LINEARYZACJA

Podstawową formą opisu procesów zachodzących w członach lub układach automatyki jest równanie ruchu (równanie dynamiki). Jest to zależność wielkości fizycznych, przyjętych jako sygnały wyjściowe, od wielkości fizycznych będących sygnałami wejściowymi danego członu lub układu.

W wielu przypadkach równanie dynamiki jest równaniem nieliniowym. Często jednak, kiedy zakres zmienności sygnałów (zakres pracy członu lub układu) jest odpowiednio mały, równanie nieliniowe zastępuje się przybliżonym równaniem liniowym, uzyskując za cenę wprowadzenia przybliżonego opisu matematycznego możliwość korzystania z teorii układów liniowych.

Niech dany proces zachodzący w układzie o jednym sygnale wyjściowym,

opisany będzie równaniem różniczkowym.

$F\left\lbrack y,\dot{y},\ddot{y},\ldots,x_{1},\dot{x_{1}},\ddot{x_{1}},\ldots,{x_{1}}^{\left( p_{1} \right)},x_{2},\ldots,x_{k},\dot{x_{k}},\ddot{x_{k}},\ldots,{x_{k}}^{\left( p_{k} \right)} \right\rbrack = 0$,

gdzie F[…]jest funkcją nieliniową, w którym zmiennymi są sygnały wejściowe i wyjściowy oraz ich pochodne względem czasu.

Niech proces zachodzi przy niewielkich odchyleniach poszczególnych sygnałów od punktu pracy określonego na przykład przez współrzędne:

y_0n,  x_10n,   x_20n,  …, x_k0n.

Jeżeli układ znajdzie się w punkcie pracy, a więc sygnały wejściowe x₁, x₂, …, x_2k oraz wyjściowy y osiągną wartości ustalone, równe odpowiednio x_10n, x_2Qn, ..., x_k0n i y_0n, wszystkie pochodne tych sygnałów względem czasu są zerami.

A więc w punkcie pracy jest:

$$\left. \ \begin{matrix} \dot{x_{1}} = \ddot{x_{1}} = \ldots = x_{1}^{(p_{1})} = 0 \\ \dot{x_{2}} = \ddot{x_{2}} = \ldots = x_{2}^{(p_{2})} = 0 \\ \dot{x_{k}} = \ddot{x_{k}} = \ldots = x_{k}^{(p_{k})} = 0 \\ \end{matrix} \right\}$$

Wobec powyższego punkt pracy nazywa się również punktem równowagi.

Zależność między współrzędnymi wszystkich możliwych stanów równowagi nazywa się charakterystyką statyczną danego procesu.

Z definicji charakterystyki statycznej wynika, że wyzna­czyć ją można z równania

$F\left\lbrack y,\dot{y},\ddot{y},\ldots,x_{1},\dot{x_{1}},\ddot{x_{1}},\ldots,{x_{1}}^{\left( p_{1} \right)},x_{2},\ldots,x_{k},\dot{x_{k}},\ddot{x_{k}},\ldots,{x_{k}}^{\left( p_{k} \right)} \right\rbrack = 0$,

uwzględniając

$$\left. \ \begin{matrix} \dot{x_{1}} = \ddot{x_{1}} = \ldots = x_{1}^{(p_{1})} = 0 \\ \dot{x_{2}} = \ddot{x_{2}} = \ldots = x_{2}^{(p_{2})} = 0 \\ \dot{x_{k}} = \ddot{x_{k}} = \ldots = x_{k}^{(p_{k})} = 0 \\ \end{matrix} \right\}$$

Charakterystyka statyczna procesu opisanego równaniem

$F\left\lbrack y,\dot{y},\ddot{y},\ldots,x_{1},\dot{x_{1}},\ddot{x_{1}},\ldots,{x_{1}}^{\left( p_{1} \right)},x_{2},\ldots,x_{k},\dot{x_{k}},\ddot{x_{k}},\ldots,{x_{k}}^{\left( p_{k} \right)} \right\rbrack = 0$,

ma więc postać

$$F\lbrack y_{0},\ \dot{y} = 0,\ddot{y} = 0,\ldots,y^{(m)} = 0,\ x_{10},\dot{x_{1} = 0},\ddot{x_{1} = 0},\ldots,{x_{1}}^{\left( p_{1} \right)} = 0,$$

$$x_{20},\ldots,{{x_{2}}^{\left( p_{2} \right)} = 0,\ \ldots,x}_{k0},\dot{x_{k}} = 0,\ldots,{x_{k}}^{\left( p_{k} \right)} = 0\rbrack = 0.$$

W równaniu będącym charakterystyką statyczną symbole sygnałów y, x₁, x₂, ... x_k zastąpiono symbolami y₀, x₁₀, x₂₀, ... y_k0 w celu zaznaczenia, że jest to związek między sygnałami w stanie równowagi układu.

