Sprawozdanie z zadania nr 19 – zaawansowane
Dama trefl

opracował Tomasz Spyra

Treść zad. 19 - zaawansowane. Dana jest pełna talia 52 kart od 2 (dwójek) do A (asów) we wszystkich czterech kolorach. Załóżmy, ze talie potasowano, a następnie rozpoczęto odkrywanie kart, jedna po drugiej.
1. Jaki jest średni koszt (tj. liczba odkrytych kart) natrafienia na damę ♣ trefl?
2. Jaki jest średni koszt natrafienia na damę ♣ trefl, jeśli wiadomo, ze pierwszych 13 kart jest w kolorze ♣ lub ♠?

Zdarzenie elementarne ω – wyciągnięcie jednej dowolnej karty np. {‘As ♥’}
(Wiki) Pojedynczy element ω ϵ Ω zbioru zdarzeń elementarnych to zdarzenie elementarne,
natomiast jednoelementowy podzbiór zbioru zdarzeń elementarnych {ω} ϵ Ω  to już zdarzenie losowe.

Zmienna dyskretna X (zmienna losowa X) – jest funkcją ze skończonej lub przeliczalnej przestrzeni zdarzeń Ω w zbiór liczb rzeczywistych. Przyporządkowuje ona liczbę rzeczywistą, każdemu możliwemu wynikowi doświadczenia, co pozwala nam operować indukowanym rozkładem prawdopodobieństwa na zbiorze liczb.
Dla zmiennej losowej X i liczby rzeczywistej x definiujemy zdarzenie X = x jako { ω ϵ Ω ω: X(ω) = x }; zatem

$$Pr\{ X = x\}\sum_{\{ x \in \Omega:X\left( \omega \right) = x\}}^{}{Pr\{\omega\}}$$

Def. (Wiki) Zmienną losową (rzeczywistą) na przestrzeni probabilistycznej ( Ω, F, μ)  nazywamy dowolną rzeczywistą funkcję mierzalną (inaczej zmienną losową) [KSI]
Przestrzeń probabilistyczna (mierzalna) ( Ω, F, μ)  to uporządkowana trójka, gdzie  jest σ-ciałem podzbiorów Ω, a eń  jest σ-addytywną miarą

Przestrzeń zdarzeń (przestrzeń losowa) Ω jest 52 zdarzeń elementarnych=
{ ‘2 ♥’, ‘2 ♠’ , ‘2 ♦’, ‘2 ♣’, ‘3 ♥’, ‘3 ♠’, … ,’As ♥’,’As ♠’,’As ♦’,’As ♣’};
Przyjmujemy, że prawdopodobieństwo rozkładu jest jednakowe
więc każde zdarzenie elementarne ωϵΩ jest jednakowo prawdopodobne: Pr{ ω } = 1/52

Zmienną losową X – jest liczba otwartych kart
gdzie poszukiwana jest ‘Q ♣’ Pr{X=’Q ♣’}=1/52;

Wartość oczekiwana zmiennej losowej – średni wynik jakiegoś losowania; suma iloczynów wartości tej zmiennej losowej oraz prawdopodobieństw, z jakimi są one przyjmowane $E\left( X \right) = \ \sum_{\omega \in \Omega}^{}{X\left( \omega \right)*P\left( \left\{ \omega \right\} \right)}$

1. część

Rozmiar danych – liczba wszystkich możliwych odkryć; Liczba operacji – liczba porównań wszystkich możliwych odkryć;

A – zdarzenie, że Q ♣ znalazła się prawdopodobieństwo natrafienia na Q ♣ to p-o P(A) = 1/52;

1 krok – liczba odkrytych kart 1 * P(A); 2 krok 2 * P(A) … ; 52 krok 52 * P(A)

E(X)=(1/52)*1 + (1/52)*2 + (1/52)*3 + … + (1/52)*52 =

$\sum_{i = 1}^{52}{i*\frac{1}{52}} = \frac{1}{52}\sum_{i = 1}^{52}i\ \frac{1}{52}*\frac{\left( 1 + a_{n} \right)a_{n}}{2}\frac{1}{52}*\ \frac{\left( 1 + 52 \right)52}{2}\ \frac{53}{2} = 26,5$

1. część

$$E\left( X + Y \right) = \ \sum_{\omega \in \Omega}^{}{X + Y\left( \omega \right)*P\left( \left\{ \omega \right\} \right)} = \sum_{\omega \in \Omega}^{}{\left\lbrack X\left( \omega \right) + Y\left( \omega \right) \right\rbrack*P\left( \left\{ \omega \right\} \right) = prawo\ rozdzielnosci = \ \sum_{\omega \in \Omega}^{}{X\left( \omega \right)*P\left( \left\{ \omega \right\} \right) + \ \sum_{\omega \in \Omega}^{}{Y\left( \omega \right)*P\left( \left\{ \omega \right\} \right) = E\left( X \right) + \ E(Y)}}\ }$$

A – zdarzenie, że Q ♣ znalazła się w pierwszych 13 kartach P(A) = ½;

B – wystąpienie Q ♣ na i-tej pozycji w pierwszych 13 kartach P(B(A)) = $\frac{1}{13}$;

Wzór na prawdopodobieństwo warunkowe

$$P\left( B\left( A \right) \right) = \frac{P\left( A \cap B\ \right)}{P\left( A \right)}P\left( A \cap B\ \right) = P\left( B\left( A \right) \right)*\ P\left( A \right) = \frac{1}{13}*\frac{1}{2} = \frac{1}{26}$$

