Wydział Geoinżynierii                                                         Legnica, 08.11.2011

Górnictwa i Geologii                      

Politechniki Wrocławskiej

 

 

 

Sprawozdanie z laboratorium

pt. „Lepkość”

 

 

 

 

 

grupa: czwartek, 8:15 – 10.00 Agnieszka Śpiewak

1. Cel ćwiczenia

Celem ćwiczenia jest wyznaczenie lepkości cieczy. Lepkość jest spowodowana siłami tarcia wewnętrznego. Podczas laminarnego przepływu cieczy siły lepkości opisane są prawem Stokesa.

1. Wstęp teoretyczny

Lepkość (tarcie wewnętrzne) – właściwość płynów i plastycznych ciał stałych charakteryzująca ich opór wewnętrzny przeciw płynięciu. Lepkością nie jest opór przeciw płynięciu powstający na granicy płynu i ścianek naczynia. Lepkość jest jedną
z najważniejszych cech płynów (cieczy i gazów).

Inne znaczenie słowa "lepkość" odnosi się do "czepności" – terminu stosowanego
w dziedzinie klejów.

Zgodnie z laminarnym modelem przepływu lepkość wynika ze zdolności płynu do przekazywania pędu pomiędzy warstwami poruszającymi się z różnymi prędkościami.

Różnice w prędkościach warstw są charakteryzowane w modelu laminarnym przez szybkość ścinania. Przekazywanie pędu zachodzi dzięki pojawieniu się na granicy tych warstw naprężeń ścinających. Wspomniane warstwy są pojęciem hipotetycznym,
w rzeczywistości zmiana prędkości zachodzi w sposób ciągły (zobacz: gradient),
a naprężenia można określić w każdym punkcie płynu. Model laminarny lepkości zawodzi też przy przepływie turbulentnym, powstającym np. na granicy płynu i ścianek naczynia. Dla przepływu turbulentnego jak dotąd nie istnieją dobre modele teoretyczne.

Płyn nielepki to płyn o zerowej lepkości (→ nadciekłość).

Współczynnik proporcjonalności η nazywamy współczynnikiem lepkości. Jednostka współczynnika lepkości ma w układzie SI wymiar:

$$\left\lbrack \eta \right\rbrack = \frac{\text{Ns}}{m^{2}}$$

Współczynnik lepkości ośrodka zależy od temperatury T. Dla cieczy słuszna jest
w przybliżeniu zależność:

η = Ce^b/T

gdzie:

C, b - stałe charakteryzujące ciecz, T - temperatura w skali Kelwina.

Spadek swobodny kulki w cieczy z uwzględnieniem sił lepkości

Na małą kulkę spadającą swobodnie w lepkiej cieczy działają siły:

• siła ciężkości kulki

• siła wyporu Archimedesa

• siła oporu wynikająca z ruchu

przy czym:

$V = \frac{4}{3}\pi r^{3}$ - objętość kulki, ρ - gęstość materiału kulki, ρ^′ - gęstość cieczy

Ponieważ kulka porusza się coraz szybciej – siła F_t rośnie, a siła wypadkowa maleje. Gdy siła wypadkowa zmaleje do 0 kulka zaczyna się poruszać ruchem jednostajnym.
Po przekształceniu równania ruchu kulki w cieczy otrzymamy równanie umożliwiające nam obliczenie współczynnika lepkości cieczy η na podstawie czasu, w jakim kulka przebywa ruchem jednostajnym ustalona drogę w cieczy:

0 = ρVg − ρ^′Vg − 6πηv_g

$$\eta = \frac{2}{9} \bullet \frac{r^{2}g(p_{k} - p_{c})}{V_{g}}$$

r – promień kulki, g – przyspieszenie ziemskie,- gęstość materiału kulki,- gęstość cieczy, v_g – prędkość

W przypadku ruchu w naczyniu cylindrycznym o promieniu R dużej kulki (r≅R),
po uwzględnieniu poprawek wynikających z oddziaływania na ruch kulki ścianek bocznych

wzór na współczynnik lepkości można zapisać w ogólnej postaci:

η = k • (ρ_k − ρ_c)•t

gdzie:

k – stała, t – czas przebycia zadanej drogi ruchem jednostajny

1. Dane pomiarowe

   1. Dane pomiarowe dla opadania kulek w glicerynie

Wysokość słupa gliceryny – H = 48 [cm]

Gęstość gliceryny – d = 1,258 [g/cm³]