Jeżeli funkcja

$F\left\lbrack y,\dot{y},\ddot{y},\ldots,x_{1},\dot{x_{1}},\ddot{x_{1}},\ldots,{x_{1}}^{\left( p_{1} \right)},x_{2},\ldots,x_{k},\dot{x_{k}},\ddot{x_{k}},\ldots,{x_{k}}^{\left( p_{k} \right)} \right\rbrack = 0$,

jest ciągła różniczkowalna względem wszystkich zmiennych i ich pochodnych w okolicy punktu pracy, można przeprowadzić jej linearyzację. Linearyzacja polega na:

1) przeniesieniu początku układu współrzędnych do punktu pracy (równowagi, odniesienia) określonego przez współrzędne

x_10n,  x_20n,  …, x_k0n,y_0n.

2) zastąpieniu zmiennych i ich pochodnych nowymi zmiennymi przyrostowi

x₁,  x₂,  …, x_k, y

i ich pochodnymi;

3) zastąpieniu równania

$F\left\lbrack y,\dot{y},\ddot{y},\ldots,x_{1},\dot{x_{1}},\ddot{x_{1}},\ldots,{x_{1}}^{\left( p_{1} \right)},x_{2},\ldots,x_{k},\dot{x_{k}},\ddot{x_{k}},\ldots,{x_{k}}^{\left( p_{k} \right)} \right\rbrack = 0$,

liniowym związkiem zmiennych przyrostowych w postaci

$$\left\lbrack \frac{\partial F}{\partial y} \right\rbrack_{0} \bullet y + \left\lbrack \frac{\partial F}{\partial\dot{y}} \right\rbrack_{0} \bullet \dot{y} + ... + \left\lbrack \frac{\partial F}{\partial y^{\left( m \right)}} \right\rbrack_{0} \bullet y^{\left( m \right)} +$$

$${+ \left\lbrack \frac{\partial F}{\partial x_{1}} \right\rbrack}_{0} \bullet x_{1} + \left\lbrack \frac{\partial F}{\partial\dot{x_{1}}} \right\rbrack_{0} \bullet \dot{x_{1}} + ... + \left\lbrack \frac{\partial F}{\partial x^{\left( p_{1} \right)}} \right\rbrack_{0} \bullet x_{1}^{\left( p_{1} \right)} +$$

$${+ \left\lbrack \frac{\partial F}{\partial x_{k}} \right\rbrack}_{0} \bullet x_{k} + \left\lbrack \frac{\partial F}{\partial\dot{x_{k}}} \right\rbrack_{0} \bullet \dot{x_{k}} + ... + \left\lbrack \frac{\partial F}{\partial x_{k}^{(p_{k})}} \right\rbrack_{0} \bullet x_{k}^{\left( p_{1} \right)} = 0$$

W powyższym równaniu wartości poszczególnych pochodnych, ujętych w nawiasy kwadratowe, liczone są dla współrzędnych punktu równowagi, względem którego przeprowadzona jest linearyzacja, co zaznaczono indeksami "0".

Przedstawiona metoda ma prostą interpretację geometryczną w przypadku funkcji jednej zmiennej.

Niech układ o jednym sygnale wejściowym x i jednym sygnale wyjściowym y posiada opis matematyczny w postaci nieliniowego - równania ruchu

y = f(x).

Graficznym obrazem tego równania jest krzywa pokazana na rysunku.

Rys. Interpretacja geometryczna linearyzacji funkcji jednej zmiennej

Załóżmy, że funkcję tę można zlinearyzować w punkcie pracy o współrzędnych x_0n, y_Qn.

Funkcję

y = f(x)

można przedstawić w postaci uwikłanej

F(x,y) = 0,

czyli

y - f(x) = 0.

Po zlinearyzowaniu funkcja przybiera postać

$$\left\lbrack \frac{\partial F}{\partial x} \right\rbrack_{0} \bullet x + \left\lbrack \frac{\partial F}{\partial y} \right\rbrack_{0} \bullet y = 0$$

Po przekształceniu

$$y = - \frac{\left\lbrack \frac{\partial F}{\partial x} \right\rbrack_{0}}{\left\lbrack \frac{\partial F}{\partial y} \right\rbrack_{0}} \bullet x$$

Z y - f(x) = 0 wynika

$$\left\lbrack \frac{\partial F}{\partial x} \right\rbrack_{0} = - \left\lbrack \frac{\text{df}\left( x \right)}{\text{dx}} \right\rbrack \bullet x$$

oraz

$\left\lbrack \frac{\partial F}{\partial y} \right\rbrack = 1$.