A₁ - zdarzenie, że Q ♣ nie znalazła się w pierwszych 13 kartach; P(A₁)= ½;

B₁ – wystąpienie Q ♣ na i-tej pozycji w kartach od 14 do 52; P(B₁(A₁))=$\frac{1}{39}$;

$$P\left( B_{1}\left( A_{1} \right) \right) = \frac{P\left( A_{1} \cap B_{1}\ \right)}{P\left( A_{1} \right)}P\left( A_{1} \cap B_{1}\ \right) = P\left( B_{1}\left( A_{1} \right) \right)*\ P\left( A_{1} \right) = \frac{1}{13 + 26}*\frac{1}{2} = \frac{1}{78}$$

$$\sum_{i = 1}^{13}{i*\frac{1}{26}P\left( A \cap B\ \right)} + \ \sum_{i = 14}^{52}{i*\frac{1}{78}}\ P\left( A_{1} \cap B_{1}\ \right)$$

$$\text{gdzie}\left\{ \sum_{i = 14}^{52}{i*\frac{1}{78}}\ P\left( A_{1} \cap B_{1}\ \right) \right\} = \ \sum_{i = 1}^{52}{i*\frac{1}{78}}\ P\left( A_{1} \cap B_{1}\ \right)\ \sum_{i = 1}^{13}{i*\frac{1}{78}}\ P\left( A_{1} \cap B_{1}\ \right)\ $$

$$\left\{ \sum_{i = 14}^{52}{i*\frac{1}{78}}\ P\left( A_{1} \cap B_{1}\ \right) \right\} = \ \left( \frac{1}{78}*\frac{52*53}{2} \right) - \left( \frac{1}{78}*\frac{13*14}{2} \right) = \ \frac{106}{6} - \ \frac{7}{6} = 16,5$$

$$\sum_{i = 1}^{13}{i*\frac{1}{26}P\left( A \cap B\ \right)} + \ \left\{ \sum_{i = 14}^{52}{i*\frac{1}{78}}\ P\left( A_{1} \cap B_{1}\ \right) \right\} = \ \frac{1}{26}\left( \frac{13*14}{2} \right) + \ \left\{ 16,5 \right\} = 3,5 + \left\{ 16,5 \right\} = 20$$

Sprawozdanie z zadania nr 22 – zaawansowane
Gra z dwiema kostkami

opracował Tomasz Spyra

Treść zad. 22 - zaawansowane.
Rozważmy grę hazardową, w której zaczynasz z pulą 0 złotych i rzucasz dwiema kostkami do gry. Jeśli wypadnie para różnych liczb oczek, to tracisz 1 złoty. Jeśli wypadnie jeden z dubletów: { (1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6) } to wygrywasz – odpowiednio – 1, 2, 3, 4, 5, 6 złotych.
Jaka jest wartość średnia puli po n rzutach ?

Rozwiązanie
Zdarzenie elementarne ω – wylosowanie dowolnej pary np. {(1,1)}
Przestrzeń zdarzeń (przestrzeń losowa) Ω jest 36 zdarzeń elementarnych=
{ (1,1),(1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2)…. (6,5), (6,6)};
gdzie wartość zmiennej losowej wynosi odpowiednio:
Zmienne losowe
X₁ (1,1) := 1zł;
X₂ (2,2) := 2zł;
X₃ (3,3) := 3zł;
X₄ (4,4) := 4zł;
X₅ (5,5) := 5zł;
X₆ (6,6) := 6zł;
X₀ (a,b) := -1zł; gdzie: a≠b, 1≤a≤6 ʌ 1≤b≤6

A- rzut pierwszą kostką; B – rzut drugą kostką;
P(A) = 1/6; P(B) = 1/6;
Na mocy niezależności
$P\left( X_{1} \right) = P\left( \{ 1,1\} \right) = \ P\left( A\ \cap B \right) = P\left( A \right)*P\left( B \right) = \frac{1}{6}*\frac{1}{6} = \frac{1}{36}$
analogicznie liczone są P({2,2}), P({3,3}), P({4,4}), P({5,5}), P({6,6})

Przypadków trafienia (zdarzenie {X₁..X₆}) wygranej jest więc 6 { (1,1) , (2,2) , (3,3) , (4,4) , (5,5) , (6,6) }
Możliwości nie trafienia pary jest na wszystkie 36 możliwości odjąć należy 6 przypadków, co daje wynik 30.
Prawdopodobieństwo nietrafienia (zdarzenie X₀)wynosi więc 30/36 = P(X₀)=5/6

Wartość średnia (oczekiwana) ze wzoru $E\left( X \right) = \ \sum_{\omega \in \Omega}^{}{X\left( \omega \right)*P\left( \left\{ \omega \right\} \right)}$
po pierwszym rzucie więc wartość średnia wynosi:
E(X) = X₀ * P(X₀) + X₁ * P(X₁) + X₂ * P(X₂) + X₃ * P(X₃) + X₄ * P(X₄) + X₅ * P(X₅) + X₆ * P(X₆) =
5/6 * (-1zł) + 1/36 * 1zł + 1/36 * 2zł + 1/36 *3zł + 1/36 * 4zł + 1/36 *5zł + 1/36 * 6zł = -5/6 + 1/36 + 2/36 + 4/36 + 4/36 + 5/36 + 6/36 = -5/6 + 22/36 = -30/36 + 21/36 = -9/36 = -0,25
Odp.
Przy n rzutach będzie to wynik: -0,25*n