Kulka 1	Kulka 2	Kulka 3
Masa m [g]	0,87	2,23
Średnica D [mm]	0,598	1,125
Czas opadania kulki w cylindrze t[s]	3,81	5,35
	3,67	4,99
	3,75	4,55
Średni czas opadania kulki w cylindrze t[s]	3,74	4,96

1. Dane pomiarowe dla wiskozymetru:

Stała wiskozymetru – k = 0,1216 x 10⁻² cm²/s²

Opadanie kulki w wiskozymetrze
Czas t[s]
Średni czas t[s]

1. Obliczenia

   1. Promień kulek:

$$r = \frac{D}{2}$$

r – promień kulki, D – średnica kulki

Kulka 1:

$$r_{1} = \frac{D_{1}}{2} = \frac{0,598\ \text{cm}}{2} = 0,299\ \lbrack\text{cm}\rbrack$$

Kulka 2:

$$r_{2} = \frac{D_{2}}{2} = \frac{1,125\ \text{cm}}{2} = 0,563\ \lbrack\text{cm}\rbrack$$

Kulka 3:

$$r_{3} = \frac{D_{3}}{2} = \frac{0,670\ \text{cm}}{2} = 0,335\ \lbrack\text{cm}\rbrack$$

1. Objętość kulek:

$$V = \frac{4\pi r^{3}}{3}$$

r – promień kulki, π = 3,14

Kulka 1:

$$V_{1} = \frac{4\pi r_{1}^{3}}{3} = \frac{4 \bullet 3,14 \bullet (0,299)^{3}}{3} = \frac{12,56 \bullet 0,027}{3} = \frac{0,339}{3} = 0,113\ {\lbrack cm}^{3}\rbrack$$

Kulka 2:

$$V_{2} = \frac{4\pi r_{2}^{3}}{3} = \frac{4 \bullet 3,14 \bullet (0,563\ )^{3}}{3} = \frac{12,56 \bullet 0,178}{3} = \frac{2,236}{3} = 0,745\ \lbrack\text{cm}^{3}\rbrack$$

Kulka 3:

$$V_{3} = \frac{4\pi r_{3}^{3}}{3} = \frac{4 \bullet 3,14 \bullet (0,335)^{3}}{3} = \frac{12,56 \bullet 0,038}{3} = \frac{0,477}{3} = 0,159\ \lbrack\text{cm}^{3}\rbrack$$

1. Gęstość kulek:

$$d_{k} = \frac{m}{V}$$

m – masa kulki, V – objętość kulki

Kulka 1:

$$d_{1} = \frac{m_{1}}{V_{1}} = \frac{0,87\ \lbrack g\rbrack}{0,113\ {\lbrack cm}^{3}\rbrack} = 7,699\ \frac{\lbrack g}{\text{cm}^{3}}\rbrack\ $$

Kulka 2:

$$d_{2} = \frac{m_{2}}{V_{2}} = \frac{2,23\ \lbrack g\rbrack}{0,745\ {\lbrack cm}^{3}\rbrack} = 2,993\ \lbrack\frac{g}{\text{cm}^{3}\rbrack}$$

Kulka 3:

$$d_{3} = \frac{m_{3}}{V_{3}} = \frac{1,23\ \lbrack g\rbrack}{0,159\ \lbrack\text{cm}^{3}\rbrack} = 7,736\ \frac{\lbrack g}{\text{cm}^{3}}\rbrack$$

1. Pomiar czasu ruchu kulek w cylindrze z gliceryną:

$\overset{\overline{}}{t}\mathbf{= \ }\frac{\sum_{}^{}t_{i}}{\mathbf{n}}$ $\sum_{}^{}t_{i}$ – suma pomiarów czasu spadania kulki, n – ilość pomiarów

kulka 1:

$\overset{\overline{}}{t_{1}}$= $\frac{11,23}{3}$ = 3,74 [s]

kulka 2:

$\overset{\overline{}}{t_{2}}$= $\frac{14,89}{3}$ = 4,96 [s]

kulka 3:

$\overset{\overline{}}{t_{3}}$= $\frac{9,31}{3}$ = 3,10 [s]

1. Współczynnik lepkości:

$$k = \frac{2gr^{2}}{9H}$$

g – przyspieszenie ziemskie = $9,81\ \frac{\lbrack m}{s^{2}\rbrack} = 981\ \frac{\lbrack cm}{s^{2}\rbrack}$ , r – promień kulki, H – wysokość słupa gliceryny

