Politechnika Warszawska

PODSTAWY KONSTRUKCJI URZĄDZEŃ PRECYZYJNYCH

Projekt 2

Temat nr ZNL-11

Zespół napędu liniowego

Obliczenia konstrukcyjne sprawdzające

Wykonał: Michał Leszczyński, gr. 22

Prowadzący: dr inż. Jan Jedliński

Warszawa 2011/2012

1. Przekładnie zębate

Zastosowany zostanie zarys bez luzu obwodowego. Parametry takiego zarysu

s− grubość zęba, s = 0, 5 • π • m

m− moduł uzębienia

w− szerokość wrębu, w = s;

y− współczynnik wysokości głowy, y = 1;

u− współczynnik wysokości stopy, u = 1, 4;

α− nominalny kąt zarysu, α = 20.

1. Liczba zębów na kołach zębatych

Liczba zębów na kołach dobrana została na podstawie obliczonego (w części I obliczeń konstrukcyjnych) przełożenia przekładni sprzęgającej

$$\frac{z_{2}}{z_{1}} = i_{\text{sp}} = 2,16 \approx 2,2$$

gdzie
z₁− liczba zębów zębnika;

z₂− liczba zębów kola zębatego;
i_sp− przełożenie stopnia sprzęgającego.

Graniczną liczbą zębów (z_gr) nazywamy iloraz podwojonej wartości współczynnika wysokości głowy oraz kwadratu sinusa nominalnego kąta zarysu.

$$z_{\text{gr}} = \ \frac{2 \bullet y}{\sin^{2}(20)} = \frac{2 \bullet 1}{{0,34}^{2}} = 17$$

Minimalna liczba zębów (z_min) jest to najmniejsza liczba zębów możliwa do wykonania ze względu na zaostrzenie wierzchołka. Dla zarysu bez luzu obwodowego wynosi 8.

z_min < z₁ < z_g

8 ≤ z₁ < 17

Na podstawie tego dobrana zostaje następująca liczba zębów

z₁ = 15

z₂ = 33

$$\frac{z_{2}}{z_{1}} = \frac{33}{15} = 2,2$$

1. Przyjęcie modułu uzębienia oraz średnic kół zębatych

Średnica kół zębatych zależy od przyjętego modułu uzębienia.

d₁ = m • z₁

d₂ = m • z₂

gdzie
d₁ −  średnica podziałowa zębnika;

d₂− średnica podziałowa koła zębatego;

Odległość między osiami kół musi być odpowiednio duża tzn. większa od minimalnej - a₀ , aby możliwe było zamontowanie silnika (średnica silnika wynosi 19mm, a reduktora – d_red = 22 mm). Przyjąłem m = 0, 8. Dzięki temu odległość między osiami kół (a₀) wynosi:

d₁ = 0, 8 • 15 = 12 mm

d₂ = 0, 8 • 33 = 26, 4 mm

a₀ = 0, 5 • (d₁+d₂) = 0, 5 • (12+26,4) = 19, 2 mm

Pozwoli to na swobodne zamontowanie silnika, gdyż $a_{0} > \frac{d_{\text{red}} + d_{\text{nakr}}}{2} = \frac{22 + 8}{2} = 15$ (przyjąłem d_nakr = d_pop + 3mm = 8mm).

d_red - średnica reduktora;

d_nakr - średnica nakrętki;

d_pop - średnica popychacza – 5mm;

1. Korekcja uzębienia i zazębienia

   1. Korekcja uzębienia

W związku z tym, że liczba zębów na zębniku jest mniejsza niż liczba graniczna, wymagana jest korekcja technologiczna zębów – przesunięcie zarysu uzębienia poprzez przesunięcie narzędzia. Następuje wtedy:

– głowa zęba zostaje wydłużona o wielkość xm,;

– stopa zęba zostaje skrócona o wielkość xm;

– całkowita wysokość zęba nie ulega zmianie;

Wielkość x jest współczynnikiem przesunięcia zarysu opisanym wzorem

$$x = y \bullet \frac{z_{g} - z_{1}}{z_{g}} = \frac{17 - 15}{17} = 0,12$$

Przesunięcie zarysu (X) obliczamy ze wzoru:

X₁ = x • m = 0, 12 • 0, 8 = 0, 1 mm

Po korekcji otrzymamy następujące wymiary koła zębatego:

- średnica stóp:

d_f1 = m • (z₁−2u+2x) = 0, 8 • (15−2•1,4+2•0,12) = 8, 77 mm

- średnica wierzchołków:

d_a1 = m • (z₁+2y+2x) = 0, 8 • (15+2•1+2•0,12) = 13, 79 mm

- średnica zasadnicza:

d_b1 = m • z₁ • cosα = 0, 8 • 15 • cos20 = 11, 3 mm

- średnica podziałowa pozostaje bez zmian.

