DYNAMIKA POJAZDÓW

Wyznaczenie częstości drgań własnych samochodu Citroen C3

Tomasz Ciećwierz gr. 4.3 (nr albumu: 212534)

Michał Mroczek dr.4.3 (nr albumu: 212624)

Obiekt modelowania

Obiektem modelowania jest samochód osobowy Citroen C3 z roku 2002. Jest to samochód z pięciodrzwiowym nadwoziem typu hatchback silnikiem benzynowym o pojemności 1100cm3 umieszczonym z przodu.

Rys. 1. Citroen C3 – wymiary

Dane techniczne:

Masa pojazdu: m = 978kg

Dopuszczalna masa całkowita: m_c = 1463kg

Szerokość pojazdu: s = 1667mm

Długość pojazdu: d = 3850mm

Rozstaw osi: l₁₂ = 2460mm

Rozstaw kół przednich: b_p = 1435mm

Rozstaw kół tylnych: b_t = 1439mm

Kąt pochylenia kolumny McPhersona: α = 20^o

Długość wahacza przedniego: l_wp = 320mm

Długość wahacza tylnego: l_wt = 400mm

Odległość sprężyny od środka koła (tył): a = 50mm

Rozkład masy:

Przód: 57%

Tył: 43%

Obliczenia pozostałych parametrów:

Obciążenie osi przedniej:

m_p = 57%·1463 = 834kg

Obciążenie osi tylnej:

m_t = 43%·1463 = 629kg

Położenie środka masy:

Zawieszenie przednie

W samochodzie Citroen C3 zastosowano niezależne zawieszenie kół kierowanych na kolumnach McPhersona. Elementy prowadzące stanowią: zespolony w jednej kolumnie amortyzator i sprężyna śrubowa oraz pojedynczy wahacz poprzeczny. Podstawowe części układu zawieszenia koła przedniego przedstawiono na rysunku 2.

Rys. 2. Zawieszenie przednie z kolumnami McPhersona

Zawieszenie tylne

Zawieszenie tylne opiera się na dwóch wahaczach wleczonych połączonych belka, tworząc ramę pomocniczą.

Rys. 3. Schemat zawieszenia tylnego samochodu Citroen C3; 1 – wahacz wzdłużny,

2 - belka podatna, 3 – sprężyna, 4 – amortyzator, 5 – stabilizator

Model obliczeniowy

Jako model obliczeniowy przyjęto płytę prostokątną o masie m i pomijalnie małej grubości (rys. 4). Zawieszono ją w narożach na czterech sprężynach. Model jest obdarzony trzema stopniami swobody – przemieszczeniem wzdłuż osi z oraz obrotami wokół osi x i y.

Rys. 4. Model pojazdu o trzech stopniach swobody

Obliczenia sztywności zawieszenia

Sztywność sprężyn rzeczywistych oblicza się na podstawie porównania ich energii potencjalnej z energią potencjalną sprężyn teoretycznych. W tym celu wprowadzono w miejsce koła teoretyczną sprężynę, której sztywność wyliczono z założonej wstępnie częstości drgań własnych nadwozia f = 1 [Hz] (częstość taka zapewnienia komfort pasażerom podczas jazdy).

Sztywność zawieszenia w modelu teoretycznym

Częstość drgań własnych wyraża się wzorem:

$$f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}\ \lbrack\text{Hz}\rbrack$$

k = 4 • π² • f² • m

gdzie:

m – masa pojazdu przypadająca na koło osi przedniej/tylnej

Otrzymano:

dla zawieszenia przedniego:

k_kp = 16.462 kN/m

dla zawieszenia tylnego:

k_kt = 12.415kN/m

1. Obliczenia sztywności rzeczywistych elementów zawieszenia

   1. Sztywność sprężyn zawieszenia przedniego
      

k_p – sztywność przedniej sprężyny

k_kp – sztywność przedniej sprężyny teoretycznej

z_sp – ugięcie przedniej sprężyny

z_kp – ugięcie przedniej sprężyny teoretycznej

Rys. 5. Zależności geometryczne przy ugięciu zawieszenia przedniego

Z warunków i zależności geometrycznych zawieszenia kół przednich wynika, iż rzeczywista sztywność zawieszeń jest inna niż obliczona sztywność teoretyczna.

