EKONOMETRIA

1. Pojęcia: model ekonometryczny, dane statystyczne

• Model ekonometryczny stanowi równanie lub system równań, które opisują relacje między ekonomicznymi i nieekonomicznymi zmiennymi losowymi. Składa się z równań stochastycznych oraz niestochastycznych, zwanych tożsamościami. Przynajmniej jedno równanie musi mieć charakter stochastyczny.

• Model ekon. rozumiany jako równanie przedstawiony jest na ogół w postaci znormalizowanej tzn. po lewej stronie równania występuje zmienna objaśniana (Y) natomiast po prawej stronie występuje funkcja zawierająca zmienne objaśniające (Xk) oraz parametry.

• Model ek. w postaci ogólnej przedstawiający zależność między zmienną Y a zmiennymi (Xk) ma postać:

Y=f(X1,X2,…,Xk,ε)

gdzie Y-zm. objaśniana (endogeniczna)

X-zm. objaśniające (egzogeniczne

(k=1,2,…,K); K- liczba zmiennych objaśniających

ε- składnik losowy

• Dane statystyczne są materiałem statystycznym zebranym specjalnie do celu badania lub zebranym pierwotnie do innych celów, ale wykorzystywanym w badaniu. Rodzaje danych statystycznych będących podstawą budowy modelu można pogrupować na: dane przekrojowe, szeregi czasowe oraz dane przekrojowo-czasowe.

1. Etapy budowy modelu ekonometrycznego.

I. Specyfikacja modelu, na którą składają się:

a) określenie celu budowy modelu – ustalenie zmiennej/ zmiennych objaśnianych,
b) dobór zmiennych objaśniających – metoda a priori i a posteriori,
c) dobór postaci analitycznej modelu

Efektem specyfikacji jest hipoteza modelowa, która w dalszych etapach będzie podlegała weryfikacji.

II. Zebranie danych statystycznych do modelu:

a) dane przekrojowe,
b) szeregi czasowe,
c) dane przekrojowo-czasowe

III. Estymacja parametrów modelu

polega na szacowaniu parametrów w oparciu o próbę statystyczną z wykorzystaniem odpowiednich metod. Wyróżnia się:

- MNK

-metodę największej wiarygodności

-metodę momentów.

W wyniku estymacji uzyskujemy model empiryczny.

IV. Weryfikacja oszacowanego modelu

przebiegająca w dwóch płaszczyznach:

-ekonomicznej (polega na badaniu wielkości i znaków αk stojących przy zmiennych Xk)

-statystycznej (polega na obliczaniu odpowiednich wskaźników statystycznych oraz weryfikacji hipotez dotyczących wybranych własności modelu).

V. Praktyczne wykorzystanie modelu – analiza przeszłości, prognozowanie przyszłości, symulacja.

VI. Raport zawierający interpretację modelu oraz wskazówki wynikające z praktycznego wykorzystania modelu dla celów podejmowania decyzji gospodarczych.

1. Klasyfikacja modeli ekonometrycznych

1. Rodzaje modeli ze względu na wartości poznania

• Modele przyczynowo-skutkowe – pomiędzy zmienną objaśnianą, a zmiennymi objaśniającymi zachodzi związek przyczyna – skutek. Zmienne objaśniające określają poziom kształtowania się zmiennej objaśnianej, która spełnia rolę skutku.

• Modele symptomatyczne – zmienne objaśniające są silnie skorelowane ze zmienną objaśnianą, ale na nią bezpośrednio nie oddziaływają np. Y – płace; X- export

• Modele autoregresyjne – role zmiennej objaśniającej pełni opóźniona w czasie zmienna objaśniana np. model w postaci liniowej z dwiema zmiennymi objaśniającymi (zmienna objaśniana opóźniona jest odpowiednia o 1 i 2 okresy – Y_t-1 ; Y_t-2) Y=α₀+α₁Y_t−1+α₂Y_t−2+ε_t

• Modele tendencji rozwojowej – opisują rozwój zjawiska w czasie, zmienna objaśniającą jest zmienna czasowa t={1,2,3… n}

- modele trendu liniowego

Y=Y_t=α₀+α₁t+ε

- model trendu wykładniczego

Y=α₀α₁^te^ε

b) Rodzaje ze względu na postać analityczną funkcji

Y  =  α₀+ α₁X₁+α₂X₂  +  ε

B. Modele nieliniowe

- względem zmiennych objaśniających, ale liniowe względem parametru strukturalnego np. 

Y  =  α₀+ α₁X₁+α₂X ₁²+ ε

- nieliniowe zarówno względem zmiennych objaśniających jak i względem parametrów np.

$$\mathbf{Y}\mathbf{=}\frac{\mathbf{\alpha}_{\mathbf{0}}\mathbf{(}\mathbf{X}\mathbf{-}\mathbf{\alpha}_{\mathbf{2}}\mathbf{)}}{\mathbf{X}\mathbf{+}\mathbf{\alpha}_{\mathbf{2}}}\mathbf{+}\mathbf{\varepsilon}$$

- sprowadzenie do postaci liniowej np. modeli potęgowych z dwiema zmiennymi objaśniającymi

(X₁,X₂):y=α₀X₁^α₁X₂^α₂e^ε

c) Klasyfikacja modeli ze względu na rodzaje danych statystycznych

A. modele statyczne – modele dla zmiennych losowych ; obserwacje zmiennych dotyczą zbioru obiektów ekonomicznych w ustalonej jednostce czasu (są oparte na danych przekrojowych) np. y­₁, y₂….y­_n gdzie n jest liczbą obiektów.

B. modele dynamiczne – modele procesów stochastycznych ; obserwacje oparte są w szeregach czasowych (mogą dotyczyć zarówno jednego jak i wielu obiektów ekonomicznych, wówczas są to dane przekrojowo-czasowe) np. y₁, y₂…y_t gdzie t stanowi liczbę okresów.

d) Rodzaje modeli ze względu na linię równań

A. modele jednorównaniowe np. liniowy model jednorównaniowy

Y  =  α₀+ α₁X₁+α₂X₂  +  ε

B. modele wielorównaniowe np. wielorównaniowy model prosty o dwóch równaniach

Y₁=α₁₀ +α₁₁X₁+α₁₂X₂+ε₁

Y₂=α₂₀+α₂₃X₃+ε₂

1. Założenia KMNK i wyprowadzić wzór na estymator:

1. Model ma postać liniową (lub sprowadzalny do liniowej)

2. Zmienne objaśniające są nielosowe i tym samym nie są skorelowane ze składnikiem losowym. Zmienne ekonomiczne są zmiennymi losowymi, zatem konieczne jest przyjęcie założenia, że są one nieskorelowane ze składnikiem losowym czyli E(X_k ε) = 0 (E – wartość oczekiwana, kowariancja)

