Wydział Mechatroniki i Lotnictwa Zespół Mechatroniki
Cyfrowe układy regulacji Temat ćwiczenia: Optymalizacja parametryczna regulatora PID z wykorzystaniem warunków kompensacji dynamiki obiektu
Grupa: A9U1S1 Skład podgrupy:
Kupis Sebastian Jałocha Dariusz

1. Sformułowanie zadania

Celem ćwiczenia jest wyznaczenie parametrów regulatora PID (k₁, k₂, k­_3­, T₃) oraz wzmocnienia k_o metodą kompensacji dynamiki obiektu. Rysunek poniżej przedstawia schemat badanego układu.

Dane obiektu są następujące:

t₁=2;

t₂=5;

t_zn – zastępcza stała czasowa równa 2.2.

Korzystając z równań kompensacji dynamiki obiektu wyznaczamy szukane współczynniki:

T₃=5*t_zn/2;

k_o=3/(25*t_zn*t_zn);

k₂=1;

k₁=t₁+t₂-k₂*t₃;

k₃=t₁*t₂-k₁*t₃.

Na podstawie powyższych równań przyjmujemy następujące współczynniki:

k₁=1,5;

k₂=1;

k₃=1,75;

k_o= 0.0248;

T₃=5,5.

Dzięki tym współczynnikom możemy wyznaczyć transmitancje wszystkich elementów układu regulacji(w dziedzinie ciągłej). Następnie przystąpimy do dyskretyzacji. Obiekt z uwagi na fakt, iż w torze głównym występuje przed nim ekstrapolator zerowego rzędu, dyskretyzować będziemy metodą ZOH.

Człon całkujący regulatora przenosimy do dziedziny dyskretnej metodą tustina (bilinową). Człon różniczkujący dyskretyzujemy stosując metodę Eulera wstecz (prostokątów wstecz).

Otrzymane modele transmitancyjne i w przestrzeni stanów elementów układu regulacji jak również jego charakterystyki znajdują się w kolejnych rozdziałach sprawozdania.

1. Wyznaczenie modeli matematycznych

Poniżej przedstawione zostaną modele transmitancyjne i w przestrzeni stanów elementów układu regulacji. Wyznaczone zostały one w środowisku MATLAB.

1. Dziedzina ciągła

   1. Obiekt

Transmitancja:

Zero/pole/gain:

0.024793

---------------

(s+0.5) (s+0.2)

Model w przestrzeni stanów:

a =

x1 x2

x1 -0.2 1

x2 0 -0.5

b =

u1

x1 0

x2 0.125

c =

x1 x2

y1 0.1983 0

d =

u1

y1 0

2. Regulator

Transmitancja:

Zero/pole/gain:

3.25 (s^2 + 0.3916s + 0.05594)

------------------------------

s (s+0.1818)

1. Układ otwarty

Transmitancja:

Zero/pole/gain:

0.080579 (s^2 + 0.3916s + 0.05594)

----------------------------------

s (s+0.5) (s+0.2) (s+0.1818)

Model w przestrzeni stanów:

a =

x1 x2 x3 x4

x1 0 1 0 0

x2 0 -0.1818 0.466 0

x3 0 0 -0.2 1

x4 0 0 0 -0.5

b =

u1

x1 0

x2 0

x3 0

x4 0.5

c =

x1 x2 x3 x4

y1 0.01935 0.07256 0.1612 0

d =

u1

y1 0

2. Układ zamknięty

Transmitancja:

Zero/pole/gain:

0.080579 (s^2 + 0.3916s + 0.05594)

------------------------------------------------

(s^2 + 0.1978s + 0.0321) (s^2 + 0.684s + 0.1404)

Model w przestrzeni stanów:

a =

x1 x2 x3 x4

x1 -0.09891 1 0 0

x2 -0.02231 -0.09891 0.4403 0

x3 0 0 -0.342 1

x4 0 0 -0.02348 -0.342

b =

u1

x1 0

x2 0

x3 0

x4 0.25

c =

x1 x2 x3 x4

y1 0.003426 0.1419 0.3223 0

d =

u1

y1 0

1. Dziedzina dyskretna

   1. Obiekt

Transmitancja:

Zero/pole/gain:

0.00012111 (z+0.9769)

---------------------

(z-0.9802) (z-0.9512)

Model w przestrzeni stanów:

a =

x1 x2

x1 0.9512 1.389

x2 0 0.9802

b =

u1

x1 0

x2 0.01563

c =

x1 x2

y1 0.01076 0.007751

d =

u1

y1 0

2. Regulator

Transmitancja:

Zero/pole/gain:

1.8625 (z-0.951) (z-0.9804)

---------------------------

(z-1) (z-0.9821)

1. Układ otwarty

Transmitancja:

Zero/pole/gain:

0.00022558 (z+0.9769) (z-0.9804) (z-0.951)

------------------------------------------

(z-0.9802) (z-0.9821) (z-1) (z-0.9512)

Model w przestrzeni stanów:

a =

x1 x2 x3 x4

x1 0.9512 0.02004 0.000594 0.01433

x2 0 0.9802 0.05801 1.399

x3 0 0 0.9821 0.04146

x4 0 0 0 1

b =

u1

x1 0

x2 0

x3 0

x4 0.03125

c =

x1 x2 x3 x4

y1 0.0001034 0.0101 0.0002993 0.007218

d =

u1

y1 0

1. Układ zamknięty

Transmitancja:

Zero/pole/gain:

0.00022558 (z+0.9769) (z-0.9804) (z-0.951)

---------------------------------------------

(z-0.9512) (z-0.9804) (z^2 - 1.982z + 0.9822)

Model w przestrzeni stanów:

a =

x1 x2 x3 x4

x1 0.9512 0.01765 0.0001318 0.01261

x2 0 0.9804 0.01462 1.399

x3 0 0 0.9909 1

x4 0 0 -0.0003638 0.9909

b =

u1

x1 0

x2 0

x3 0

x4 0.03125

c =

x1 x2 x3 x4

y1 9.104e-005 0.0101 7.546e-005 0.007218

d =

u1

y1 0

1. Charakterystyki Układu Regulacji

   1. Dziedzina ciągła

      1. Odpowiedź skokowa

1. Odpowiedź impulsowa

1. Charakterystyki Bodego

1. Wykres Nyquista

1. Dziedzina dyskretna

   1. Odpowiedź skokowa

1. Odpowiedź impulsowa

1. Charakterystyki Bodego

1. Wykres Nyquista

1. Wnioski

   1. Metoda doboru parametrów regulatora PID metoda kompensacji dynamiki obiektu pozwala na zbudowanie regulatora zapewniającego sterowanie układu w pętlą sprzężenia zwrotnego. Jak wynika ze sporządzonych charakterystyk układ ten jest stabilny zarówno w dziedzinie ciągłej jak i dyskretnej.

   2. Metoda ta wymaga jednak dużej znajomości obiektu regulacji co ogranicza zakres jej zastosowań przy projektowaniu regulatorów.

   3. Dyskretyzacja układu a właściwie jego elementów różnymi metodami nie spowodowała utraty stabilności co wynika z otrzymanych charakterystyk czasowych i częstotliwościowych. Niemniej jednak patrząc na wykresy odpowiedzi skokowych i impulsowych przed i po dyskretyzacji układu można zauważyć, że czas regulacji wydłużył się o około 30% po dyskretyzacji. Poza tym zwiększyło się przeregulowanie widoczne na wykresie odpowiedzi skokowej, pojawiła się ujemna wartość ucgybu regulacji.