Oszacowanie parametrów przy pomocy MNK

$$\hat{\mathbf{a}}\mathbf{=}{\mathbf{(}\mathbf{X}^{\mathbf{T}}\mathbf{X)}}^{\mathbf{- 1}}\mathbf{X}^{\mathbf{T}}\mathbf{Y}$$

1 a

X= 1 b 1 1 1 1 1

1c X^T = a b c d e

1 d

1 e

X^TX = N ∑X_t

∑X_t∑X_t²

det X^TX = a b = ad – bc

c d

(X^TX)^-1 = d -b

-c a

X^TY = ∑Y_t

∑(X_tY_t)

Współczynnik determinacji

$$\mathbf{R}^{\mathbf{2}}\mathbf{= 1 - \ }\frac{\sum_{}^{}\mathbf{e}_{\mathbf{t}}^{\mathbf{2}}}{\sum_{}^{}\left( \mathbf{y}_{\mathbf{t}}\mathbf{- \ }\overset{\overline{}}{\mathbf{y}} \right)^{\mathbf{2}}}$$

Reszta równania e_t= Y_t- ${\hat{\mathbf{y}}}_{\mathbf{t}}$

$\hat{\mathbf{y}}\mathbf{=}\mathbf{\alpha}_{\mathbf{0}}\mathbf{+}\mathbf{\alpha}_{\mathbf{1}}\mathbf{\bullet}\mathbf{x}_{\mathbf{\text{t\ }}}$ - korzystamy, gdy mamy już wyliczone parametry i pod x podstawiamy wartość x z tabelki

Odchylenie błąd standardowy reszt

$$\mathbf{SE = \ }\sqrt{\frac{\sum_{}^{}\mathbf{\text{et}}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{N - K}}}$$

Testowanie JB

t_kryt = 5,991

JB >t_kryt – odrzycamy H0 i przyjmujemy H1, skł. Losowe podlegają rozkładowi innemu niż normalny

JB ≤ t_kryt– nie mamy podstaw doodrzucenia H0, skł.losowe podlegają rozkładowy normalnemu

$$JB = \ \frac{n}{6}\left( \text{SK}^{2} + \ \frac{k - 3}{n} \right)^{2}\ \sim\ \chi_{df = 2}^{2}$$

SK-wsp.skośności

K – wsp.kuriozy

n-iloć obserwacji

dt-stopnie swobody

t-Studenta

$$t = \ \frac{a_{i} - \ \alpha_{1}}{S\left( a_{i} \right)}$$

$$S\left( a_{i} \right) = SE\sqrt{c_{\text{ii}}}$$

a_i – oszacowanie par.strukturalnego

α₁- nieznany par.strk.

cii-element głównej przekątnej macierzy X^TX

Autokorelacja skl.losowego – test Durbina-Watsona

$$DW = \ \frac{\sum_{t = 2}^{n}\left( e_{t}\ - e_{t - 1} \right)^{2}}{\sum_{t = 1}^{n}e_{1}^{2}}$$

Jeżeli DW>2 to DW’=4-DW

DW<dL odrzucamy H0 0-dL istnieje autokorelacja

DW>dU nie ma podst.do odrzu.H0 dU-2 brak autokorelacji

dL<DW<dU obszar niekonkluzywnościdL-dU nie wiemy jaką podjąć decyzję