Podstawiając $\left\lbrack \frac{\partial F}{\partial x} \right\rbrack_{0} = - \left\lbrack \frac{\text{df}\left( x \right)}{\text{dx}} \right\rbrack \bullet x$ do $y = - \frac{\left\lbrack \frac{\partial F}{\partial x} \right\rbrack_{0}}{\left\lbrack \frac{\partial F}{\partial y} \right\rbrack_{0}} \bullet x$ otrzymujemy

$$\ y = \left\lbrack \frac{\text{df}\left( x \right)}{\text{dx}} \right\rbrack \bullet x$$

Z równania ostatniego widać, że linearyzacja polegała na zastąpieniu krzywej styczną do niej w punkcie o współrzędnych x_0n, y_Qn odpowiadającym punktowi pracy układu.

Uwaga. Dysponując jedynie zlinearyzowanym równaniem ruchu nie można wyznaczyć charakterystyki statycznej procesu. Wstawiając w miejsce pochodnych w zlinearyzowanym równaniu ruchu zera otrzymuje się przybliżoną charakterystykę statyczną, obowiązującą jedynie w okolicy punktu pracy układu, która pokrywa się z rzeczywistą charakterystyką statyczną tylko w punkcie pracy, w odniesieniu do którego przeprowadzona została linearyzacja. W szczególnych przypadkach charakterystyka statyczna, wyznaczona na podstawie równania zlinearyzowanego, może pokrywać się z rzeczywistą charakterystyką statyczną.

Zadanie 1

Przeprowadzić linearyzację równania y = x² w punkcie o współrzędnej x_0n = 1.

Rozwiązanie

Chcąc korzystać ze wzoru y - f(x) = 0 należy daną funkcję przed stawić w postaci F(x,y) = 0. A więc

y - x² = 0,

stąd

$\frac{\partial F}{\partial y} = 1$,

$$\left\lbrack \frac{\partial F}{\partial x} \right\rbrack_{0} = \left( - 2x \right)_{0} = - 2x_{0n} = - 2$$

Równanie zlinearyzowane ma postać

1 • y − 2 • x = 0

y = 2 • x.

Funkcję y = x² oraz wykres równania zlinearyzowanego przedstawiono na rysunku.

Zadanie 2

Układ fizyczny opisany jest równaniem ruchu:

$y = 2x^{2} + x\dot{x} + 2\left( \ddot{x} \right)^{2}$.

Wyznaczyć charakterystykę statyczną układu oraz przeprowadzić linearyzację równania ruchu w punkcie o współrzędnej x_0n = 1.

Rozwiązanie:

Wstawiając do równania ruchu warunek $\dot{x} = \ddot{x} = 0$ otrzymuje się charakterystykę statyczną

y₀ = 2x₀²

Stąd można wyznaczyć drugą współrzędną punktu odniesienia

y_0n = 2(x_0n)² = 2.

Sprowadzamy równanie ruchu do postaci:

$$F\left( x,\ \dot{\dot{x},\ddot{x},}y \right) = 0$$

$$y - 2x^{2} - x\dot{x} - 2\left( \ddot{x} \right)^{2} = 0$$

Równanie zlinearyzowane ma postać

$\left\lbrack \frac{\partial F}{\partial y} \right\rbrack_{0} \bullet y + \left\lbrack \frac{\partial F}{\partial x} \right\rbrack_{0} \bullet x + \left\lbrack \frac{\partial F}{\partial\dot{x}} \right\rbrack_{0} \bullet \dot{x} + \left\lbrack \frac{\partial F}{\partial\ddot{x}} \right\rbrack_{0} \bullet \ddot{x} = 0$,

gdzie: $\frac{\partial F}{\partial y} = 1$,

$\left\lbrack \frac{\partial F}{\partial x} \right\rbrack_{0} = \left( - 4x - \ddot{x} \right)_{0} = - 4x_{0n} = - 4$,

$$\left\lbrack \frac{\partial F}{\partial x} \right\rbrack_{0} = \left( - x \right)_{0} = - x_{0n} = - 1,$$

$\left\lbrack \frac{\partial F}{\partial x} \right\rbrack_{0} = \ddot{{( - 4x)}_{0}} = 0$.

Ostatecznie równanie przybierze postać

$$y - 4x - \dot{x} = 0$$

lub

$$y = 4 \bullet x + \dot{x}$$

Uwaga: Wygodniej jest przeprowadzić linearyzację równań metodą linearyzacji poszczególnych wyrazów równania. Poniżej wypisano poszczególne wyrazy danego równania ruchu oraz odpowiadające im wyrażenia po przeprowadzeniu linearyzacji:

$y = 2x^{2} + x\dot{x} + 2\left( \ddot{x} \right)^{2}$ - równanie ruchu

y → y

2x² → (4x)₀ • x = 4 • x,

$$x \bullet \dot{x} \rightarrow \left( \dot{x} \right)_{0} \bullet x + \left( x \right)_{0} \bullet \dot{x} = \dot{x},$$

$$2x^{2} \rightarrow \left( 4\ddot{x} \right)_{0} \bullet \ddot{x} = 0.$$

Równanie zlinearyzowane przyjmie więc postać

$y = 4 \bullet x + \dot{x} + 0$.

PRACA DOMOWA:

Przeprowadzić linearyzację równań:

${\dot{y}}^{2} + \sinh{y = x}$,

przyjmując współrzędną punktu odniesienia x_0n = 0,

Odp.:

y = x;

$x^{2} \bullet \ddot{y} + \left( \cos x \right) \bullet {\dot{y}}^{2} + \left( \sin x \right) \bullet \dot{y} + 2y + 2\operatorname{}x - 1 = 0$,

dla punktu odniesienia o współrzędnej $x_{0n} = \frac{\pi}{4},$

Odp.:

$\frac{\pi^{2}}{16}\ddot{y}$+$\frac{1}{\sqrt{2}}\dot{y} + 2y + 2x = 0$;

$${3x}^{2}\ddot{y} + x\dot{y} + \sin y - 5xy - x + 2 = 0$$

dla punktu odniesienia o współrzędnej y_0n = 0.

Odp.:

$12\ddot{y} + 2\dot{y} + y - x = 0$;

$5\dot{y} + y = 2x\sqrt{z}$,

dla punktu odniesienia o współrzędnych x_0n = 4, z_0n = 9,

Odp.:

$5 \bullet \dot{y} + y = 6 \bullet x + \frac{4}{3} \bullet z$.

OPIS MATEMATYCZNY PODSTAWOWYCH
CZŁONÓW UKŁADÓW AUTOMATYKI

Członem automatyki nazywamy dowolny układ fizyczny,
w którym wyodrębniona jest wielkość wejściowa (sygnał wejściowy) i wielkość wyjściowa (sygnał wyjściowy).

W każdym układzie regulacji automatycznej można wyodrębnić człony podstawowe.

Człon (element) automatyki umownie oznaczamy jak na rysunku

gdzie: x - wielkość wejściowa (sygnał wejściowy),

y - wielkość wyjściowa (sygnał wyjściowy),

G(s) - transmitancja członu.

Strzałki oznaczają kierunek przekazywania sygnału oraz wskazują, że nie ma oddziaływania sygnału wyjściowego na wejściowy - jednokierunkowość członów.

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE I TRANSMITANCJE OPERATOROWE CZŁONÓW PODSTAWOWYCH

Równanie różniczkowe wyrażające zależność pomiędzy sygnałem wejściowym i wyjściowym nazywa się równaniem dynamiki (równaniem ruchu). Postać równania dynamiki lub transmitancja określona z tego równania stanowi kryterium, według którego klasyfikuje się człony automatyki. Równania dynamiki członów podstawowych winny być sprowadzone do postaci

$a_{n}\frac{d^{n}y}{\text{dt}^{n}} + a_{n - 1}\frac{d^{n - 1}y}{\text{dt}^{n - 1}} + \ldots\ $+$a_{0}y = b_{m}\frac{d^{m}x}{\text{dt}^{m}} + b_{m - 1}\frac{d^{m - 1}x}{\text{dt}^{m - 1}} + \ldots\ $+b₀x,

gdzie: a₀ = 1.

Transmitancja operatorowa określona z powyższego równania wyraża się stosunkiem transformaty sygnału wyjściowego Y(s) do transformaty sygnału wejściowego X(s)

$$G\left( s \right) = \frac{Y\left( s \right)}{X\left( s \right)}$$

przy zerowych warunkach początkowych.