3. Pomiędzy żadną z podgrup zbioru zmiennych objaśnianych nie występuje dokładna zależność liniowa czyli r(X)= k+1 (rząd macierzy X jet równy liczbie parametrów strukturalnych modelu)

4. Wielkość próby jest większa od liczby szacowanych parametrów n> k+1

5. Wartość oczekiwana składnika losowego jest równa zero tj. E(ε) = 0

6. Wariancja składnika losowego jest skończona i stała (σ_ε² < nieskończoność) (wariancja jest jednorodna) natomiast kowariancje są równe zero (nie występuje autokorelacja składnika losowego). Stąd macierz wariancji – kowariancji składnika losowego (tzw. Czystość składnika losowego) ma postać:

$D^{2}\left( \varepsilon \right) = \ E\left( \varepsilon,\varepsilon^{T} \right) = \ \sigma^{2}I = \begin{bmatrix} \sigma_{11}^{2} & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & \sigma_{22}^{2} & \ldots & 0 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ 0 & 0 & \ldots & \sigma_{\text{NN}}^{2} \\ \end{bmatrix}$ przy czym: dla każdego i $\bigwedge_{}^{}i\sigma_{\text{ii}}^{2}$= σ²

Wzór na estymator

$$\psi = \sum_{i = 1}^{N}e_{i}^{2} = \ \sum_{i = 1}^{N}{\left( y_{i} - y_{i} \right)^{2}\ \Rightarrow}\ \min$$

Wykorzystując zależność$\ \sum_{i = 1}^{X}e_{i}^{2} = e^{T}e\ \rightarrow \min$ funkcja kryterium z zapisem macierzowym ma postać:

ψ = e^Te = (y − Xa)^T(y − Xa)

Gdzie

e=y-$\hat{y}$

$\hat{y}$=Xa

e=y-Xa

co da się przedstawić jako

ψ(a) = (y − Xa)^T(y − Xa)

ψ(a) = y^Ty − y^TXa − a^TX^Ty + a^TX^TXa

Po dokonaniu odpowiednich przekształceń otrzymuje się ostateczną postać funkcji kryterium φ

ψ(a) = y^Ty − 2a^TX^Ty + a^TX^TXa

Znajdowanie minimum powyższego kryterium

Funkcja posiada minimum w punkcie jeśli spełnione są dwa warunki :

Warunek I

Pochodna cząstkowa funkcji φ względem wektora ocen parametrów a równa jest zero:

$\frac{\partial\psi(a)}{\partial a} =$0

Warunek II

Druga pochodna cząstkowa funkcji φ (macierz Hessa) względem wektora parametrów a jest macierzą dodatnio określoną, czyli:

$$\frac{\partial^{2}\psi(a)}{\partial a^{2}} > 0$$

Rozwinięcie warunku I

Pochodna cząstkowa funkcji φ względem wektora ocen parametrów a dana jest wzorem:

$$\frac{\partial\varphi\psi(a)}{\partial a} = - 2X^{T}y + 2X^{T}\text{Xa}$$

Przyrównując wartość pochodnej funkcji φ do zera otrzymuje się:

$$\frac{\partial\psi(a)}{\partial a} = 0$$

X^TXa − X^Ty = 0

(X^TX)⁻¹/X^TXa = X^Ty

a = (X^TX)⁻¹X^Ty

Otrzymany wektor a jest wektorem ocen parametrów strukturalnych postaci:

$$a = \begin{bmatrix} a_{0} \\ \begin{matrix} a_{1} \\ \begin{matrix} \vdots \\ a_{K} \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \\ \end{bmatrix}$$

(K+1)

Gdzie:

a₀,a₁,…,a_K – oceny nieznanych parametrów strukturalnych będące rozwiązaniem KMNK

Rozwinięcie warunku II

Druga pochodna cząstkowa funkcji φ względem wektora a dana jest wzorem:

$\frac{\partial^{2}\psi(a)}{\partial a^{2}} = 2X^{T}X$ (dodatnio określona)

Przyrównując wartość drugiej pochodnej funkcji φ zgodnie z warunkiem na istnienie minimum funkcji, otrzymuje się:

2X^TX > 0

$$\frac{\partial^{2}\psi(a)}{\partial a^{2}} > 0$$

Rozwiązania funkcji kryterium φ są elementami wektora ocen parametrów strukturalnych a, danego wzorem:

a = (X^TX)^-1Xy, przy założeniu, że det(X^TX)^-1 0

1. Autokorelacja - TEST DW

Autokorelacja jest to zależność wartości bieżących obserwowanych w czasie t od wartości wcześniejszych obserwowanych w czasie t-1 (autokorelacja I rzędu)

Występowanie autokorelacji nie bada się w przypadku danych przekrojowych

Jeżeli składnik losowy η_{t (eta)} zawiera autokorelację I rzędu to zależność taką zapisujemy w postaci:

η_t= ρ_t η_t-1­+ ε_t

gdzie:

η_{t ­­}– (eta) składnik losowy zawierający autokorelacje

ε_t – składnik losowy nie zawierający autokorelacji

ρ_{t ­} - (ro) współczynnik autokorelacji I rzędu

Hipotezę zerowa i alternatywną badania autokorelacji zapisuje się odpowiednio w postaci:

H₀: ρ₁ =0 (brak autokorelacji I rzędu dla składnika losowego – dobrze dla modelu)

H₁ : ρ₁≠0 (występuje autokorelacja I rzędu składnika losowego)

(ρ_t > 0 autokorelacja I rzędu dodatnia; ρ_t < 0 autokorelacja I rzędu ujemna)

Weryfikację powyższych hipotez przeprowadza się w oparciu o statystykę Durbina Watsona daną wzorem:

$$\mathbf{\text{DW}}\mathbf{=}\frac{\sum_{\mathbf{t}\mathbf{= 2}}^{\mathbf{t}}{\mathbf{(}\mathbf{e}_{\mathbf{t}}\mathbf{-}\mathbf{\ }\mathbf{e}_{\mathbf{t}\mathbf{-}\mathbf{1}}\mathbf{)}}^{\mathbf{2}}}{\sum_{\mathbf{t}\mathbf{= 1}}^{\mathbf{t}}\mathbf{e}_{\mathbf{t}}^{\mathbf{2}}}\mathbf{\ }$$

Gdzie:

e_t = reszty z modelu z okresu t; e_t-1 = reszty z modelu z okresu t-1

Wartość statystyki DW zawiera się w zbiorze [0;4].