Aby obliczyć sztywność sprężyny należy założyć, że energia potencjalna modelu zawieszenia jest równa energii potencjalnej sprężyny rzeczywistego układu:

gdzie:

- energia potencjalna dla sprężyny przedniej

- energia potencjalna dla teoretycznej sprężyny przedniej

Stąd sztywność sprężyny rzeczywistej przedniego zawieszenia określa wzór:

Uwzględniając geometrię zawieszenia:

z_sp = z_kpcosα

Ostatecznie:

k_p = 18.643 kN/m

Sztywność sprężyn zawieszenia tylnego

Tak jak w przypadku zawieszenia kół przednich, aby obliczyć rzeczywistą sztywność sprężyn należy uwzględnić zależności geometryczne zawieszenia kół tylnych.

Rys. 6. Zależności geometryczne przy ugięciu zawieszenia tylnego

k_t – sztywność tylnej sprężyny

k_kt – sztywność tylnej sprężyny teoretycznej

z_st – ugięcie tylnej sprężyny

z_kt – ugięcie tylnej sprężyny teoretycznej

Obliczenia rzeczywistej sztywności sprężyny dokonujemy tak jak w przypadku zawieszenia przedniego z warunku równości energii. Ugięcie zawieszenia z_st nie jest równe ugięciu sprężyny z_kt.

gdzie:

- energia potencjalna dla sprężyny przedniej

- energia potencjalna dla teoretycznej sprężyny przedniej

Stąd sztywność sprężyny rzeczywistej tylnego zawieszenia określa wzór:

Uwzględniając geometrię zawieszenia:

Ostatecznie:

k_t = 14.188 kN/m

1. Wyznaczenie rzeczywistego ugięcia sprężyny zawieszenia kół tylnych w modelu o trzech stopniach swobody.

Odkształcenie sprężyn równe jest różnicy przemieszczeń nadwozia (punkt A na rys.6) i przemieszczenia wahacza w punkcie mocowania sprężyny (punkt B na rys.6).

z_t = z_A  − Z_B

z_A = z +  ϕ_xb +  ϕ_y(l₂−a)

Przemieszczenie punktu B wyznaczamy z twierdzenia Talesa znając przemieszczenie punktu C.

z_C = z +  ϕ_xb +  ϕ_y(l₂−l_w)

$$\frac{z_{C}}{l_{w}} = \frac{z_{B}}{a}$$

Stąd:

$$z_{B} = z_{C}\frac{a}{l_{w}}$$

Ostatecznie otrzymujemy:

$$z_{t} = z\left( 1 - \frac{a}{l_{w}} \right) \pm \Phi_{x}b\left( 1 - \frac{a}{l_{w}} \right) - \Phi_{y}\left( {(l}_{2} - a) - \frac{l_{2} -}{l_{w}}a \right)$$

1. Obliczenie momentów bezwładności pojazdu

   1. Moment bezwładności względem osi x (I_x)

W celu wyznaczenia momentu bezwładności pojazdu względem osi x, samochód potraktowano jak ciało obrotowe mające promień bezwładności. Ponieważ nie ma możliwości dokładnego określenia promienia bezwładności przyjęto jego wartość równą 1/3 przedniego rozstawu kół:

$$\rho_{x} = \frac{b_{p}}{3} = 0.478m$$

Moment bezwładności względem osi x wynosi:

I_x = m_c • ρ_x²

Moment bezwładności względem osi y

Środek masy pojazdu nie pokrywa się ze środkiem geometrycznym bryły nadwozia. Promień bezwładności oszacowano przyjmując założenie rozsprzęgalności przedniego i tylnego zawieszenia. Stąd warunek:

$$\rho_{y} = \sqrt{l_{1} \bullet l_{2}} = 1,217\ \lbrack m\rbrack$$

Moment bezwładności względem osi y wynosi:

I_y = m_c • ρ_y²

Równania ruchu

Model jest obdarzony trzema stopniami swobody – przemieszczeniem wzdłuż osi z oraz obrotami: wokół osi x – Φ_x i wokół osi y - Φ_y (patrz: punkt 2).

Wzory na energię kinetyczną i energię potencjalną

• Energia potencjalna:

$$E_{p} = \frac{1}{2}k_{p}\left\lbrack \left( z + \Phi_{x}b + \Phi_{y}l_{1\ } \right)^{2}{\cos\alpha}^{2} + \left( z - \Phi_{x}b + \Phi_{y}l_{1\ } \right)^{2}{\cos\alpha}^{2} \right\rbrack + \frac{1}{2}k_{\text{t\ }}\left\lbrack \left( z\left( 1 - \frac{a}{l_{w}} \right) + \Phi_{x}b\left( 1 - \frac{a}{l_{w}} \right) - \Phi_{y}\left( {(l}_{2} - a) - \frac{l_{2} -}{l_{w}}a \right) \right)^{2}\ \ + \left( z\left( 1 - \frac{a}{l_{w}} \right) - \Phi_{x}b\left( 1 - \frac{a}{l_{w}} \right) - \Phi_{y}\left( {(l}_{2} - a) - \frac{l_{2} -}{l_{w}}a \right) \right)^{2} \right\rbrack$$

• Energia kinetyczna:

$$E_{k} = \frac{1}{2}m{\dot{z}}^{2} + \frac{1}{2}I_{x}{\dot{\Phi_{x}}}^{2} + \frac{1}{2}I_{y}{\dot{\Phi_{y}}}^{2}$$

Równania Lagrange’a

$$\frac{d}{\text{dt}}\left( \frac{\partial E_{k}(\dot{X)}}{\partial{\dot{X}}_{i}} \right) + \ \frac{\partial E_{p}\left( X \right)}{\partial X_{i}} = 0$$

Gdzie: $X = \begin{bmatrix} z \\ \Phi_{x} \\ \Phi_{y} \\ \end{bmatrix}$ - wektor współrzędnych uogólnionych

Różniczki po współrzędnych uogólnionych:

$$\frac{\partial E_{k}\dot{\left( z \right)}}{\partial\dot{z}} = m\ddot{z}$$

$$\frac{\partial E_{k}\dot{\left( \Phi_{x} \right)}}{\partial\dot{\Phi_{x}}} = I_{x}\ddot{\Phi_{x}}$$

$$\frac{\partial E_{k}\dot{\left( \Phi_{y} \right)}}{\partial\dot{\Phi_{y}}} = I_{y}\ddot{\Phi_{y}}$$

$$\frac{\partial E_{p}\left( z \right)}{\partial z} = \left\lbrack 2k_{p}{\cos\alpha}^{2} + 2k_{t}\left( 1 - \frac{a}{l_{w}} \right)^{2} \right\rbrack z + \left\lbrack 2k_{p}l_{1}{\cos\alpha}^{2} - 2k_{t}\left( 1 - \frac{a}{l_{w}} \right)\left( {(l}_{2} - a) - \frac{l_{2} -}{l_{w}}a \right) \right\rbrack\Phi_{y}$$

$$\frac{\partial E_{p}(\Phi_{x})}{\partial\Phi_{x}} = \lbrack 2k_{p}b^{2}{\cos\alpha}^{2} + 2k_{t}b^{2}\left( 1 - \frac{a}{l_{w}} \right)^{2}\rbrack\Phi_{x}$$