1. Korekcja zazębienia P-0

Poprzez taki rodzaj korekcji:

- odległość osi zębnika i koła zębatego pozostaje taka sama jak przed korektą zębnika;

- w kole zębatym stosuje się korekcję ujemną, a w zębniku korekcję dodatnią;

X₂ = −X₁ a stąd: x₂ = −x₁, bo m₁ = m₂;

Korekcja typu P-0 możliwa jest tylko wówczas, gdy spełniony jest warunek:

z₁ + z₂ ≥ 2z_g

15 + 33 ≥ 34

Wymiary po korekcji większego koła zębatego (średnica podziałowa pozostaje bez zmian):

d_f2 = m • (z₂−2u−2x) = 0, 8 • (33−2•1,4−2•0,12) = 23, 97 mm

d_a2 = m • (z₂+2y−2x) = 0, 8 • (29+2•1−2•0,41) = 27, 81 mm

d_b1 = m • z₂ • cosα = 0, 8 • 33 • cos20 = 24, 81 mm

1. Obliczenia wytrzymałościowe

   1. Wstępne obliczenie modułu koła

Poniższy wzór na moduł koła zębatego określa jego minimalną wymaganą wartość z:

$$m = 1,26 \bullet \sqrt[3]{\frac{M \bullet q}{\psi \bullet z \bullet k_{g}}}$$

gdzie

M− moment działający na dane koło zębate; dla większego koła będzie to moment sprzęgła przeciążeniowego, a dla zębnika będzie to

$$M = \frac{M_{\text{sp}}}{i_{\text{sp}} \bullet \eta_{\text{sp}}} = \frac{71,9}{2,2 \bullet 0,9} = 36,3\ \text{mNm}$$

q− współczynnik kształtu zęba (wartości odczytane lub interpolowane z wykresu nr1);

$\psi = \frac{b}{m}\ -$ (b− szerokość wieńca) zalecana wartość dla kół drobnomodułowych 4 ÷ 6, przyjmuję 6 dla zębnika i 4 dla koła, by zębnik był szerszy do koła zębatego;

k_g− dopuszczalne naprężenia zginające (potrzebne wartości Rm odczytano z tablicy nr1 str.6);

Dla stali C45:

$$k_{g} = \frac{z_{\text{gj}}}{2} = \frac{260}{2} = 130\ MPa$$

Wykres nr1.

A więc dla kół zębatych przyjętych w projekcie:

$$m_{1} = 1,26 \bullet \sqrt[3]{\frac{36,3 \bullet 3,4}{6 \bullet 15 \bullet 130}} = 0,27\ \text{mm}$$

$$m_{2} = 1,26 \bullet \sqrt[3]{\frac{71,9 \bullet 2,8}{4 \bullet 33 \bullet 130}} = 0,28\ \text{mm}$$

Wartości m₁ i m₂ są mniejsze od przyjętej na początku wartości m=0,8, a więc m = 0, 8 jest bezpieczny ze względów wytrzymałościowych.

1. Sprawdzenie nacisków powierzchniowych (według Herza)

Maksymalne naprężenie ściskające, gdy zębnik i koło zębate wykonane jest ze stali, wyraża się wzorem:

$\sigma_{H\ \max} = \sqrt{\frac{1,4 \bullet E_{1} \bullet E_{2}}{\left( E_{1} + E_{2} \right) \bullet \sin 2\alpha}} \bullet \sqrt{\frac{P_{\text{obl}}}{b_{2} \bullet d_{1}} \bullet \left( \frac{\left( 1 + i \right)}{i} \right)}$

gdzie E₁ = E₂ = 2 • 10⁵MPa

Oznaczając:

$C_{\text{mα}} = \sqrt{\frac{1,4 \bullet E_{1} \bullet E_{2}}{\left( E_{1} + E_{2} \right) \bullet \sin 2\alpha} =}\sqrt{\frac{1,4 \bullet {(2 \bullet 10^{5})}^{2}}{2 \bullet 2 \bullet 10^{5} \bullet sin(2 \bullet 20)} =}466,7$

otrzymamy:

$$\sigma_{H\ \max} = C_{\text{mα}} \bullet \sqrt{\frac{P_{\text{obl}}}{b_{2} \bullet d_{1}} \bullet \left( \frac{\left( 1 + i \right)}{i} \right)} = 466,7 \bullet \sqrt{\frac{P_{\text{obl}}}{b_{2} \bullet d_{1}} \bullet \left( \frac{\left( 1 + i \right)}{i} \right)}$$

Pod uwagę wzięta będzie większa wartość z obliczonych P_obl dla zębnika i koła zębatego:

$$P_{\text{obl}} = \frac{2M}{d} \bullet K_{p} \bullet K_{d} \bullet K_{r}$$

$$P_{\text{obl}\ 1} = \frac{2 \bullet 71,9}{12} \bullet 1,5 \bullet 1,2 \bullet 1,1 = 23,7\ N$$

$$P_{\text{obl}\ 2} = \frac{2 \bullet 29,7}{26,4} \bullet 1,5 \bullet 1,2 \bullet 1,1 = 10,8\ N$$

P_obl 1 > P_obl21

gdzie

K_p− współczynnik przeciążenia (K_p = 1, 5);

K_d− współczynnik nadwyżek dynamicznych (K_d = 1, 2);

K_r− współczynnik nierównomiernego rozkładu obciążenia na szerokości zęba (K_r = 1, 1).

A więc maksymalne naprężenia wynoszą:

b = ψ • m = 4 • 0, 8 = 3, 2

$\sigma_{H\ \max} = 478,2 \bullet \sqrt{\frac{23,7}{3,2 \bullet 12} \bullet \left( \frac{\left( 1 + 2,2 \right)}{2,2} \right)} = 452,1\ \text{MPa}$ - obliczenia dla stali

Muszą być one mniejsze od dopuszczalnych nacisków powierzchniowych (k_h) dla zastosowanego materiału. Stal C45 będzie odpowiednim materiałem na koła zębate (k_h dla stali C45 mieści się w przedziale 230-540 MPa).

1. Dobór parametrów sprężyny sprzęgła przeciążeniowego

Rysunek 1. Schemat sprzęgła przeciążeniowego: 1 – tarcza nieruchoma, 2 – koło zębate osadzone obrotowo na nakrętce, 3 – ruchoma tarcza sprzęgła, 4 – sprężyna naciskowa, L_k – długość końcowa sprężyny, P_k- siła pochodząca od sprężyny dociskająca tarcze sprzęgła, D - średnia średnica sprężyny, d₁ - większa średnica sprzęgła, d₂ - mniejsza średnica sprzęgła.

1. Siła sprężyny dociskającej sprzęgło

Sprężyna musi działać taką siłą, aby wywołać moment tarcia, między kołem zębatym i sprzęgłem przeciążeniowym, niemniejszy niż wynikający z obliczeń moment M_t. Moment M_t musi być zaś odpowiednio większy od momentu nakrętki:

M_t = 1, 5 • M_nut = 1, 5 • 55, 28 = 82, 9 mNm

$$M_{t} = 0,5 \bullet P_{k} \bullet \mu \bullet d_{\text{sp}} \bullet n_{\text{pt}}\ \Rightarrow P_{k} = \frac{2 \bullet M_{t}}{\mu \bullet d_{\text{sp}} \bullet n_{\text{pt}}}$$

gdzie

μ− współczynnik tarcia materiału tarczy sprzęgłowej i koła zębatego;

d_sp− średnia średnica powierzchni ciernych sprzęgła, d_sp = 0, 5(d₁ + d₂);

n_pt− liczba par powierzchni trących.

Dla zespołu stal-stal bez smarowania, zastosowanego do konstrukcji, współczynnik tarcia ślizgowego statycznego μ = 0, 6(wg. patrz literatura pozycja nr 3). Liczba par trących wynosi 2. Aby siła była możliwie mała, należy zwiększyć w granicach możliwości konstrukcyjnych parametr d_sp. W tym celu d₁ będzie mniejsze od średnicy stóp koła zębatego o ok. 3 mm, a d₂ mniejsza od d₁ o 3 mm.