Jeżeli DW ε [0;2) to zakłada się występowanie autokorelacji dodatniej i hipoteza alternatywna ma postać H₁: ρ_t > 0

DW ε [0;2) – autokorelacja dodatnia ρ_t > 0

DW = 2 – brak autokorelacji

DW ε (2;4] – autokorelacja ujemna ρ_t < 0

Jeżeli DW ∈ (2;4], to zakłada się występowanie autokorelacji ujemnej i hipoteza alternatywna ma postać:

H₁ : ρt  < 0

Jeżeli DW=2, to stwierdza się brak autokorelacji I rzędu składnika losowego.

Jeżeli DW, DW* ≥ D_U , wówczas nie mamy podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej, stwierdza się brak autokorelacji I rzędu składnika losowego.

Jeżeli D_L<DW, DW*<D_U stwierdza się obszar niekonkluzywności, test nie daje odpowiedzi i trzeba zastosować testy alternatywne do rozstrzygnięcia hipotez.

Jeżeli DW, DW*≤D_L, wówczas odrzuca się hipotezę zerową na rzecz hipotezy alternatywnej mówiącej o występowaniu autokorelacji I rzędu składnika losowego.

Występowanie autokorelacji jest błędem specyfikacji modelu i jest zjawiskiem niepożądanym.

Przyczyna występowania autokorelacji dodatniej:

-uwzględnienie zbyt małej liczby zmiennych objaśniających modelu

Przyczyna występowania autokorelacji ujemnej:

-uwzględnienie zbyt dużej liczby zmiennych objaśniających modelu

Autokorelację może też powodować błędna postać analityczna modelu lub niewłaściwa transformacja zmiennych objaśniających.

W modelu w którym występuje autokorelacja I rzędu składnika losowego nie są spełnione wszystkie założenia KMNK, dlatego też nie można zastosować tej metody do szacowania parametrów.

6. Czemu w równaniach łącznie współzależnych nie można stosować KMNK

W modelu o równaniach łącznie współzależnych żadne z równań nie spełnia warunku o nieskorelowaniu zmiennych objaśniających ze składnikiem losowym dlatego poszczególnych równań nie można oszacować klasyczna MNK. Model o równaniach łącznie współzależnych można oszacować pod warunkiem, że wszystkie równania modelu są identyfikowalne.

nie da się stosować KMNK dlatego stosujemy PMNK (pośrednią MNK) lub 2MNK (podwójną MNK)

1. Metoda a priori i a posteriori

Metoda a priori polega na tym, że do modelu wchodzą zm. objaśniające XK będące bezpośrednimi przyczynami zmiennej objaśnianej Y lub wobec braku możliwości określenia przyczyn, zmienne XK najsilniej skorelowane ze zmienną Y. Jednocześnie zmienne XK powinny być skorelowane ze sobą w jak najmniejszym stopniu. Metoda a priori - dobór zmiennych objaśniających XK przed estymacją modelu.

Metoda a posteriori – zmienne objaśniające, które w nieistotny sposób wpływają na zmienną objaśnianą należy usunąć z modelu. Metoda eliminacji zmiennych nieistotnych po oszacowaniu modelu nazywa się metodą eliminacji a posteriori. Metoda a posteriori – dobór zmiennych objaśniających XK po estymacji modelu.

8. Jak rozwiązać zadania sprowadzając model potęgowy do postaci liniowej?

1. obustronne logarytmowanie równania:

Y = α0X1α1X2α2…XKαK eε / ln

Otrzymujemy: lnY = ln (α0X1α1X2α2…XKαK eε)

2. korzystamy z własności logarytmów

ln(ab) = lna + lnb

ln ab = b lna 

lnY = ln α0 + lnX1α1 + lnX2α2…lnXKαK + lneε

3. z własności:

ln ab = b lna;

lne = 1 

lnY = ln α0 + α1 lnX1 + α2 lnX2+…+αK lnXK + ε  postać liniowa modelu potęgowego

4. dla przejrzystości zapisu:

lnY = Y*, lnX1=X1*,…, lnXK=XK*, ln α0 = α0*  Y* = α0* + α1X1*+ α2X2*+…+ αKXK + ε

Model logarytmiczny: Y = α0 + α1 lnX1+…+ αK lnXK + ε

Sprowadzenie do postaci liniowej  podstawienie w miejsce logarytmów zmiennych postaci: X1* = lnX1,…, XK* = lnXK

Mamy więc: Y = α0 + α1X1*+…+αKXK* + ε

Cobb-Douglas: wzór funkcji produkcji (w postaci potęgowej): Y = α0 Lα1Kα2eε

logarytmowanie do postaci liniowej: Y* = α0* + α1L*+ α2K* + ε ostateczny model: y*= x•Lα1K α2•eε

interpretacje dla α1 i α2: Jeśli zatrudnienie [nakłady] wzrośnie średnio o 1% to wielkość produkcji wzrośnie/spadnie o α1 [α2] przy pozostałych czynnikach niezmienionych.

korzyści/niekorzyści skali: α1 + α2 > 1 korzyści skali; α1 + α2 < 1 niekorzyści skali; α1 + α2 = 1 brak efektów skali

interpretacja: Jeśli zatrudnienie i nakłady wrosną o 1% to produkcja wzrośnie/spadnie średnio o (sumę α1 i

9. interpretacja (I-B) i (I-B)^-1

(*) Macierz (I-B) nazywana jest macierzą struktury techniczno finansowej (lub macierzą Leontieffa w ujęciu finansowym). Jej elementy interpretujemy następująco: o ile wzrośnie produkcja finalna w dziale „i” jeżeli produkcja globalna w dziale „j” wzrośnie o 1 zł.

(**) Macierz (I-B)^-1 nazywana jest macierzą współczynników materiałochłonności (lub dodatkowego zapotrzebowania) w ujęciu finansowym. Jej elementy interpretujemy następująco: o ile zł należy zwiększyć produkcję globalną w dziale „i” aby produkcja finalna (końcowa) w dziale „j” wzrosła o 1 zł.

10. wypisać założenia predykcji

Założenia predykcji dokonywanej na modelu ekonometrycznym

1. Dysponujemy modelem ekonometrycznym (oszacowane parametry stochastyczne, określone dopasowanie modelu)

2. Struktura opisywanych przez model zjawisk jest stabilna w czasie:

   1. Nie zmienia się postać analityczna modelu w okresie próby

   2. Nie zmieniają się parametry strukturalne modelu

3. Znane są wartości zmiennych objaśniających w okresie prognozowanym (X_t)

- w okresie próby

$$Y_{t} = \sum_{k = 1}^{K}{a_{k}X_{\text{kt}} + \varepsilon_{t}}$$

- w okresie prognozowanym:

$$Y_{T} = \sum_{k = 1}^{K}{a_{k}X_{\text{kT}} + \varepsilon_{T}}$$

Planuje się, że zmienne objaśniane osiągną dany poziom (prognozowane X_t na podstawie modelu trendu /sezonowości/)

1. Rozkład składnika losowego jest stabilny w czasie

Jeżeli rozkład składnika losowego nie spełnia tego założenia, a zmiany są regularne i niewielkie wówczas można jest opisać, natomiast gdy są nieregularne i duże, nie można ich opisać E(ε) = 0 E(ε,ε^′) = δ²I

1. Dopuszczalna jest ekstrapolacja modelu poza obserwowany w próbie obszar zmienności zmiennych objaśniających. Nie są planowane żadne zmiany prawne organizacyjne itp. W przewidzianym horyzoncie czasu.

12. Przykład modelu 2-równaniowego zmiennych łącznie współzależnych.

Y1t= α10+β12Y2t+ α11X1t+ ε1t

Y2t= α20+β21Y1t+α22X2t+ε2t

13. napisać wzór na wariancje predykcji i wytłumaczyć oznaczenia

wariancji predykcji:

V²_T = (1+X_T(X^TX)^-1X^T_T) * S(e)²

X_T,X_T^T - wektor zmiennych objaśniających w okresie prognozowanym

14. do czego się stosuje zmienne zero-jedynkowe

wykorzystujemy ją w celu opisania cech binarnych, np.

upadłość podmiotu gospodarczego (upadek/dalsza działalność),

miejsce zamieszkania (miasto/wieś),

finansowanie działalności (kapitał własny/obcy),

decyzja zgromadzenia akcjonariuszy o wypłaceniu dywidendy (tak/nie)

Model logitowy (1-spełania warunek,0- nie spełnia warunku), model sezonowości i trendu

Model logitowy – transformacja logitowa polega na zamianie prawdopodobieństwa z przedziału <0,1> na przedział (-∞;+∞)

15. Badanie istotności parametrów (testy)

Istotność parametrów strukturalnych

Dany jest model z K zmiennymi objaśniającymi

Y_t= a₀ + a₁x_1t + a₂x_2t + … + a_kx_kt + e_t

S(a₀) S(a₁) S(a₂) S(a_k)

Badanie istotności parametrów strukturalnych za pomocą testu t-Studenta.

Statystyka t posiada przy założeniu prawdziwości H_0, rozkład t-Studenta

H₀ : a₁ = 0

H₁: a₂ ≠ 0

$t_{k} = \ \frac{a_{k}}{{S(a}_{k})}$ Jeżeli wartość t znajduje się w obszarze krytycznym (przekracza 2) => odrzucamy H_o na rzecz H₁

a_k- ocena parametru a_k

S(a_k) - średni błąd parametru a_k

Wartość krytyczną testu t_{a N − (K + 1)} odczytuje się z tablic rozkładu przy ustalonym poziomie istotności α oraz N-(k+1) liczbie stopni swobody.

Odczytuje wartości prawdopodobieństwa empirycznego.

Wartość statystyki z próby t_ak wyznacza się na podstawie wzoru

1. Jeżeli  |t_ak|>2 -> odrzucamy H₀ na rzecz H₁

2. Porównanie poziomu istotności α z wartością p

Wartość p to prawdopodobieństwo empiryczne przy którym odrzucilibyśmy hipotezę zerową:

Poziom istotności α = 0, 05; 0, 01; 0, 1

Poziom α 0,05 ≥ wartość p 0,0004 ->odrzucamy H₀ na rzecz H₁

Poziom α 0,05 , wartość p 0,22 -> nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej

Badanie istotności parametrów strukturalnych za pomocą testu F

Badanie istotności parametrów strukturalnych testem F

Badanie istotności parametrów strukturalnych testem F polega na badaniu istotności wszystkich parametrów strukturalnych łącznie. W badaniu pomija się wyraz wolny

H₀: a₁=…=a_k=0 (parametry strukturalne nieistotne różnią się od zera tj. wszystkie zmienne objaśniające X nieistotnie wpływają na zmienną objaśnianą Y)

H₁: a₁=0 v … v a_k =0 (co najmniej jeden parametr strukturalny istotnie różni się od zera tj. co najmniej jedna zmienna objaśniająca X istotnie wpływa na zmienną objaśnianą Y)

Weryfikacja powyższych hipotez przebiega w oparciu o statystykę F Fishera Snedecora. Wartość krytyczna testu F_a1,r1,r2 odczytywana z tablic rozkładu przy ustalonym poziomie istotności α oraz r₁= K ; r₂ = N – K – 1 stopniach swobody.

Wartości statystyki F. z próby wyznacza się ze wzoru

$$F = \frac{R^{2}}{1 - R}\ \frac{N - K - 1}{K}$$

Gdzie:

N - liczebność próby

K – liczba zmiennych objaśniających X_k

R² –współczynnik determinacji

|r|-> max p -> max

[ pojedynczo; badamy model, badanie istotności ponownie]

(( patrzeć czy p<0,05 – usunąć wszystkie które są większe))

16. omówić model logitowy

Funkcja logitowa / logit - funkcja stosowana w statystyce (metoda regresji logistycznej) do przekształcania prawdopodobieństwa na logarytm ilorazu szans:

Przekształcenie odwrotne:

17. interpretacja, ocena modelu, R^2 i DW

Mierniki jakości modelu

Współczynnik determinacji R² oraz współczynnik zbieżności φ² oblicza się z tzw. równości wariancyjnej.

Równość wariancyjna wyraża całkowitą zmienność zmiennej objaśnianej, podzieloną na: zmienność wynikającą z oszacowania modelu ekonometrycznego S²(ŷ) oraz zmienność resztową S²(e_t)

Równość wariancyjną zapisać można wzorem:

S²(y_i) = S²(ŷ_i) +S²(e_t)

$$1 = \frac{S^{2}(\hat{y_{i}})}{S^{2}(y_{i})} + \frac{S^{2}(e_{t})}{S^{2}(y_{t})}$$

Stąd:

1 = R²+ φ2

$$R^{2} = \frac{S^{2}(\hat{y_{i}})}{S^{2}(y_{i})}$$

$$\varphi 2 = \frac{S^{2}(e_{t})}{S^{2}(y_{t})}$$

φ²= 1- R

R²; φ² Є [0,1]

R² powinno dążyć do 1

φ² powinno dążyć do 0

Y = α₀ + α₁X_1i + α₂X_2i + … + +α_KX_Ki + ε

| | |

y_i $\hat{y_{i}}\ $ e_i

Współczynnik determinacji R² wyraża udział zmienności części teoretycznej modelu ($\hat{y_{t}} - \overset{\overline{}}{y})$ w całkowitej zmienności objaśnianej.