Zadanie 1

Wyznaczyć równanie ruchu i transmitancję operatorową dla dźwigni dwu ramiennej pokazanej na rysunku, jeżeli wielkością wejściową jest przesunięcie x, a wielkością wyjściową przesunięcie y. Dane: a = 4cm, b = 5cm.

Rozwiązanie:

Z podobieństwa trójkątów wynika:

$$\frac{x}{a} = \frac{y}{b}$$

stąd

$$y = \frac{b}{a}x$$

lub

y = kx,

gdzie $k = \frac{b}{a} = \frac{5}{4}$ - - współczynnik proporcjonalności.

Po transformacji Laplace'a równanie y = kx  przyjmie postać:

Y(s) = kX(s)

a więc transmitancja członu wyniesie

$G\left( s \right) = \frac{Y\left( s \right)}{X\left( s \right)} = k$.

Zadanie 2

Wyznaczyć transmitancję przekładni hydraulicznej; jeżeli wielkością wejściową jest siła F₁, a wyjściową siła F₂. Oznaczenia: A₁, A₂ - powierzchnie czynne tłoków.

Rozwiązanie:

Porównując ciśnienia hydrostatyczne w, cieczy możemy napisać

$$\frac{F_{1}}{A_{1}} = \frac{F_{2}}{A_{2}}\backslash n$$

$F_{2} = \frac{A_{2}}{A_{1}}F_{1}$ lub F₂ = k • F₁,

gdzie $k = \frac{A_{2}}{A_{1}}$ - współczynnik proporcjonalności.

Przekładnia hydrauliczna jest więc członem proporcjonalnym.

Zadanie 2

Ułożyć równanie różniczkowe i wyznaczyć transmitancję członu przedstawionego na rysunku, jeżeli wielkością wejściową jest zmiana przesunięcia zaworów x1 i x2, a wyjściową poziom cieczy w zbiorniku o powierzchni przekroju poprzecznego A [cm^3]. Należy założyć, że prędkości przepływu cieczy przez zawory wynoszą V1 = const i V2 = const.

Rozwiązanie:

Natężenia przepływu przez zawory 1 i 2 wynoszą odpowiednio Q₁ i Q₂

Q₁ = α₁πd₁x₁V₁ $\left\lbrack \frac{\text{cm}^{3}}{s} \right\rbrack$ i Q₂ = α₂πd₂x₂V₂ $\left\lbrack \frac{\text{cm}^{3}}{s} \right\rbrack$.

Na podstawie bilansu przepływów możemy napisać

$A\frac{\text{dy}}{\text{dt}} = Q_{1} - Q_{2}$,

a więc

$A\frac{\text{dy}}{d} = \alpha_{1}\pi d_{1}x_{1}V_{1} - \alpha_{2}\pi d_{2}x_{2}V_{2}$.

Jeżeli dodatkowo założymy, że α₁=α₂ = α; d₁=d₂ = d, oraz V₁=V₂ = V otrzymamy

$A\frac{\text{dy}}{\text{dt}} = \alpha\pi dV\left( x_{1} - x_{2} \right)$.

Przyjmując x₁ − x₂ = x możemy napisać

$$\frac{A}{\text{απdV}}\frac{\text{dy}}{\text{dt}} = x$$

lub

$T\frac{\text{dy}}{\text{dt}} = x$,

gdzie

$T = \frac{A}{\text{απdV}}$.

Transmitancja wynosi więc

$G\left( s \right) = \frac{1}{T \bullet s}$.

Zadanie 3

Wyznaczyć transmitancję członu przedstawionego na rysunku, w którym wielkością wejściową jest promień toczenia się rolki x, wyjściową kąt obrotu rolki n = y.

Rozwiązanie:

Przyjmując toczenie się bez poślizgu, prędkości obwodowe w punkcie styku są równe, a więc

ω₁ • x = ω₂ • x.

Ponieważ

$\frac{\text{dn}}{\text{dt}} = \omega_{2}$,

więc

$\frac{\text{dn}}{\text{dt}} \bullet r = \omega_{1} \bullet x$,

czyli

$\frac{\text{dn}}{\text{dt}} = \frac{\omega_{1}}{r} \bullet x$,

lub

$\frac{\text{dn}}{\text{dt}} = k \bullet x$,

gdzie: $k = \frac{\omega_{1}}{r}$;

n = y.

Po transformacji Laplace'a otrzymamy

Y(s) = k • X(s).

A więc transmitancja

$G\left( s \right) = \frac{Y\left( s \right)}{X\left( s \right)} = \frac{k}{s}$.