WEAIiIB	Automatyka i Robotyka	6 kwietnia 2013 r.
IV rok, zaoczne	METODY OPTYMALIZACJI
Artur Marcińczyk Łukasz Orlikowski Rafał Płaza	Temat 1: Optymalizacja jednowymiarowa. Minimalizacja w zadanym kierunku. Temat 2: Metody Powella.

Temat 1

Zadanie 1.

Dla danej funkcji celu:

Q(x₁,x₂) = x₁² + x₁ x₂ +0,5 x₂² - 2 x₂ -3 x₁ +2,5

znaleźć minimum na prostej w kierunku d=[1,2]^T ,przechodzącej przez środek układu współrzędnych.

Rozwiązanie analityczne:

$x_{0} = \ \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \end{bmatrix}$ $d = \ \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ \end{bmatrix}$

Wzór na punkt na tej prostej: x=x₀ +zd

$x = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \end{bmatrix} + z\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} z \\ 2z \\ \end{bmatrix}$ zatem x₁=z, x₂=2z

Te współrzędne wstawiamy do funkcjonału Q(z)=z² +2 z² +2 z² -4 z -3 z+2,5

Q(z)=5 z² - 7 z+2,5 z_min = $\frac{- b}{2a}$ = $\frac{7}{10}$

Zatem rozwiązanie optymalne na tym kierunku to:

X_min = $\begin{bmatrix} \frac{7}{10} \\ \frac{14}{10} \\ \end{bmatrix}$