00Akademia Techniczno- Humanistyczna
w Bielsku-Białej

Wydział Nauk o Materiałach i Środowisku
Inżynieria Środowiska
Rok I/ Semestr II

LABORATORIUM

Z FIZYKI

Ćwiczenie 15

Wyznaczanie prędkości dźwięku w powietrzu i metalach metodą rezonansu akustycznego

Grupa 108:

1. Wstęp teoretyczny:

Falą nazywamy lokalne zaburzenie pojawiające się w ośrodku sprężystym, przenoszone dzięki oddziaływaniom międzycząsteczkowym w coraz dalsze obszary ośrodka. Gdy zaburzenie ma charakter sinusoidalny cząstki wykonują drgania harmoniczne.
Jeżeli drgania zachodzą w kierunku rozchodzenia się fali, to nazywamy ją wtedy falą podłużną, jeżeli w kierunku prostopadłym - falą poprzeczną. O fali płaskiej mówimy wtedy, gdy punkty drgające w jednakowej fazie tworzą układ płaszczyzn równoległych.
Iloczyn V⋅T=λ określa drogę, jaką przebywa fala w czasie równym okresowi drgań (długości fali).

Fale pochodzące z różnych źródeł mogą się rozprzestrzeniać w tym samym ośrodku. Wówczas punkty tego ośrodka wykonują drgania złożone, będące sumą drgań pochodzących z różnych źródeł. Źródła drgające z tą samą częstością i stałą w czasie różnicą faz oraz pochodzące od nich fale nazywamy spójnymi.

Częstym przypadkiem interferencji są fale stojące. Fala stojąca powstaje w wyniku interferencji dwóch fal harmonicznych o jednakowych częstościach, amplitudach i kierunkach drgań. Punkty, w których amplituda wynosi zero, które w przestrzeni spełniają warunek:

nazywamy węzłami fali. Położenie tych punktów nie zmienia się w czasie i dlatego fala ta nosi nazwę stojącej.

Punkty spełniające warunek:

nazywamy strzałkami fali stojącej. W punktach tych amplituda osiąga wartość maksymalną. Odległość między sąsiednimi strzałkami wynosi λ/2, natomiast między sąsiednimi strzałką i węzłem - λ/4.

Do pomiaru prędkości dźwięku w różnych ośrodkach wykorzystaliśmy metodę rezonansu. Rezonans ma miejsce wtedy, gdy częstotliwość drgań źródła wzbudzającego drgania pokrywa się z jedną z częstotliwości drgań własnych wzbudzanego układu.

Najbardziej elementarnym procesem falowym jest proces rozprzestrzeniania się drgań

harmonicznych o ściśle określonej częstości, zilustrowany na Rys.1 w postaci płaskiej fali

podłuŜnej i płaskiej fali poprzecznej. Dla płaskiej fali harmonicznej zaleŜność wychylenia ze

stanu równowagi w punkcie odległym o x od źródła fali w chwili t opisana jest równaniem

(tzw. równaniem fali płaskiej):

Ψ(x,t) = Ψ₀sin(ϖ−kx)

gdzie:

- Ψ0 - amplituda drgań ( amplituda fali),

- ω = 2π/T - kołowa częstość drgań,

- k = 2π/λ - liczba falowa,

- φ = (ωt – kx) – faza drgań w chwili t w odległości x od źródła.

Fale dźwiękowe są falami spręŜystymi (falami akustycznymi) bądź podłuŜnymi, rozchodzącymi się w gazach i cieczach, bądź podłuŜnymi lub poprzecznymi, rozchodzącymi się w ciałach stałych, o częstości ν od około 16 Hz do około 20 kHz. Fale akustyczne częstości ν mniejszej niŜ 16 Hz nazywane są infradźwiękami zaś fale akustyczne o częstości νwiększej od 20 kHz nazywane są ultradźwiękami.