Współczynnik R² jest miarą jakości dopasowania modelu do danych empirycznych. Im bliższa jedności wartość współczynnika R² (R² → 1) , tym w większym stopniu model jest dopasowany do danych α z próby i tym większe jest wyjaśnienie zmiennych Y przez zmienne objaśniające X_k.

$$R^{2} = \frac{\sum_{i = 1}^{N}{\hat{{(y}_{i}} - \overset{\overline{}}{y})^{2}}}{\sum_{i = 1}^{N}{{(y}_{i} - \overset{\overline{}}{y})^{2}}}$$

18. Błąd predykcji ex ante – wzór i interpretacja.

Średni błąd predykcji:

$V_{T} = \ \sqrt{V_{T}^{2}}$

(informuje o ile średnio w długim ciągu prognoz rzeczywiste realizacje zmiennej prognozowanej będą różnić się od wartości wyliczonych prognoz)

19. Postać modelu programowania liniowego i wyjaśnić oznaczenia.

Standardowe zadanie programowania liniowego

Rozważmy proces, w którym zmiennymi są x₁,x₂,…,x_n

Proces poddany jest m ograniczeniom, zapisanym w postaci:

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + … + a_1nx_n = b₁

a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + … + a_2nx_n = b₂

…

a_m1x₁ + a_m2x₂ + … + a_mnx_n = b_n

a_ij ; b_i – różne współczynniki m<n

b_i – ograniczenia

Dopuszczamy jedynie nieujemne wartości x­_j czyli

X_j ≥ 0 j= 1,2,…,n

Zakładamy również, że

b_i­­ ≥ 0 i=1,2,…, m

Z procesem związana jest funkcja Z

Z= c₁x₁+c₂x₂+…+c_nx_n

c_j – j=1,2,3…,n – znane współczynniki

c_j – współczynniki jednostkowego zysku/kosztu

Zagadnienie polega na maksymalizacji (minimalizacji) funkcji Z spełniających ograniczenia (1),(2), (3)

Zapis:

(funkcja celu) $\text{FC}\ :Z = \sum_{j = 1}^{n}{c_{j}x_{j}}\text{\ \ \ \ } \rightarrow \max$

(ograniczenia) $O:\ \left\{ \begin{matrix} \sum_{j = 1}^{m}{a_{\text{ij}}x_{j} = b_{i}} \\ x_{j} \geq 0 \\ b_{i} \geq 0 \\ \end{matrix} \right.\ \ j\left( i \right) = 1,2,\ldots.,\ n(m)$

Zapis w postaci macierzowej

FC: Z=c^Tx -> max

O:$\ \left\{ \begin{matrix} \text{Ax} = b \\ x \geq 0 \\ b \geq 0 \\ \end{matrix} \right.\ $

c – wektor współczynników funkcji celu

x- wektor zmiennych decyzyjnych

A – macierz technologicznych współczynników

B – wektor ograniczeń

$$A:\ \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{\text{mn}} \\ \end{bmatrix}\text{\ \ \ \ \ }c = \begin{bmatrix} c_{1} \\ c_{2} \\ \ldots \\ c_{n} \\ \end{bmatrix}\text{\ \ \ \ \ }x = \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ \ldots \\ x_{n} \\ \end{bmatrix}\text{\ \ \ \ \ }b = \begin{bmatrix} b_{1} \\ b_{2} \\ \ldots \\ b_{n} \\ \end{bmatrix}$$

Bardzo powszechna w zagadnieniach praktycznych odmianą ograniczeń są ograniczenia w postaci nierówności. To też są zagadnieniem programowania liniowego ale nie w postaci standardowej.

20. Na czym polega badanie jednorodności wariancji składnika losowego w modelu ekonometrycznym ? Przedstawić odpowiedni test. Jakie są konsekwencje niejednorodności wariancji?

Jednorodność wariancji składnika losowego

$$E(\varepsilon,\varepsilon^{T}) = \begin{bmatrix} \delta_{11}^{2} & \begin{matrix} 0 & \ldots \\ \end{matrix} & 0 \\ \begin{matrix} \begin{matrix} 0 \\ \vdots \\ \end{matrix} \\ 0 \\ \end{matrix} & \begin{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} \delta_{22}^{2} & \ldots \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} \vdots & \ddots \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 & \ldots \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} & \begin{matrix} \begin{matrix} 0 \\ \vdots \\ \end{matrix} \\ \delta_{\text{NN}}^{2} \\ \end{matrix} \\ \end{bmatrix}$$

Ta wariancja jest jednorodna δ₁₁² = δ₂₂² = δ_ii² = δ²

Małe firmy

Duże firmy

$\begin{bmatrix} \begin{matrix} 0,3 \\ \begin{matrix} 0,41 \\ 0,5 \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} \begin{matrix} 3,8 \\ 2,9 \\ \end{matrix} \\ 11,4 \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} & \begin{matrix} \begin{matrix} e_{1} \\ e_{2} \\ e_{3} \\ \end{matrix} \\ e_{4} \\ \begin{matrix} e_{5} \\ e_{6} \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \\ \end{bmatrix}$ y-$\hat{y_{i}}$=e_i

Jednorodność wariancji, podobnie jak założenie o braku autokorelacji, wynika z budowy macierzy wariancji – kowariancji, składnika losowego (wymaganej w KMNK) postaci

$$E\left( \varepsilon,\varepsilon^{T} \right) = \begin{bmatrix} \delta_{11}^{2} & \begin{matrix} 0 & \ldots \\ \end{matrix} & 0 \\ \begin{matrix} \begin{matrix} 0 \\ \vdots \\ \end{matrix} \\ 0 \\ \end{matrix} & \begin{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} \delta_{22}^{2} & \ldots \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} \vdots & \ddots \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 & \ldots \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} & \begin{matrix} \begin{matrix} 0 \\ \vdots \\ \end{matrix} \\ \delta_{\text{NN}}^{2} \\ \end{matrix} \\ \end{bmatrix}$$

Przy czym $\bigwedge_{i}^{}\delta_{\text{ii}}^{2} = \delta^{2}$

Elementy na głównej przekątnej stanowią wariancję składnika losowego δ_ii² (i=1,2,…,N)

Z założenia KMNK wynika, że wariancja składnika losowego jest stała, tzn.: elementy na głównej przekątnej są sobie równe δ₁₁² = δ₂₂² = …=δ_NN². Jeżeli założenie to nie jest spełnione, estymator KMNK nie posiada własności efektywności (tzn.: wariancja nie jest najmniejsza z możliwych i np.: w teście t –Studenta wychodzi, że zmienna jest nieistotna, a tak naprawdę jest istotna).

y_i = α₀ + α₁X₁ + e_i

S(α₀)

$$t = \frac{\alpha_{1}}{S(\alpha_{1})\ }$$

Weryfikacja jednorodności wariancji składnika losowego przebiega w oparciu o hipotezy postaci:

Hipoteza jednorodności H₀:

H₀ :  δ₁² = δ₂²

H₁ : δ₁² ≠ δ₂²

Gdzie:

δ₁², δ₂² - wariancje składnika losowego odpowiednio z pierwszej i drugiej podpróby (standardowo dzieli się próbę na dwie równe części)

Statystyka F z próby (do licznika wpisujemy większą)

$$F = \frac{S_{e_{1}}^{2}}{S_{e_{2}}^{2}}$$

Gdzie:

S_e1²,  S_e2² −  estymatory wariancji resztowych odpowiednie dla pierwszej i drugiej podproby

Statystyka F wymaga, aby w liczniku znalazła się większa wartość estymatora wariancji resztowej.

