Rozwiązać równanie : dla warunków początkowych x()=1 ; x’(0)=0

S²X(s)-s + 4sX(s) – 3 + 13X(s) = 0 1 warunek – 2 warunek

X(s) [s²+ 4s + 13 ] = 2 + 4

X

Przekształcamy transformate X(s)

to przekształcenie ze wzoru :

Delta ujemna – to da się w innej formie

Przykład. Rozwiązać równanie:

2x’’ + 3x’ + x = 4 dla warunków początkowych x(0) = 1 oraz x’(0) = 1

2 * s² X (s) – 2 s – 2 + 3 * s * X(s) – 3 + X(s) = 4 / s

A następnie uporządkujemy (przekształcamy) je względem transformaty rozwiązania

/ dzielimy przez s

Mianownik transofmaty posiada trzy miejsca zerowe :

s1 = 0 , s2=-1 , s3= -0,5

A więc transformate rozwiązania możemy przedstawić w postaci:

teraz rozbijamy na sumę ułamków prostych

Następnie rozkładamy transofmrate na ułamki proste

X(s) = A1/s + A2/s+1 + A3/s+0,5

Teraz z pochodnej mianownika

A1= s²+2,5s+2 / 3s²+3s+0,5 | s = 0

A1 = L(0)/M’(0) = 2/0,5 = 4 | ­_{s = 0}

A2 = L(-1)/M’(-1) = 0,5/0,5 = 1 | _{s = -1}

A3 = L(-0,5)/M’(-0,5) = 1 / - 0,25 = -4 |_s=-0,5

Rozwiązanie w dziedzine zmiennej zespolonej s :

X(s) = 4/s + 1 / s+1 – 4 /s+0,5

A rozwiązanie równania różniczkowego w dziedzinie zmiennej rzeczywistej t przy pomocy odwrotnej transformacji Laplace’a (wzory z tablic ) ma postać :

X(t) = 4 + e­^-t – 4 * e^{-0,5 * t}

Własności statyczne I dynamiczne podstawowych elementów (członów) liniowych

X(t) G(s) t(t

Elementem (członem) automatyki nazywamy dowolny układ fizyczny, w którym wyodrębniona jest wielkość wejściowa (sygnał wejściowy) x(t) i wielkość wyjściowy (sygnał wyjściowy) y(t). Wiele elementów (członów) automatyki możemy traktować jako liniowe o ile założymy:

1. Dla elementów mechanicznych:

- występuje jedynie tarcie lepkie (wiskotyczne) a nie tarcie suche (Kulomba); siła tarcia jest proporcjonalna dla prędkości

- sztywności elementów sprężystych są stałe a pozostałych elementów oraz ich połączeń i zamocowań nieskończenie wielkie

C- w odniesieniu do elementów elektrycznych:
- rezystancje, indukcyjności i pojemności są stałe, niezależne od prądu i napięcia

Elementy(człony) liniowe - klasyfikuje się najczęściej ze względu na ich własności dynamiczne. W każdym układzie regulacji automatycznej można wyodrębnić sześć grup elementów podstawowych:

1. Bezinercyjne (proporcjonalne)

2. Inercyjne

3. Całkujące

4. Różniczkujące

5. Oscylacyjne

6. Opóźniające

Własności statyczne wszystkich członów określać będziemy podającrównianie i wykres charakterystyki statycznej y=f(x)

- własności dynamiczne podając równanie różniczkowe , wyrażające zależność pomiędzy sygnałem wyjściowym a wejściowym; nazywa się ono równaniem dynamiki lub równianiem ruchu oraz odpowiadającą mu transmitancję operatorową G(s)

Jak również

- wykres odpowiedzi y(t) na wymuszenie skokowe x(t), czyli tzw. charakterystykę czasową.

1. Człon proporcjonalny (wzmacniacz)

y(t) = k * x(t)
Y(s) = k * X (s)

Przykład 1. Wyznaczyć równanie ruchu i transmitancję operatorową dla dźwigni dwuramiennej, jeżeli wejściem jest przesunięcie x a wyjściem przesunięcie y (podobieństwo trójkąt)

Przykład 2. Wyznaczyć równanie ruchu i transmitancję operatorową dla dźwigni dwuramiennej jeżeli wejściem jest siłą F₁ a wyjściem siła F₂ (równanie momentów).

Wykresy z tablicy

Kartka

2. Człon inercyjny I rzędu

Gdzie :

T – stała czasowa

k- współczynnik wzmocnienia członu

transmitancja: