Ćwiczenia 4 – prognozy w oparciu o model GARCH oraz EWMA

1. Budowa prognozy w oparciu o model GARCH.

1. Otwieramy Gretla i pobieramy dane WIG20. Tworzymy logarytmiczne stopy zwrotu (w Gretlu przyrostu logarytmów) – ld_WIG20.

2. Zmniejszamy zakres próby o 3 (do 4373). Tworzymy opóźnienie dla zmiennej ld_WIG20 poprzez dodawanie zmiennych -> opóźnienia wybranych zmiennych – jest to potrzebne do dodania zmiennej w GARCH variants. Następnie możemy przejść do szacowanie modelu:

Covariance estymator: Sandwich dla rozkładu normalnego, a Hessian dla t-studenta.

Tutaj zrzut z zajęć (inna wersja Gretla):

Wychodzi następujący model GARCH (1,1):

1. Przechodzimy do Excela. W Gretlu nie ma możliwości wygenerowania prognoz, ponieważ wykorzystujemy przy estymacji rozkład t-studenta (z rozkładem normalnym prognozy są dostępne). W excelu korzystamy z pliku z obliczoną wariancją warunkową za pomocą funkcji wiarygodności (ćwiczenia 2). Zmieniamy dane podstawowe na te, które wyszły z powyższego modelu, bo były te z solvera ( w kolumnie Q ).

Założenia	Dane z modelu
gamma 0	0,000536054
gamma 1	0,04993
alfa 0	3,63E-06
alfa 1	0,0797818
beta 1	0,912132

1. Usuwamy trzy ostatnie wartości w kolumnie z wyliczoną wariancją warunkową (ht – kolumna E). Teraz budujemy prognozy na trzy okresy, które usunęliśmy zgodnie z następującymi wzorami (a₀ zastąpiłem alfa z daszkiem):

h_T+1 = a₀+ a₁ε_t² + b₁h_t

h_T+2 = a₀+ a₁h_t+1 + b₁h_t+1 = a₀ + (a₁ + b₁) h_t+1

h_T+3 = a₀+ a₁h_t+2 + b₁h_t+2 = a₀ + (a₁ + b₁) h_t+2

Powyższe wzory pochodzą ze wzoru ogólnego:

h_t+s|tp = $\frac{\alpha_{o}\lbrack 1 - \left( \alpha_{1} + \ \beta_{1} \right)^{s - 1}\rbrack}{1 - \alpha_{1} - \beta_{1}\ }$ + (α₁+ β₁)^s − 1 h_t+1|tp

1. Liczymy teraz odchylenia standardowe dla ht, czyli ht^0,5. Robimy wykresy dla całego odchylenia oraz dla ostatnich wartości odchyleń drugi, na którym będzie widać, że w pewnym momencie wariancja warunkowa staje się stała tzn. prognoza zbiega do wariancji bezwarunkowej. Wynika to z faktu, iż prognozy GARCH mają przewagę tylko w krótkim okresie. [Wykresy są na samym dole w pliku Excel]

II. Teraz będziemy budować prognozy w oparciu model wyrównania wykładniczego (EWMA) – Risk Metrcis.

1. Będziemy pracować w tym samym pliku Excel. Wzór na ten model:

σ_t + s|tp² = λσ_tp² + (1 − λ)σ_t²

λ jest nazywany parametrem wygasania i przyjmuje wartości z przedziału (0, 1).

1. Na początku wprowadzamy założenia tzn. parametr lambda na poziomie 0,94 (wartość zalecana przez JP) oraz startową wariancję σ_tp², które jest obliczona z próbki wstępnej (np. na podstawie pierwszych 100 obserwacji). Wariancja wstępna jest wyliczona z próbki gdzie mamy obliczony epsilon (kolumna C).

2. Teraz możemy przejść do wyliczenia prognozy z modelu EVMA (kolumna I). Zaczynamy od następnego wiersza, który jest zakończonej próbie na podstawie której wyliczyliśmy wstępną wariancję. Gdzie:

σ_tp² −  pierwsza jest to wartość startowa, później (przy prognozie na okres t+1) za tę wartość podstawiamy wyliczoną poprzednią wartość σ_t + s|tp²

σ_t² - za tę wartość podstawiamy wyliczony epsilon^2 (kolumna D – zmienność z okresu poprzedniego), ale z okresu poprzedniego - zmienność z okresu poprzedniego (jeszcze w próbie – nie tego na równi).

1. W następnej kolumnie wyliczamy odchylenia standardowe z wyliczonych prognoz wariancji warunkowej.

2. Sporządzamy wykres dla odchylenia EVMA oraz wykres gdzie porównujemy prognozy EVMA (odchylenia oraz wariancje można porównać) oraz GARCH. [Wykresy pod wyliczeniami].

3. Na koniec oceniamy dokładność wyliczonych prognoz poprzez wyliczenia następujących miar (do ich wyliczenia trzeba stworzyć kolumnę z wyliczonymi kwadratami stóp zwrotu, które będą stanowić rzeczywistą realizację zmienności):

Błąd średni – ME = 1/m $\sum_{j = 1}^{m}{(\sigma_{T}^{2} - \ \sigma_{\text{Tp}}^{2}}$) -> informuje o ile średnio różnią się prognozy zmienności (σ_T²) od realizacji wartości „rzeczywistych” (σ_Tp²) tzn. kwadratów stóp zwrotu (tak przyjęliśmy).

m- liczba prognoz.

Względny błąd średni RME = ME / 1/m $\sum_{j = 1}^{m}\sigma_{T}^{2}$ -> informuje ile wynosiło odchylenie prognozy zmienności od wartości rzeczywistej zmienności [%] w całym okresie prognozy.

Błąd średniokwadratowy – MSE = 1/m $\sum_{j = 1}^{m}{(\sigma_{T}^{2} - \ \sigma_{\text{Tp}}^{2}}$)² - brak interpretacji, im mniejszy tym prognoza lepsza.

Pierwiastek błędu średniokwadratowego – RMSE = $\sqrt{\text{MSE}}$ - brak interpretacji, im mniejszy tym prognoza lepsza.

1. Do oceny prognoz możemy również wykorzystać równanie regresji następującej postaci:

σ₂^T = γ₀ + γ₁ σ²_Tp + ε_t

gdzie aby prognozy były najlepsze to:

γ₀ ->0_; γ₁ -> 1; R² -> 1 (najczęściej jednak wynosi koło 5%).

Można tak zrobić dla zbadania dokładności prognoz EWMA (bo jest dużo obserwacji do porównania). Kopiujemy dane do Gretla i KMNK szacujemy model:

Lub można w Excelu regresje – podsumowanie wyników w excelu jest w odrębnym arkuszu.