I

Podstawowe prawa obwodów elektrycznych

PIERWSZE PRAWO KIRCHHOFFA .

Dla każdego węzła obwodu elektrycznego prądu stałego suma algebraiczna prądów jest równa zeru .

Suma prądów dopływających do węzła jest równa sumie prądów odpływających od węzła .

DRUGIE PRAWO KIRCHHOFFA .

W dowolnym oczku obwodu elektrycznego prądu stałego suma algebraiczna napięć źródłowych oraz suma algebraiczna napięć odbiornikowych występujących na rezystancjach rozpatrywanego oczka jest równa zeru

W dowolnym oczku obwodu elektrycznego prądu stałego suma algebraiczna napięć źródłowych jest równa sumie napięć odbiornikowych.

ZASADA SUPERPOZYCJI .

Odpowiedz obwodu elektrycznego na jednoczesne działanie kilku wymuszeń jest równa sumie odpowiedzi na każde wymuszenie z osobna.

Zasada ta obowiązuje tylko w odniesieniu do obwodów liniowych .

Zgodnie z zasadą superpozycji prąd w danej gałęzi obwodu elektrycznego zawierającego kilka źródeł równy jest sumie prądów w odpowiednich gałęziach obwodu z jednym źródłem. W każdym z tych obwodów umieszcza się kolejno jedno źródło opuszczając pozostałe, pozostawiając oczywiście ich rezystancje wewnętrzne. Po wyłączeniu idealnego źródła napięcia R_w=0 pozostanie więc zwarcie a w przypadku idealnego źródła prądu G_w= ∞ przerwa

ZASADA WZAJEMNOŚCI.

Jeżeli w liniowym obwodzie prądu stałego działa jedno źródło napięciowe w gałęzi a b , wymuszające przepływ prądu I w gałęzi c d , to jeżeli to źródło napięcia włożymy w gałąź c d , to wymusi ono taki sam przepływ prądu I w gałęzi a b .Zasadę wzajemności stosuje się w przypadku obwodów zawierających tylko jedno źródło

METODA THEVENENA.

Dowolny aktywny obwód liniowy można od strony wybranych dwóch zacisków a b zastąpić obwodem równoważnym złożonym z połączonego szeregowo jednego idealnego źródła napięcia E_z i rezystancji R_z.

Zgodnie z powyższym twierdzeniem prąd płynący przez wybraną gałąź a b wynosi :

-napięcie zastępcze E_z jest równe napięciu , jakie wystąpi na zaciskach a b po odłączeniu odbiornika o rezystancji R tzn. w stanie jałowym zacisków a b,

- rezystancja R_Z jest równa rezystancji widzianej z zacisków a b

Twierdzenie Thevenina jest szczególnie przydatne gdy zachodzi potrzeba analizy dotyczącej tylko jednej wybranej gałęzi obwodu.

II

Badanie obwodów nieliniowych.

1. Elementy nieliniowe i ich charakterystyki napięciowo-prądowe.

Elementami nieliniowymi nazywamy takie elementy, które nie spełniają zasady superpozycji. Obwód elektryczny, który zawiera element nieliniowy nazywamy obwodem nieliniowym. W przypadku obwodów prądu stałego mamy do czynienia z rezystancyjnymi elementami nieliniowymi. Charakterystyki napięciowo-prądowe tych elementów nie są liniami prostymi i można je przedstawić w formie wykresu U=f(I) lub za pomocą wzoru matematycznego.

Rezystancyjnymi elementami nieliniowymi są np. diody, lampy neonowe, żarówki itp.

Przykłady charakterystyk napięciowo-prądowych elementów nieliniowych.

Wartość rezystancji elementu nieliniowego jest zmienna i zależy od punktu pracy (na charakterystyce U=f(I). Dla zdefiniowania rezystancji elementu nieliniowego stosuje się dwa pojęcia:

- rezystancja statyczna R_st,

- rezystancja dynamiczna R_d.

Rezystancję statyczną elementu nieliniowego wyznacza stosunek napięcia na tym elemencie do prądu w nim płynącego:

Można ją również wyznaczyć graficznie. Rezystancja statyczna jest proporcjonalna do tangensa kąta β utworzonego przez oś I oraz sieczną przeprowadzoną przez początek układu współrzędnych i dany punkt na charakterystyce.

Metoda wyznaczania rezystancji statycznej i dynamicznej.

Rezystancję dynamiczną określa granica stosunku przyrostu napięcia, do przyrostu prądu:

Ze wzoru tego można skorzystać wtedy, gdy dana jest zależność U=f(I), w postaci wzoru matematycznego.

Graficznie rezystancję dynamiczną można wyznaczyć korzystając ze wzoru:

Rezystancja dynamiczna jest proporcjonalna do tangensa kąta α, który tworzy styczną, przeprowadzoną przez dany punkt na charakterystyce oraz oś I

2. Elementy nieliniowe połączone szeregowo, równolegle i szeregowo-równolegle.

Zgodnie z prawami Kirchhoffa przy połączeniu szeregowym przez rezystancję R₁ i R₂ płynie prąd o tej samej wartości powodując powstanie spadków napięć U_R1 i U_R2, czyli U=U_R1+U_R2. Powtarzając to sumowanie dla wielu wartości prądu, otrzymamy charakterystykę U_RZ(I), która pozwala na analizę rozpatrywanego obwodu. Przyłożenie napięcia U do obwodu (rys. b) spowoduje przepływ prądu I, a napięcia na poszczególnych elementach będą równe odpowiednio: U_R1 oraz U_R2.

Dla połączenia równoległego elementów nieliniowych charakterystykę elementu zastępczego można otrzymać przez zsumowanie prądów płynących przez poszczególne elementy, dla kilku wartości napięcia, np. przyłożenie napięcia U do obwodu spowoduje przepływ prądu o wartości I=I₁+I₂ (rys. b).

III

Badanie obwodów RLC

Najprostszym jest obwód zawierający źródło napięcia sinusoidalnie zmiennego i idealny rezystor.

Zgodnie z prawem Ohma mamy:

Dla rezystancji idealnej funkcje prądu i napięcia są zgodne w fazie czyli przesunięcie wynosi: Δϕ=0

Drugim z tych obwodów jest obwód RL przedstawiony na rys.2 powstały poprzez szeregowe połączenie idealnego rezystora i cewki.

Na podstawie II prawa Kirchhoffa zastosowanego do tego obwodu, otrzymujemy równanie:

na podstawie teorii równań różniczkowych otrzymujemy rozwiązanie, którym jest funkcja: i(t) = I_m sin(ωt+ϕ)

gdzie: oraz

Można zauważyć, że jeśli R→0 wówczas ϕ→π/2 zatem dla idealnej cewki napięcie wyprzedza funkcje prądu o kąt π/2 (90stopni) czyli:

Kolejnym elementarnym obwodem elektrycznym jest obwód RC

Równanie dla tego obwodu ma postać:

u(t)=

Rozwiązaniem równania jest funkcja i(t) = I_msin(ωt+ϕ)

gdzie oraz

Zauważamy, że dla kondensatora idealnego R→0 oraz ϕ→π/2.

Wynika stąd, że napięcie na okładkach kondensatora jest opóźnione względem funkcji prądu o kąt π/2 (90 sopni)

czyli:

Szeregowe połączenie elementów RLC

Z II prawa Kirchoffa wynika, że jeżeli w obwodzie płynie prąd sinusoidalnie zmienny, wówczas:

i(t)=I_msinωt

u(t)= u_R(t) + u_C(t) + u_L(t)

gdzie: u_R(t)= RI_msinωt

uc(t)=I_msin(ωt-90⁰)

u_L(t)= ωLI_msin(ωt+90⁰)

po podstawieniu otrzymujemy:

u(t)=I_m[R sinωt+(ωL-)cosωt]

u(t)=U_msin(ωt+ϕ)

U_m=I_m

Podobnie możemy rozpatrzyć połączenie równoległe elementów R, L, C.

IV

Rezonans napięć i prądów

Zjawisko rezonansu występuje w różnorodnych układach fizycznych i pojawia się wtedy, gdy układ jest poddany pobudzeniom okresowym f_źr o częstotliwości równej częstotliwości drgań własnych układu f_w, czyli f_w=f_źr.

W rezonansie elektrycznym częstotliwość źródła równa jest częstotliwości własnej obwodu, która zależy od wartości indukcyjności L i pojemności C. Warunkiem koniecznym (ale nie dostatecznym) wystąpienia rezonansu elektrycznego jest to, aby obwód zawierał zarówno kondensatory, jak i cewki.

Rezonans można zdefiniować również jako stan obwodu, w którym reaktancja odbiornika lub susceptancja odbiornika są równe zeru.

Jeżeli w odbiorniku istnieje szeregowe połączenie elementów R, L, C i jest prawdziwy warunek x = 0, to występuje rezonans szeregowy nazywany również rezonansem napięć.

Jeżeli w odbiorniku istnieje równoległe połączenie elementów R, L, C i występuje warunek B=0 to odbiornik jest w stanie rezonansu równoległego nazywanego również rezonansem prądów.

Rys.2. Trójkąty impedancji: a) ; b)

Z analizy trójkątów rezystancji przedstawionych na rys.2 wynika, że dla przypadku rezonansu, tzn. prawdziwe są zależności: φ=0, Z=R, czyli w obwodzie z rezonansem nie ma przesunięcia fazowego między prądem i napięciem. Obwód zachowuje się tak, jakby istniała w nim tylko rezystancja.

W stanie rezonansu moc czynna wynosi:

a moc bierna:

gdyż φ=0.

Oznacza to, że cała energia elektryczna pobrana przez obwód przekształca się w ciepło w jego rezystancji R. Energia bierna przekazywana jest między elementami L i C z pominięciem źródła.

Kolejna definicja rezonansu elektrycznego podaje, że jest to stan obwodu, w którym występuje całkowita wewnętrzna wymiana energii biernych.

Zjawisko rezonansu w obwodach elektrycznych ma duże znaczenie praktyczne zarówno w technice wielkich częstotliwości, jak i w układach elektroener­getycznych. Jednym z podstawowych układów wchodzących w skład generato­rów wielkiej częstotliwości jest układ rezonansowy.

W wielu sytuacjach układy rezonansowe mogą powstać w sposób przypadkowy, z czym są związane wszystkie dodatnie i ujemne skutki zjawiska rezonansu. Dość niebezpieczne w układach elektroenergetycznych jest powstawanie szeregowych układów rezonansowych przy małej rezystancji obwodu. Wtedy bowiem na elementach reaktancyjnych mogą powstać znaczne przepięcia zwane przepięciami rezonansowymi.

1.1. Rezonans napięć

Rozpatrzmy obwód składający się z elementów R, L i C połączonych szeregowo

Moduł impedancji Z w tym obwodzie:

gdzie ,

oraz )

Ponieważ przy rezonansie kąt przesunięcia fazowego między prądem i napięciem φ=0, to: tgφ=0,

a stąd czyli

gdzie ω=2πf.

Równanie to pozwala określić warunki, jakie powinny być spełnione, aby w obwodzie z rys. wystąpił rezonans.

W przypadku, gdy obwód zasilany jest ze źródła o stałej częstotliwości f, stan rezonansu można otrzymać regulując wartość indukcyjności L lub pojemności C (w praktyce dostraja się obwód do rezonansu stosując kondensator o regulowanej pojemności).

Aby uzyskać rezonans w obwodzie o ustalonych wartościach L i C, należy zastosować źródło napięcia o regulowanej częstotliwości. Częstotliwość, przy której wystąpi rezonans nazywamy częstotliwością rezonansową f_r. Wartość częstotliwości f_r otrzymamy z równania (4)

lub

Wykres wskazowy obwodu szeregowego w stanie rezonansu

Należy zauważyć, że w stanie rezonansu szeregowego, czyli rezonansu napięć, występuje równoważenie się napięć na cewce i kondensatorze U_L=U_C=0. Przy pewnych wartościach rezystancji R, indukcyjności L i pojemności C - napięcia U_L i U_C mogą przybierać stosunkowo duże wartości, mimo że napięcie zasilające obwód U jest stosunkowo małe. Mówimy wówczas, że w obwodzie występują przepięcia.

Dla zilustrowania właściwości obwodu rezonansowego wykreśla się charakterystyki częstotliwościowe. Są to charakterystyki przedstawiające zależności prądu I, napięć U_L oraz U_C od częstotliwości napięcia źródła zasilającego obwód. Charakterystyki częstotliwościowe obwodu rezonansowego otrzymuje się na podstawie zależności:

Rys.5. Charakterystyki częstotliwościowe

W miarę zwiększania częstotliwości reaktancja indukcyjna X_L wzrasta liniowo, zaś reaktancja pojemnościowa X_C maleje hiperbolicznie. Przy małych częstotliwościach w obwodzie płynie prąd o małej wartości wyprzedzający napięcie o kąt bliski 90° (obwód ma wtedy charakter pojemnościowy). Przy wielkich częstotliwościach w obwodzie płynie prąd o małych wartościach opóźniony względem napięcia o kąt bliski 90°(obwód ma wtedy charakter indukcyjny).

Przy częstotliwości rezonansowej f=f_r wartości reaktancji X_L i X_C są sobie równe, a prąd I osiąga największą wartość ograniczoną jedynie rezystancją R w obwodzie ().

Napięcie U_C osiąga wartość maksymalną dla częstotliwości tuż przed rezonansem, natomiast napięcie U_L tuż po rezonansie. Przy częstotliwości rezonansowej napięcia U_C i U_L są sobie równe.

Zależność prądu I w obwodzie od częstotliwości f (rys.5), nazywana jest często krzywą rezonansową obwodu. Kształt tej krzywej zależny jest głównie od stosunku reaktancji indukcyjnej X_L do rezystancji R obwodu.

Iloraz ten nosi nazwę dobroci obwodu:

Dobroć obwodu jest funkcją częstotliwości, przy częstotliwości rezonansowej przyjmuje ona wartość:

W stanie rezonansu napięcie na indukcyjności jest równe:

Napięcie to, równe napięciu na kondensatorze, może być Q_r razy większe od napięcia zasilającego. Ten Q_r - krotny wzrost napięcia na kondensatorze lub cewce jest zjawiskiem niekorzystnym ze względu na możliwość przebicia kondensatora lub izolacji cewki, natomiast zjawiskiem korzystnym w przypadku wielu obwodów elektronicznych, uniemożliwiającym generowanie napięć o określonych częstotliwościach. W obwodach radiotechnicznych Q może przybierać wartości od 50 do 200.

Krzywe rezonansowe obwodów o różnych dobrociach Q

Ten sposób przedstawienia krzywych rezonansowych ułatwia znacznie analizę właściwości obwodu rezonansowego. Z rysunku wynika, że im większa dobroć obwodu rezonansowego, tym ostrzejsza jest krzywa rezonansowa. Dobroć obwodu w zasadzie jest określona jakością cewki, ponieważ w niej koncentrują się prawie wszystkie straty energii w obwodzie. W obwodzie o dostatecznie dużej dobroci (rzędu kilkudziesięciu i więcej), nawet przy małych odstrojeniach od częstotliwości rezonansowej, prąd będzie gwałtownie malał w porównaniu z jego wartością przy rezonansie. Oznacza to, że tylko źródła o częstotliwościach zbliżonych do częstotliwości rezonansowej obwodu mogą spowodować, że moduł impedancji obwodu rezonansowego jest równy jego rezystancji lub do niej zbliżony (1). Inaczej - obwód osiąga minimalną impedancję w określonym paśmie częstotliwości. Tę jego właściwość określa się mianem pasma przepuszczania obwodu, tzn. pasma - 2Δf, w otoczeniu częstotliwości rezonansowej f_r, w którego końcach wartość skuteczna prądu I w obwodzie spada do wartości tego prądu przy rezonansie. Szerokość pasma przepuszczania 2Δf stanowi zwykle 0,3...2% częstotliwości rezonansowej.

Zdolność obwodu do przepuszczania prądów o częstotliwościach zbliżonych do częstotliwości rezonansowej i praktycznie nieprzepuszczania prądów o innych częstotliwościach nosi nazwę selektywności obwodu. Selektywność obwodu jest tym większa, im mniejsze jest jego pasmo przepuszczania, czyli im większą ma on dobroć. Selektywność obwodu jest szeroko wykorzystywana w radiotechnice.

1.2. Rezonans prądów

elementów R, L, C połączonych równolegle

W stanie rezonansu równoległego, czyli rezonansu prądów mamy:

I_L+I_C=0

co oznacza, że prądy w cewce i kondensatorze równoważą się.

Wykres wskazowy równoległego obwodu R, L, C w stanie rezonansu prądów

Ponieważ w stanie rezonansu |I_L|=|I_C|

oraz ,

więc lub

Otrzymaliśmy w ten sposób wyrażenie, które musi być spełnione, aby obwód z znalazł się w stanie rezonansu. Równanie może być spełnione przez odpowiedni dobór indukcyjności L i pojemności C przy stałej częstotliwości f źródła napięcia zasilającego lub przez zmiany częstotliwości źródła, gdy stałe są wartości L i C.

Wyrażenie na częstotliwość rezonansową:

Częstotliwość rezonansowa w przypadku rezonansu prądów opisana jest za pomocą identycznej zależności jak częstotliwość przy rezonansie szeregowym.

Właściwości równoległego obwodu rezonansowego dobrze ilustrują zależności prądów I, I_L, I_C od częstotliwości źródła f

Na rysunku 9 przedstawiono charakterystyki częstotliwościowe prądów I, I_L i I_C. W stanie rezonansu prąd |I| ma wartość minimalną ograniczoną przez rezystancję R, natomiast prądy |I_L| i |I_C| równoważą się.

Charakterystyki częstotliwościowe

Dobroć obwodu równoległego związana jest zasadniczo ze stratami mocy w kondensatorze i zależy od stosunku rezystancji R od reaktancji X_C. Dobroć , w stanie rezonansu:

oraz

Oznacza to, że przy rezonansie prądy I_L i I_C są Q_r razy większe od prądu pobieranego przez obwód co nosi nazwę przetężenia.