d₁ = 21 mm d₂ = 18 mm

d_sp = 0.5 • (d₁+d₂) = 0.5 • (21+18) = 19, 5 mm

Stąd:

$$P_{k} = \frac{2 \bullet 82,9}{0,6 \bullet 19,5 \bullet 2} = 7,1\ N$$

1. Obliczenia sprężyny

Wymaganiem dla sprężyny jest zadanie wyznaczonej siły oraz wartość długości końcowej. Stąd obliczenia przeprowadzone będą w następujący sposób dla danych:

P_k = 7, 1N

L_k = 4 mm

Kolejne obliczenia	Zależność	Wybrane lub wyliczone wartości
Przyjęcie średnicy sprężyny D	-	D = 16 mm
Założenie wskaźnika sprężyny	6 < w < 12	w = 9
Wyznaczenie współczynnika Ksr	$$K_{\text{sr}} = 1 + \frac{5}{4}\left( \frac{1}{w} \right) + \frac{7}{8}\left( \frac{1}{w} \right)^{2} + \left( \frac{1}{w} \right)^{3}$$	Ksr = 1, 15
Przyjęcie dopuszczalnych naprężeń na skręcanie ks	τmax = ks	ks = 600 MPa
Obliczenie średnicy drutu d	$$d' = \sqrt[3]{\frac{8 \bullet P_{k} \bullet D \bullet K_{\text{sr}}}{\pi \bullet k_{s}}}$$	$$d^{'} = \sqrt[3]{\frac{8 \bullet 7,1 \bullet 16 \bullet 1,15}{\pi \bullet 600}} = 0,82\ \text{mm}$$ d = 0, 85 mm Wg normy PN-EN 10270-1:2004
Przyjęcie liczby zwojów biernych zn	zn = 1, 5 ÷ 2	z = 2
Obliczenie liczby zwojów czynnych zc	$$z_{c} \leq 0,9\left( \frac{L_{k}}{d} - z_{n} \right)$$	$$z_{c} \leq 0,9\left( \frac{4}{0,85} - 2 \right) = 2,43$$ zc = 2, 5  ^2)
Obliczenie całkowitej liczby zwojów z	z = zn + zc	z = 2 + 2, 5 = 4, 5
Obliczenie całkowitej strzałki ugięcia fk	$$f_{k} = \frac{8 \bullet P_{k} \bullet z_{c} \bullet D^{3}}{G \bullet d^{4}}$$ G = 8 • 10^4 MPa (G − modul Kirchoffa)j	$$f_{k} = \frac{8 \bullet 7,1 \bullet 2,5 \bullet 16^{3}}{80000 \bullet {0,85}^{4}} = 13,9\ \text{mm}$$
Przyjęcie rodzaju zakończenia sprężyny	p = −0, 5  - dla sprężyn o zwojach przyłożonych i szlifowanych	p = −0, 5
Obliczenie długości zblokowanej sprężyny Lbl	Lbl = (z + p)•d	Lbl = (4,5−0,5) • 0, 7 = 2, 8 mm
Obliczenie długości swobodnej sprężyny L0	L0 = Lk + fk	L0 = 4 + 13, 9 = 17, 9 mm

Rysunek 2. Charakterystyka sprężyny.d

Charakterystyka sprężyny naciskowej. P – siła obciążenia sprężyny, f – strzałka ugięcia sprężyny.

1. Wyznaczenie trwałości łożyska tocznego nakrętki

Rysunek 2. Schemat łożyskowania nakrętki: A – łożysko z całkowicie ustalonymi pierścieniami, B – łożysko ustalone przesuwnie, P_wA− siła osiowa, równa zadanemu obciążeniu popychacza, P_n− siła międzyzębna, P_pA, P_pB− reakcje promieniowe w łożyskach.

1. Obciążenia łożysk tocznych

Rysunek 3. Schemat ułożyskowania nakrętki, jako belki statycznie wyznaczalnej.

Obciążenie poprzeczne łożysk wynika z oddziaływania siły międzyzębnej (P_n) w przekładni zębatej sprzęgającej:

$$P_{n} = \frac{2 \bullet M_{\text{nut}}}{m \bullet z_{2} \bullet \text{cosα}} = \frac{2 \bullet 55,28}{0,8 \bullet 33 \bullet cos20} = 4,46\ N$$

Siła ta wywołuje reakcje w łożyskach, proporcjonalnie do odległości od łożysk w jakich zostanie przyłożona. Z równań równowagi statycznej po przekształceniach można otrzymać:

$P_{\text{pA}} = \frac{P_{n}b}{a + b}$ $P_{\text{pB}} = \frac{P_{n}a}{a + b}$

gdzie

a− odległość łożyska A (całkowicie ustalonego) od siły międzyrębnej a=17mm;

b− odległość łożyska B (ustalonego przesuwnie) od siły międzyrębnej b=8mm.