$$\frac{\partial E_{p}(\Phi_{y})}{\partial\Phi_{y}} = \left\lbrack 2k_{p}l_{1}{\cos\alpha}^{2} - 2k_{t}\left( 1 - \frac{a}{l_{w}} \right)\left( {(l}_{2} - a) - \frac{l_{2} -}{l_{w}}a \right) \right\rbrack z + \left\lbrack 2k_{p}l_{1}{\cos\alpha}^{2} - 2k_{t}\left( {(l}_{2} - a) - \frac{l_{2} -}{l_{w}}a \right)^{2} \right\rbrack\Phi_{y}$$

Równania ruchu

Po podstawieniu wzorów na E_p i E_k do równań Lagrange’a otrzymano równania ruchu względem trzech współrzędnych uogólnionych:

$$m\ddot{z} + \left\lbrack 2k_{p}{\cos\alpha}^{2} + 2k_{t}\left( 1 - \frac{a}{l_{w}} \right)^{2} \right\rbrack z + \left\lbrack 2k_{p}l_{1}{\cos\alpha}^{2} - 2k_{t}\left( 1 - \frac{a}{l_{w}} \right)\left( {(l}_{2} - a) - \frac{l_{2} -}{l_{w}}a \right) \right\rbrack\Phi_{y} = 0$$

$$I_{x}\ddot{\Phi_{x}} + = \lbrack 2k_{p}b^{2}{\cos\alpha}^{2} + 2k_{t}b^{2}\left( 1 - \frac{a}{l_{w}} \right)^{2}\rbrack\Phi_{x} = 0$$

$$I_{y}\ddot{\Phi_{y}} + \left\lbrack 2k_{p}l_{1}{\cos\alpha}^{2} - 2k_{t}\left( 1 - \frac{a}{l_{w}} \right)\left( {(l}_{2} - a) - \frac{l_{2} -}{l_{w}}a \right) \right\rbrack z + \left\lbrack 2k_{p}l_{1}{\cos\alpha}^{2} - 2k_{t}\left( {(l}_{2} - a) - \frac{l_{2} -}{l_{w}}a \right)^{2} \right\rbrack\Phi_{y} = 0$$

Macierzowy zapis równań:

$$M\ddot{X} + \text{KX} = 0$$

Macierz bezwładności:

$$M = \begin{bmatrix} m & 0 & 0 \\ 0 & I_{x} & 0 \\ 0 & 0 & I_{y} \\ \end{bmatrix}$$

Macierz sztywności:

Wyznaczanie częstotliwości drgań własnych

Częstotliwości drgań własnych obliczono z wykorzystaniem programu MathCAD. Zdefiniowano macierze: bezwładności i sztywności:

Utworzono macierz A:

Wyznaczono wartości własne macierzy A:

Ich wartości odpowiadają kwadratowi częstości drgań własnych:

$\left( \frac{\text{rad}}{s} \right)^{2}$

Częstości drgań własnych wynoszą:

$$\omega = \begin{bmatrix} 6,375 \\ 6,135 \\ 7,675 \\ \end{bmatrix} \bullet \frac{\text{rad}}{s}$$

Częstotliwości drgań własnych:

$$f = \frac{\omega}{2\pi} = \begin{bmatrix} 1,015 \\ 0,976 \\ 1,222 \\ \end{bmatrix} \bullet \text{Hz}$$

Symulacja – wykresy przemieszczenia, prędkości i przyspieszenia wybranego punktu nadwozia

Wykresy przemieszczenia, prędkości i przyspieszenia wyznaczono dla przedniej lewej lampy samochodu - punkt A o przybliżonych współrzędnych (1,8; 0,8; 0) [m]. Warunki początkowe:

z₀ = 0, 01 [m]

Φ_x0 = 0, 01 []

Φ_y0 = 0, 01 []

Granice całkowania: t = 10 [s]