Kulka 1:

$$k_{1} = \frac{2gr_{1}^{2}}{9H} = \frac{2 \bullet 981\frac{\lbrack cm}{s^{2}\rbrack} \bullet (0,299\ \lbrack cm\rbrack)^{2}}{9 \bullet 48\ \lbrack cm\rbrack} = \frac{1962\frac{\lbrack cm}{s^{2}\rbrack} \bullet 0,089{\ \lbrack cm}^{2}\rbrack}{432\ \lbrack cm\rbrack} = \frac{174,618\ \lbrack\frac{\text{cm}^{3}}{s^{2}}\rbrack}{432\ \lbrack cm\rbrack} = 0,404\ \lbrack\frac{\text{cm}^{2}}{s^{2}\rbrack}$$

Kulka 2:

$$k_{2} = \frac{2gr_{2}^{2}}{9H} = \frac{2 \bullet 981\frac{\lbrack cm}{s^{2}\rbrack} \bullet (\ 0,563\lbrack cm{\rbrack)}^{2}}{9 \bullet 48\ \lbrack cm\rbrack} = \frac{1962\frac{\lbrack cm}{s^{2}\rbrack} \bullet 0,317{\lbrack cm}^{2}\rbrack}{432\ \lbrack cm\rbrack} = \frac{621,954\lbrack\frac{\text{cm}^{3}}{s^{2}}\rbrack}{432\ \lbrack cm\rbrack} = 1,440\lbrack\frac{\text{cm}^{2}}{s^{2}\rbrack}$$

Kilka 3:

$$k_{3} = \frac{2gr_{3}^{2}}{9H} = \frac{2 \bullet 981\frac{\lbrack cm}{s^{2}\rbrack} \bullet (0,335\lbrack cm{\rbrack)}^{2}}{9 \bullet 48\lbrack cm\rbrack} = \frac{1962\frac{\lbrack cm}{s^{2}\rbrack} \bullet 0,112\lbrack\text{cm}^{2}\rbrack}{432\lbrack cm\rbrack} = \frac{219,744\lbrack\frac{\text{cm}^{3}}{s^{2}}\rbrack}{432\lbrack cm\rbrack} = = 0,509\lbrack\frac{\text{cm}^{2}}{s^{2}\rbrack}$$

1. Lepkość gliceryny w cylindrze:

η = k(d_k−d_g)t

k – współczynnik lepkości, d_k – gęstość kulki, d_g – gęstość gliceryny, t – czas spadania kulki

Kulka 1:

$$\eta_{1} = k_{1}\left( d_{1} - d_{g} \right)t_{1} = 0,404\lbrack\frac{\text{cm}^{2}}{s^{2}\rbrack} \bullet \left( \frac{7,699\lbrack g}{\text{cm}^{3}}\rbrack - 1,258\frac{\lbrack g}{\text{cm}^{3}}\rbrack \right) \bullet 3,74\lbrack s\rbrack = \ \ \ = 0,404\lbrack\frac{\text{cm}^{2}}{s^{2}\rbrack} \bullet 6,441\frac{\lbrack g}{\text{cm}^{3}}\rbrack \bullet 3,74\lbrack s\rbrack = 9,732\ \lbrack\frac{g}{\text{cm} \bullet s\rbrack}$$

Kulka 2:

$$\eta_{2} = k_{2}\left( d_{2} - d_{g} \right)t_{2} = 1,440\lbrack\frac{\text{cm}^{2}}{s^{2}\rbrack \bullet}\left( 2,993\frac{\lbrack g}{\text{cm}^{3}}\rbrack - 1,258\frac{\lbrack g}{\text{cm}^{3}}\rbrack \right) \bullet 4,96\lbrack s\rbrack = = 1,440\lbrack\frac{\text{cm}^{2}}{s^{2}\rbrack} \bullet 1,735\frac{\lbrack g}{\text{cm}^{3}}\rbrack \bullet 4,96\lbrack s\rbrack = 12,392\ \lbrack\frac{g}{\text{cm} \bullet s\rbrack}$$

Kulka 3:

$$\eta_{3} = k_{3}\left( d_{3} - d_{g} \right)t_{3} = 0,509\lbrack\frac{\text{cm}^{2}}{s^{2}\rbrack \bullet}\left( \ 7,736\frac{\lbrack g}{\text{cm}^{3}}\rbrack - 1,258\frac{\lbrack g}{\text{cm}^{3}}\rbrack \right) \bullet 3,10\lbrack s\rbrack = = 0,509\lbrack\frac{\text{cm}^{2}}{s^{2}\rbrack} \bullet 6,478\frac{\lbrack g}{\text{cm}^{3}}\rbrack \bullet 3,10\lbrack s\rbrack = 10,222\ \lbrack\frac{g}{\text{cm} \bullet s\rbrack}$$