Statystykę F porównuje się z wartością krytyczną testu F_{α, r1, r2} pochodzącą z tablic rozkładu testu F – Shedecora przy danym poziomie istotności α oraz przy r₁,  r₂ stopniach swobody gdzie

r₁ = n₁ − (K + 1), n₁ - liczebność pierwszej podpróby

r₂ = n₂ − (K + 1), n₂ - liczebność drugiej podpróby

W przypadku niejednorodności wariancji składnika losowego (heteroskedostyczności składnika losowego [homoskedostyczność składnika losowego – jednorodność składnika losowego]) nie można zastosować klasycznej metody najmniejszych kwadratów do oszacowania parametrów modelu. Należy posłużyć się uogólnioną metodą najmniejszych kwadratów.

21.Opisz miary dokładności prognozy ex post.

Mierniki błędu ex post

Błąd prognozy stanowi różnice między realizacją zmiennej prognozowanej a prognozą, co zapisuje się w postaci zależności:
δ_T = y_T - y_TP

Średni błąd prognozy:

Wariancja błędu:

$$\delta_{T}^{2} = \frac{1}{n}\sum_{T = N + 1}^{N + h}{(y_{T} - y_{\text{TP}})}$$

Gdzie h – horyzont prognozy

Średni błąd w całym okresie prognozowanym

$$\delta_{T} = \sqrt{\delta_{T}^{2}}$$

Względny błąd prognozy

$$\delta_{T}^{*} = \frac{\delta_{T}}{y_{T}}*100\%$$

Jeżeli _T^* ≤ _G^* to prognoza jest trafna. Natomiast jeśli δ_T^* > _G^* wówczas prognoza nie jest trafna.

Granicę błędu _G^* przyjmuje się zazwyczaj 5% lub 10%

22. etapy badania ekonometrycznego

Weryfikacja statystyczna modelu ekonometrycznego przebiegać może według następujących etapów:

1. Badanie istotności parametrów strukturalnych α₁:

a) Test t-Studenta

b)Test F

2. Badanie dopasowania modelu do danych empirycznych

a) Współczynnik zbieżności i współczynnik determinacji

b) Współczynnik zbieżności losowej

3. Weryfikacja właściwości struktury stochastycznej

a) Losowości składnika losowego

b) Normalności rozkładu składnika losowego (Test Jarqe-Bera)

c) Autokorelacja składnika losowego

d) Jednorodność wariancji składnika losowego

4. Inne użyteczne testy

a) Badanie liniowości postaci funkcji

b) Badanie stabilności parametrów strukturalnych modelu

23. metoda estymacji modelu rekurencyjnego

Wyróżnia się następujące metody estymacji:

- metoda najmniejszych kwadratów

- metoda największej wiarygodności

- metoda momentów

24. wymienić i napisać wzór na współczynnik determinacji, zbieżności i zmienności losowej

Współczynnik determinacji R² wyraża udział zmienności części teoretycznej modelu ($\hat{y_{t}} - \overset{\overline{}}{y})$ w całkowitej zmienności objaśnianej.

Współczynnik R² jest miarą jakości dopasowania modelu do danych empirycznych. Im bliższa jedności wartość współczynnika R² (R² → 1) , tym w większym stopniu model jest dopasowany do danych α z próby i tym większe jest wyjaśnienie zmiennych Y przez zmienne objaśniające X_k.

$$R^{2} = \frac{\sum_{i = 1}^{N}{\hat{{(y}_{i}} - \overset{\overline{}}{y})^{2}}}{\sum_{i = 1}^{N}{{(y}_{i} - \overset{\overline{}}{y})^{2}}}$$

Współczynnik zbieżności φ²  , który wyraża udział odchyleń wartości oszacowanych od wartości obserwowanych ${(y}_{i} - \hat{y})\ $, w całkowitej zmienności zmiennej objaśnianej. Współczynnik φ² wskazuje w jakim stopniu kształtowanie się zmiennej objaśnianej Y nie zostało wyjaśnione przez model. Dlatego też pożądane są wartości φ² bliskie zera (φ²->0).

Współczynnik zmienności losowej

$$\text{Ve} = \frac{\text{Se}}{\overset{\overline{}}{y}}*100$$

*powinien być < 20% (koszty w przedsiębiorstwie, inflacja, oszczędności)

*180% gdy ryzyko jest duże (w finansach)

Macierz wariancji – kowariancji D²(a) po wyliczeniu:

$$D^{2}\left( a \right) = \begin{bmatrix} \begin{matrix} \text{var}(a_{0}) & \text{cov}(a_{1},a_{0}) & \begin{matrix} \cdots & \text{cov}(a_{K},a_{0}) \\ \end{matrix} \\ \text{cov}(a_{0},a_{1}) & \text{var}(a_{1}) & \begin{matrix} \ldots & cov(a_{K},a_{1}) \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} \vdots \\ \text{cov}(a_{0},a_{K}) \\ \end{matrix} & \begin{matrix} \vdots \\ \text{cov}(a_{1},a_{K}) \\ \end{matrix} & \begin{matrix} \begin{matrix} \ddots & \text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ } \vdots \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} \cdots & \text{var}(a_{K}) \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \\ \end{bmatrix}$$

(K+1)(K+1)

Gdzie:

Cov(a_k, a_t) – kowariancje ocen parametrów strukturalnych dla k≠s.