Aby odciążyć w pewnym stopniu łożysko A, które przenosi naprężenia od siły osiowej, siła międzyrębna przesunięta zostanie bardziej w kierunku łożyska B (na co pozwala konstrukcja urządzenia). Przyjmując odległość między łożyskami a + b = 25, a = 17 i b = 8:

P_pA = 1, 43 N P_pB = 3, 03 N

1. Wyznaczenie trwałości łożyskowania

Kolejne procedury	Zależności	Wartości
Wstępne dobranie średnicy łożyska d ze względów geometrycznych	d = dpop + min(2 ÷ 3mm)	d = 5 + 3 = 8 mm
Wybranie z katalogu odpowiedniego łożyska i wypisanie jego parametrów	d – średnica łożyska, D – średnica zewnętrzna łożyska, B – szerokość łożyska, C – nośność dynamiczna łożyska, C0 – nośność spoczynkowa łożyska	Oznaczenie łożyska 618/8 d = 8 mm D = 16 mm B = 4 mm C = 94 daN C0 = 52 daN
Wyznaczenie parametru e dla ilorazu $\frac{P_{w}}{C_{0}}$	Parametr e interpolowany wg danych z katalogu	$$\frac{P_{w}}{C_{0}} = \frac{60}{520} = 0,12$$ e = 0, 3
Wyznaczenie wartości współczynników X i Y na podstawie ilorazu $\frac{P_{w}}{P_{0}}$	Współczynniki X i Y interpolowane wg danych z katalogu	$$\frac{P_{w}}{P_{0}} = \frac{60}{1,43} = 41,99\ N$$ X = 0, 56  ,    Y = 1, 44
Wyznaczenie zastępczego obciążenia ruchowego P łożyska A	P = X • PpA + Y • Pw	P = 0, 56 • 1, 43 + 1, 44 • 60 = 87, 2 N
Obliczenie trwałości L łożyska A	$$L = \left( \frac{C}{P_{A}} \right)^{p}$$ w milionach obrotów p = 3	$$L = \left( \frac{940}{87,2} \right)^{3} = 116000000\ \text{obr}$$
Obliczenie liczby godzin Lh nieprzerwanej pracy łożyska	$$L_{h} = \frac{L}{60 \bullet n}$$ n− prędkość obrotowa nakrętki	$$L_{h} = \frac{116000000}{60 \bullet 150} = 12888\ h$$
Obliczenie liczby lat Ly nieprzerwanej pracy łożyska (24/24 h)	$$L_{y} = \frac{L_{h}}{24 \bullet 365}$$	$$L_{y} = \frac{12888}{24 \bullet 365} = 1,47\ \text{lat}$$

1. Sprawdzenie poprawności łożyska w warunkach spoczynku (n_nut=0)

Wymagana minimalna nośność spoczynkowa łożyska oblicza się ze wzoru:

C₀^′ = s₀ • P₀

gdzie

C₀^′ ­– wymagana nośność spoczynkowa łożyska w daN;

s₀ – współczynnik bezpieczeństwa obciążenia statycznego;

P₀ – obciążenie zastępcze spoczynkowe w daN.

Współczynnik bezpieczeństwa dla założonych warunków pracy s₀ = 1.

W związku z tym, że w ZNL podczas spoczynku działa jedynie siła osiowa, (siła między zębna w przekładni sprzęgającej jest wtedy zerowa, gdyż nakrętka nie obraca się), P₀ przyjmuje postać:

P₀ = 0, 6P_po + 0, 5P_wo = 0, 5P_woA = 0, 5 • 60 = 30 N

A stąd:

C₀^′ = 1 • 30 = 30 N = 30 daN

Nośność spoczynkowa Co wybranego łożyska jest większa, a więc w warunkach spoczynkowych łożysko będzie działać poprawnie.

1. Literatura

1. Mościcki W.: ZNL Materiały pomocnicze do projektowania. Warszawa 2012

2. Oleksiuk K. i K. Paprocki: Konstrukcja mechanicznych zespołów sprzętu elektronicznego. Warszawa 1997.

3. Praca zbiorowa: Konstrukcja przyrządów i urządzeń precyzyjnych. Warszawa 1996. Wyd.: WNT.