1. Niepewność lepkości:

$$u\left( \eta_{1,2,3} \right) = \eta_{1,2,3}(t_{1,2,3}/3t_{1,2,3})^{\frac{1}{2}}$$

t_1, 2, 3 = 0, 2s

Kulka 1:

$$u\left( \eta_{1} \right) = \eta_{1}(t_{1}/3t_{1})^{\frac{1}{2}} = 9,732\lbrack\frac{g}{\text{cm} \bullet s\rbrack} \bullet (0,2\lbrack s\rbrack/3 \bullet 3,74\lbrack s{\rbrack)}^{\frac{1}{2}} = 9,732\lbrack\frac{g}{\text{cm} \bullet s\rbrack} \bullet 0,134 = 1,304\lbrack\frac{g}{\text{cm} \bullet s\rbrack}\ $$

Kulka 2:

$$u\left( \eta_{2} \right) = \eta_{2}(t_{2}/3t_{2})^{\frac{1}{2}} = 12,392\lbrack\frac{g}{\text{cm} \bullet s\rbrack} \bullet (0,2\lbrack s\rbrack/3 \bullet 4,96\lbrack s{\rbrack)}^{\frac{1}{2}} = 12,392\lbrack\frac{g}{\text{cm} \bullet s\rbrack} \bullet 0,116 = 1,437\lbrack\frac{g}{\text{cm} \bullet s\rbrack}$$

Kulka 3:

$$u\left( \eta_{3} \right) = \eta_{3}(t_{3}/3t_{3})^{\frac{1}{2}} = 10,222\lbrack\frac{g}{\text{cm} \bullet s\rbrack} \bullet (0,2\lbrack s\rbrack/3 \bullet 3,10\lbrack s{\rbrack)}^{\frac{1}{2}} = 10,222\lbrack\frac{g}{\text{cm} \bullet s\rbrack} \bullet 0,147 = 1,503\lbrack\frac{g}{\text{cm} \bullet s\rbrack}$$

1. Pomiar czasu ruchu kulki w wiskozymetrze Hopplera:

$\overset{\overline{}}{t} = \ \frac{\sum_{}^{}t_{i}}{n}$ $\overset{\overline{}}{t}$ = $\frac{88,78}{3}$ = 29,59 [s]

1. Współczynnik lepkości gliceryny w wiskozymetrze Hopplera:

k = 0,1216 x 10⁻² [cm²/s²]

$d_{k} = 6,190\ \frac{\lbrack g}{\text{cm}^{3}}\rbrack$

$d_{c} = 1,235\ \frac{\lbrack g}{\text{cm}^{3}}$]

η = k(d_k − d_c)•t

$\eta = 0,1216 \bullet 10^{- 2}\left( 6,190 - 1,235 \right) \bullet 29,59 = 0,178\lbrack\frac{g}{\text{cm} \bullet s\rbrack}$

1. Nie pewność lepkości

u($\eta) = \ \eta{(\frac{\text{Δt}}{3t)}}^{\frac{1}{2}}$

u(η)= 0,178(${0,2 3 \bullet 29,59\mathbf{)}}^{\frac{1}{2}}$ = 0,845${\bullet 10}^{- 2}\frac{\lbrack g}{\text{cm} \bullet s}\rbrack$

1. Wnioski

W pierwszej części ćwiczenia wrzucaliśmy do naczynia cylindrycznego wypełnionego prawdopodobnie gliceryna 3 kulki i na podstawie ich rozmiarów i wagi oraz czasu przebycia określonej drogi wyznaczaliśmy współczynnik lepkości danej cieczy. Metoda ta jest jednak niezbyt dokładna i możemy się w niej liczyć z różnymi błędami polegającymi np. na: niedokładności pomiaru czasu spadku, niedokładności pomiaru masy i średnicy kulek. niedokładność wyników dla kulek może wynikać z faktu, że są one zbudowane z różnych materiałów, o różnych współczynnikach tarcia względem cieczy jak i również z niedokładności ludzkiego wzroku lub przyrządu mierniczego. W drugiej części pomiarów badaliśmy ruch kulki w wiskozymetrze Hopplera. Gdzie kolejne czasy swobodnego spadku kulki stale malały, może to być efektem wzrostu temperatury cieczy zawartej w wiskozymetrze pod wpływem tarcia kulki, to może powodować obniżenie wartości współczynnika lepkości badanej cieczy. Wynik uzyskany w wiskozymetrze jest dokładniejszy.