Weryfikacja hipotez statystycznych

Dwustronny test dla wartości średniej w populacji w przypadku dużej próby:

hipoteza zerowa: H₀ : μ = μ₀ ; hipoteza alternatywna: H₁ : μ ≠ μ₀ ; poziom istotności: α

sprawdzian hipotezy:

$u = \frac{\overset{\overline{}}{x} - \mu_{0}}{s/\sqrt{n}}$ (gdy odchylenie standardowe nie jest znane)

$u = \frac{\overset{\overline{}}{x} - \mu_{0}}{\sigma/\sqrt{n}}$ (gdy odchylenie standardowe jest znane)

obszar krytyczny: u$> u_{\frac{\alpha}{2}}$ lub u$< {- u}_{\frac{\alpha}{2}}$

Dwustronny test dla wartości średniej w populacji w przypadku małej próby:

hipoteza zerowa: H₀ : μ = μ₀ ; hipoteza alternatywna: H₁ : μ ≠ μ₀ ; poziom istotności: α

sprawdzian hipotezy: $t = \frac{\overset{\overline{}}{x} - \mu}{s/\sqrt{n}}$ (gdy odchylenie standardowe nie jest znane)

obszar krytyczny: $t > t_{n - 1,\frac{\alpha}{2}}$ lub $t < {- t}_{n - 1,\frac{\alpha}{2}}$

Dwustronny test dla frakcji w populacji w przypadku dużej próby:

hipoteza zerowa: H₀ : p = p₀ ; hipoteza alternatywna: H₁ : p ≠ p₀ ; poziom istotności: α

sprawdzian hipotezy: u$= \frac{\hat{p} - p_{0}}{\sqrt{\frac{\hat{p}\hat{q}}{n}}}$ (gdy odchylenie standardowe nie jest znane)

obszar krytyczny: $u > u_{\frac{\alpha}{2}}$ lub $u < {- u}_{\frac{\alpha}{2}}$

Dwustronny test różnicy wartości średnich dwóch populacji w przypadku dużej próby:

hipoteza zerowa: H₀ : μ₁ = μ₂ ; hipoteza alternatywna: H₁ : μ₁ ≠ μ₂ ; poziom istotności: α

sprawdzian hipotezy: $u = \frac{{\overset{\overline{}}{x}}_{1} - {\overset{\overline{}}{x}}_{2}}{\sqrt{\frac{\sigma_{1}^{2}}{n_{1}} + \frac{\sigma_{2}^{2}}{n_{2}}}}$

obszar krytyczny: u$> u_{\frac{\alpha}{2}}$ lub u$< {- u}_{\frac{\alpha}{2}}$

Dwustronny test różnicy wartości średnich dwóch populacji w przypadku małej próby:

hipoteza zerowa: H₀ : μ₁ = μ₂ ; hipoteza alternatywna: H₁ : μ₁ ≠ μ₂ ; poziom istotności: α

sprawdzian hipotezy: $t = \frac{{\overset{\overline{}}{x}}_{1} - {\overset{\overline{}}{x}}_{2}}{\sqrt{\frac{{\left( n_{1} - 1 \right)s}_{1}^{2} + {\left( n_{2} - 1 \right)s}_{2}^{2}}{n_{1} + n_{2} - 2}\left( \frac{1}{n_{1}} + \frac{1}{n_{2}} \right)}}$

obszar krytyczny: $t > t_{n_{1} + n_{2} - 2,\frac{\alpha}{2}}$ lub $t < - t_{n_{1} + n_{2} - 2,\frac{\alpha}{2}}$

Przedziały ufności dla wartości średniej i frakcji. Liczebność próby

Przedział ufności dla wartości średniej

1 Znane σ lub duża próba (przyjmuje się n>30)

$$P\left( \mu_{D} < \mu < \mu_{G} \right) = P\left( \overline{x} - u_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}} < \mu < \overline{x} + u_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right) = 1 - \alpha$$

2 Nieznane σ lub mała próba (n<30)

$$P\left( \mu_{D} < \mu < \mu_{G} \right) = P\left( \overline{x} - t_{n - 1,\frac{\alpha}{2}}\frac{s}{\sqrt{n}} < \mu < \overline{x} + t_{n - 1,\frac{\alpha}{2}}\frac{s}{\sqrt{n}} \right) = 1 - \alpha$$

, gdzie $u_{\frac{\alpha}{2}}$ - to wartość w standaryzowanym rozkładzie normalnym, która odcina pod krzywą rozkładu normalnego po prawej stronie pole $\frac{\alpha}{2}$ , a $t_{n - 1,\frac{\alpha}{2}}$ to wartość w rozkładzie t-Studenta o n-1 stopniach swobody, która odcina w tym rozkładzie po prawej stronie pole $\frac{\alpha}{2}$.

Przedział ufności dla frakcji

1 Założeniem jest, że próba jest duża (przyjmuje się n$\hat{p}$>5 i n$\hat{q}$>5)

$$P\left( p_{D} < p < p_{G} \right) = P\left( \hat{p} - u_{\frac{\alpha}{2}}\sqrt{\frac{\hat{p}\hat{q}}{n}} < p < \hat{p} + u_{\frac{\alpha}{2}}\sqrt{\frac{\hat{p}\hat{q}}{n}} \right) = 1 - \alpha$$

, gdzie $\hat{p} = \frac{x}{n}$ $\hat{q} = 1 - \hat{p}$

$\hat{p}$ - frakcja elementów w próbie spełniających określone warunki

Wyznaczanie wielkości próby

1 Minimalna wymagana liczebność próby do oszacowania średniej w populacji, µ

$$n = \frac{u_{\frac{\propto}{2}}^{2}\sigma^{2}}{B^{2}}$$

2 Minimalna wymagana liczebność próby do oszacowania frakcji w populacji, p:

$$n = \frac{u_{\frac{\propto}{2}}^{2}\hat{p}\hat{q}}{B^{2}}$$

, gdzie:

B – połowa rozpiętości przedziału ufności – miara precyzji naszego wnioskowania

σ oraz $\hat{p}$ – są szacowane (np. na podstawie informacji historycznych lub ze znajomości skali zmienności cechy w populacji)