowo – fazowe a mając je wyznaczyć transmitancje obiektu.

Wyliczona transmitancja dla toru głównego:

Porównanie odpowiedzi skokowych modelu rzeczywistego oraz wyliczonego:

Wyliczona transmitancja dla toru zakłócenia:

1. Identyfikacja metodami parametrycznymi (System Identification Toolbox):

1. Dla układu SISO wyznaczyć transmitancję metodami ARX, IV, ARMAX, OE, BJ

Otrzymane estymacje modelu wskazanymi metodami:

Z otrzymanych estymacji wybieram metodę BJ i przyjmuję ją do wyliczenia transmitancji modelu:

Otrzymana transmitancja:

1. Dla układu MISO wyznaczyć transmitancję metodami ARX, IV, ARMAX, OE, BJ:

Otrzymane estymacje modelu wskazanymi metodami:

Z otrzymanych estymacji wybieram metodę BJ i przyjmuję ją do wyliczenia transmitancji modelu:

Otrzymana transmitancja toru głównego:

Wyliczona transmitancja dla toru zakłócenia:

8. WNIOSKI:

Można zauważyć, że wyniki otrzymane różnymi metodami różnią się od siebie niewiele. Z porównania charakterystyk skokowych wydaje się, że najdokładniej model został zidentyfikowany przy pomocy narzędzia IDENT z wczytanym wejściem zakłócającym. Pewna trudność wystąpiła w przypadku korzystania z metody gęstości widmowej mocy dla obiektu MISO, gdyż charakterystyki Nyquista tych modeli okazywały się dość poszarpane i ciężko było znaleźć odpowiednie punkty ω₁ i ω₂.

Dla modeli SISO metoda gęstości widmowej mocy oraz metoda odpowiedzi skokowej oraz impulsowej wykazywały podobny, niewielki poziom błędu. Metoda pierwsza mimo, że dużo bardziej skomplikowana, dane wprowadzane nie są do końca dokładne (odczytywanie z tablicy wartości) oraz na wejście do układu podajemy szum biały (sygnał losowy), to wynik tej metody jest dokładny. Metoda skoku jednostkowego charakteryzuje się dużą prostotą oraz małym nakładem obliczeń. Jednak aby korzystać z tej metody musimy mieć odpowiedź modelu na skok jednostkowy.