Pierwiastki z elementów na głównej przekątnej macierzy D²(a) stanowią średnie błędy ocen parametrów strukturalnych.

$$\sqrt{\text{Var}(a_{0})} = S(a_{0})$$

$$\sqrt{\text{Var}(a_{1})} = S(a_{1})$$

…………………

$$\sqrt{\text{Va}r(a_{K})} = S(a_{K})$$

Średnie błędy ocen parametrów przy oszacowanej postaci modelu zapisuje się jako:

$$y_{i} = \ \begin{matrix} a_{0} \\ S(a_{0}) \\ \end{matrix} + \begin{matrix} a_{1}X_{1i} \\ S(a_{1}) \\ \end{matrix} + \ldots + \begin{matrix} a_{K}X_{\text{Ki}} \\ S(a_{K}) \\ \end{matrix}$$

Gdzie:

$\hat{y_{i}}$ - wartości teoretyczne (oszacowane) zmiennej objaśnianej Y

X_Ki - obserwacje na zmiennej objaśniającej X_k

a₀ - ocena wyrazu wolnego

a_K- ocena parametrów strukturalnych modelu

S(a_K) – średnie błędy ocen parametrów strukturalnych

Interpretacja średnich błędów ocen parametru

Szacując parametry strukturalne modelu na podstawie N-elementarnej próby mylimy się średnio o S(a_k) w stosunku do oceny parametru a_k

25. Podać definicję dopasowania, wzory i miary dopasowania.

Miary dopasowania w modelach zmiennych jakościowych

Podstawowe miary dopasowania opierają się na różnorodnych odpowiednikach współczynnika determinacji R2. Wśród nich wyróżniamy miary oparte:

-na wartości funkcji wiarygodności,

-na własnościach predykcyjnych modelu.

-Poza miarami, które wykorzystują wartość funkcji wiarygodności, pozostałe można wykorzystać również do oceny LMP.

26. Współczynnik determinacji R2 McFaddena:

Zaliczany jest do miar wykorzystujących wartość funkcji wiarygodności. Określany jest mianem współczynnika pseudo R2. Wyraża się wzorem:

gdzie: oznaczenia są analogiczne jak we wzorze (15).

Współczynnik determinacji R2 McFaddena

 Dla modeli z 0-1 zmienną objaśnianą współczynnik determinacji przyjmuje zazwyczaj niskie wartości. Jest to charakterystyczna sytuacja dla modeli szacowanych w oparciu o duże zbiory mikrodanych.

 Niska wartość współczynnika nie oznacza jego nieistotności. Istotność badana jest testem F. Dla przykładu dla modelu z dwiema zmiennymi objaśniającymi oszacowanego KMNK na podstawie próby N = 1000, wartością graniczną dla R2 (przy poziomie istotności α = 0,01) jest wartość R2 = 0,2.

27. Test współczynnika korelacji:

Jednym ze sposobów na sprawdzenie, w jakim stopniu oszacowany model jest dopasowany do danych empirycznych, jest zbadanie istotności współczynnika korelacji pomiędzy szeregiem wartości empirycznych i szeregiem wartości teoretycznych modelu . Współczynnik determinacji R2 jest równy kwadratowi współczynnika korelacji Pearsona: yi pi ˆ

W hipotezie zerowej zakładamy zerową wartość współczynnika korelacji Pearsona:

Test współczynnika korelacji

Hipotezy weryfikujemy na podstawie statystyki t postaci:

Test współczynnika korelacji

 Wartość statystyki (18) jest zbieżna do rozkładu t-Studenta z N-2 stopniami swobody. Jeżeli t < , to mamy brak podstaw do odrzucenia H0. W przypadku, kiedy to odrzucamy H0.

 Istnieje również możliwość obliczenia współczynnika R2, jako kwadrat współczynnika korelacji pomiędzy szeregiem wartości empirycznych yi, a szeregiem wartości prognozowanych . Przyjmuje on postać:

28. Jak się szacuje równania rekurencyjne?

W modelu rekurencyjnym występuje jednokierunkowe powiązanie między zmiennymi łącznie współzależnymi (Y₁ -> Y₂ -> Y₃) a macierz B jest macierzą trójkątną

Estymacja parametrów modelu rekurencyjnego (KMNK – sekwencyjnie w określonej kolejności)

Problem w równaniu II E(Y_1t ε_2t) ≠ 0 a wg założeń KMNK powinny być = 0. Co oznacza że estymator jest niezgodny a na potrzeby KMNK powinien być zgodny. Wówczas stosuje się zmienne instrumentalne ZI (IV) (jako instrument wykorzystuje się wartości Y_1t  oszacowane z równania I.

Y_2t= α₂₀+β₂₁$\hat{Y_{1t}}$ + α₂₂X_2t +ε_{2t -> KMNK}

29. oszacować parametry strukturalne 2MNK
Podwójna metoda najmniejszych kwadratów (2MNK)

Istota podwójnej MNK polega na dwukrotnym zastosowaniu klasycznej MNK. W pierwszej kolejności stosuje się KNMK do oszacowania parametrów strukturalnych postaci zredukowanej modelu, analogicznie jak w przypadku pośredniej MNK

Oszacowane elementy macierzy Π wykorzystuje się do obliczenia wartości teoretycznych (wyrównanych) zmiennych łącznie współzależnych postaci zredukowanej, korzystając z poniższego układu równań

Ŷ₁ = Π₁₀ + Π₁₁X₁+…+ Π­_1KX_K

Ŷ₂ = Π₂₀ + Π₂₁X₁+…+ Π­_2KX_K

_{…………………………………………………………………}

Ŷ_G = Π_G0 + Π_G1X₁+…+ Π­_GKX_K

Po raz drugi stosuje się klasyczna MNK do oszacowania parametrów postaci strukturalnej modelu, gdzie podstawia się wyliczane wartości teoretyczne zmiennych łącznie współzależnych postaci zredukowanej tj ŷ_1t , ŷ_{2t , … ,} ŷ_Gt

y_1i =b₁₂ŷ_2i+…+b_1Gŷ_Gi+a₁₀+a₁₁X_1i+…+a_1KX_Ki+e₁

y_2i =b₂₁ŷ_1i+…+b_2Gŷ_Gi+a₂₀+a₂₁X_1i+…+a_2KX_Ki+e₂

……………………………………………………………………

y_1i =b_Giŷ_2i+…+b_G(G-1)ŷ(_G-1)i+a_G0+a_G1X_1i+…+a_GKX_Ki+e_G

Estymator wariancji resztowej oraz standardowy błąd reszt i – tego równania postaci strukturalnej dane są takimi samymi wzorami co w przypadku KMNK.

30. tworzenie produkcji globalnej i warunek cząstkowy układu?

Układ równań bilansowych produkcji globalnej (X_j)

Bilans tworzenia produkcji globalnej (równania kosztów)

Wartość produkcji = koszty materiałów + płace + zyski

$$x_{j} = \sum_{j = 1}^{n}{x_{\text{ij}} + {(M}_{j} + V_{j})}\ \ \ \ \ \ \ \ (j = 1,2\ldots n)$$

$$x_{j} = \sum_{j = 1}^{n}{b_{\text{ij}}X_{j} + D_{j}}\ \ \ \ \ \ \ \ (j = 1,2\ldots n)$$

Warunek równowagi cząstkowej układu

Układ gospodarczy jest w równowadze cząstkowej, jeżeli wartość produkcji liczona według:

• Bilansu podziału oraz

• Bilansu powstania

Są sobie równe tj.:

X_i = X_j (i=j ; i,j =1,2…n)

$$\sum_{j = 1}^{n}{b_{\text{ij}}X_{j} + D_{j}}\ = \ \sum_{i = 1}^{n}{x_{\text{ij}} + {(M}_{j} + V_{j})}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }(i = j\ ;\ i,j\ = 1,2\ldots n)\ $$

Warunek równowagi ogólnej układu:

Układ gospodarczy jest w równowadze ogólnej jeżeli wartość dodana w układzie jest równa produkcji końcowej (finalnej) układu

$$\sum_{j = 1}^{n}{D_{j} = \sum_{i = 1}^{n}x_{i}}$$

$$\sum_{j = 1}^{n}{{(M}_{j} + V_{j}) = \sum_{i = 1}^{n}x_{i}}$$

Warunek samowystarczalności układu

Układ gospodarczy nazywamy samowystarczalnym, jeżeli dla każdego działu produkcja finalna (końcowa) jest nieujemna, tj.:

x_i ≥ 0 (i=1,2…n)

x≥0 (w zapisie macierzowym)

31. badanie normalności składnika losowego. naczym polega i wzór

Normalność rozkłady składnika losowego:

Badanie polega na porównaniu rozkładu składnika losowego z próby z postulowanym teoretycznym rozkładem normalnym. Jest to test dla dużych prób (n>100)

H₀ : F(e_i) = F_N(e_i) - dystrybuanta rozkładu reszt

H₁ :  F(e_i) ≠ F_N(e_i) - dystrybuanta rozkładu normalnego

Rozkład statystyki Bery Jarque’a (JB) jest zbieżny do rozkładu chi – kwadrat o 2 stopniach swobody X_α²(2)

Statystyka Bery Jarque’a ma postać:

$$JB = N(\frac{1}{6}\beta_{1} + \frac{1}{24}(\beta_{2} - 3)^{2}$$

β₁ = A = 0

β₂ = K = 3

Gdzie:

$\sqrt{\beta_{1}} = \frac{1}{N}\sum_{i = 1}^{N}e_{i}^{3}/S^{3}(e_{i}$)

$\beta_{2} = \frac{1}{N}\sum_{i = 1}^{N}e_{i}^{4}/S^{4}(e_{i}$) współczynnik koncentracji (kurioza)

E(ε)=0 dlatego 1/N

Jeżeli JB<χ_α²(2), wówczas nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej, rozkład składnika losowego jest rozkładem normalnym.

Dla rozkładu normalnego

β₁ = A = 0

β₂ = K = 3

Natomiast jeżeli JB≥χ_α²(2), wówczas odrzuca się H₀ ma rzecz H₁, mówiącej o niezgodności rozkładu składnika losowego z rozkładem normalnym.

32. model sezonowości
Wahania sezonowe, sezonowość – okresowy składnik w modelu zależności badanej cechy statystycznej od czasu.Najczęściej występuje sezonowość roczna, tygodniowa oraz dzienna.

St= ∑mk=1 dkQkt gdzie: dk – parametry modelu sezonowości oznaczające o ile wartość zjawiska odchyla się od poziomu średniego, wyłącznie z tytułu wahań sezonowych; ∑mk=1 dk=0 – co oznacza, że wahania sezonowe w skali roku znoszą się wzajemnie; m-liczba podokresów w roku; Qkt – zmienna zero-jedynkowa przyjmująca wartość 1 zawsze w okresie gdy (t-k) dzieli się bez reszty przez m i 0 w pozost. okresach; Qkt = { 1 gdy (t-k) dzieli się przez m bez reszty; 0 w pozost. okresach

33. Błąd predykcji ex ante – wzór i interpretacja.

Przed zrealizowaniem wartości zmiennej prognozowanej; przed upływem okresu zrealizowanego. Informuje o ile średnio w długim ciągu prognoz rzeczywiste realizacje zmiennej prognozowanej będą różnić się od wartości wyliczonych prognoz.

Błąd predykcji (ex ante): VT=√(1+XT(XTX)-1XTT)*S2(e); INTER: Prognozowana np. liczba mieszkańców miast w grudniu 2006 wyniesie coś tam z błędem, który policzę.

Trafność prognozy przedział ufności: P{ytp – t alfa/2, T-K-1 * VT < yt < ytp + t alfa/2, T-K-1} I Inter: z prawdopodobieństwem % przedział od do pokrywa nieznaną liczbę ludności miast w danym okresie czasu.

34.Wariancja resztowa, błąd standardowy reszt, błędy ocen parametrów.

wariancja resztowa: S2(e)= ∑ni=1 et2 / N-(K+1); błąd standardowy reszt S(e)=√S2(e); błędy ocen parametru: wzór: D(a)=S2(e)*(XTX)-1 Inter: błąd s. reszt: Wartości teoretyczne wyznaczone przez model odchylają się od empirycznych wartości zmiennej Y przeciętnie o __. błędy o. parametru: jeżeli zmienna Y wzrośnie o jednostkę to inna zmienna wzrośnie/spadnie średnio o __ z błędem __.

35. Własności estymatora KMNK.

*zgodność (estymator KMNK dany wzorem a=(XTX)-1XT*y jest zgodny jeśli spełniony jest warunek: p lim n∞ (a) = α); *nieobciążoność (jeśli spełnia warunek postaci: E(a)=α); *efektywność (jeśli spełnia warunek D2(a)=V(a)=S2e=(XTX)-1  min

36. Zapisać przykładowy 2-równaniowy model rekurencyjny.

Y1=α10+α11X1t+ε1

Y2= α20+β21Y1t+α22X2t+ε2

37. metoda estymacji modelu rekurencyjnego

Do oszacowania modelu rekurencyjnego możemy wykorzystać metodę KMNK. W modelu występuje równanie, które spełnia warunek o nieskorelowaniu zmiennych objaśniających ze składnikiem losowym. W pierwszej kolejności należy oszacować to równanie. Wartości teoretyczne zmiennej objaśnianej wyliczone z tego równania podstawia się w miejsce wartości obserwowanych danej zmiennej w kolejnych równaniach. (Jedno z kolejnych równań powinno teraz spełniać warunek o nieskorelowaniu zmiennych i można ponownie użyć KMNK)

38. Wariancja predykcji

V2T=(1+XT(XTX)-1XTT)*S(e)2; gdzie: XT – wektor wierszowy wartości zmiennych objaśniających w okresie prognozowanym T, X – macierz obserwacji na zmiennych objaśniających modelu