Fale dźwiękowe w powietrzu mają postać rozprzestrzeniających się periodycznych zmian ciśnienia i gęstości powietrza, zachodzących w warunkach przemiany adiabatycznej. Moduł ściśliwości gazu w warunkach przemiany adiabatycznej jest równy:

K =κ p

gdzie:

- p - ciśnienie gazu

- κ = Cp/CV - stosunek ciepła molowego przy stałym ciśnieniu (Cp) do ciepła

molowego przy stałej objętości (CV) i w rezultacie prędkość fal dźwiękowych w powietrzu określona jest wzorem:

$$\upsilon = \sqrt{\frac{\text{κp}}{\rho}}$$

Korzystając z równania Clapeyrona: pV = m/μ RT oraz równania (7) prędkość dźwięku v

moŜna wyrazić wzorem:

$$\upsilon = \sqrt{\frac{\text{κRT}}{\mu}}$$

gdzie:

- R – uniwersalna stała gazowa

- T – temperatura w skali bezwzględnej

- μ – masa molowa powietrza

W metalach prędkość rozchodzenia się podłuŜnych fal dźwiękowych określona jest z

$$\upsilon = \sqrt{\frac{E}{\rho}}$$

gdzie E jest modułem Younga dla danego metalu.

1. Wyznaczanie prędkości fali dźwiękowej w powietrzu.

Do doświadczenia został użyty przyrząd, będący naczyniem połączonym, którego jedno ramię stanowi butelka z wodą, drugie - rura szklana z podziałką, umożliwiającą odczytanie zmiany położenia poziomu wody.

Wykorzystaliśmy tutaj zjawisko rezonansu akustycznego pomiędzy drgającym kamertonem a drganiami słupa powietrza nad wodą w rurze. Zmieniając poziom wody możemy tak dobrać wysokość słupa powietrza, aby spełniony był warunek rezonansowy:

gdzie:

l - długość rury,

λ - długość fali.

Spełnienie go powoduje wyraźne wzmocnienie dźwięku. Fala stojąca w słupie powietrza będzie miała wówczas węzeł przy powierzchni wody i strzałkę u wylotu rury. Zmierzyliśmy odległość h pomiędzy położeniami (dwoma) poziomu cieczy, dla których słychać w słuchawce wzmocnienie dźwięku Jeśli są to wzmocnienia następujące kolejno po sobie, to wówczas:

stąd: λ = 2⋅(h₂-h₁)

Prędkość fali wyznaczamy ze wzoru:

V=2⋅f_k

gdzie:

f_k - jest częstością drgań własnych kamertonu.

1. Wyznaczanie prędkości fali dźwiękowej w metalu

Do wyznaczania prędkości fali w prętach wykorzystaliśmy rurę Kundta. Jak wiemy fale biegnące w obydwu kierunkach w pręcie (metalowym lub szklanym) odbijają się bez zmiany fazy od końców pręta i w wyniku interferencji tworzą falę stojącą.

Pręt będzie drgał w fazie ze źródłem, jeśli:

Rezonans pomiędzy drganiami podłużnymi w pręcie wykonanym z badanego materiału i drganiami słupa powietrza w szklanej rurze ograniczonego płytką na końcu badanego pręta i zakończeniem przysłony został wykorzystany w doświadczeniu Kundta. Pręt zamocowany jest dokładnie w środku swojej długości:

W pręcie powstaje fala stojąca z węzłem w środku i strzałkami na końcach. Drgający pręt jest źródłem fali dźwiękowej, która rozchodzi się także i w słupie powietrza w rurze. Jeżeli długość tego słupa spełnia warunek rezonansowy, to tworzy się fala stojąca. Po dokonaniu odpowiednich pomiarów możemy obliczyć prędkość dźwięku w materiale:

gdzie:

n - ilość połówek fali stojącej,

l - długość pręta,

L - długość słupa powietrza.

Jeżeli oznaczymy odpowiednio λ₁ i V₁, λ i V - długość i prędkość fali w pręcie i powietrzu, to dla rezonansu zachodzi:

Długość fali w powietrzu i pręcie wyznaczamy z zależności:

λ₁=2⋅l

Prędkość fali dźwiękowej (V₁) zależy od gęstości badanego materiału i modułu Younga:

gdzie:

E - moduł Younga,

ρ - gęstość.

W celu uwiarygodnienia wyników, obliczamy także maksymalne błędy bezwzględne:

1. Wyniki pomiarów i ich opracowanie:

4. 1. W tabeli pierwszej zamieściłyśmy wyniki pomiarów i ich obliczeń oraz wartość ρ₀ [km/m³], którą odczytałyśmy z załączonej do instrukcji tabeli o wilgotnościach.

t=22,5^oC	T=295,5K	W=43,8%	ρ0=	p0=
h1	∆h1	h2	∆h2	λ
[cm]	[cm]	[cm]	[cm]	[m]
22	0.4	62	0.3	0.8
Vt=344,79 [m/s] ε = 93%

4. 2. Obliczyłyśmy długość fali dźwiękowej λ wygenerowanej przez kamerton praz prędkość fali dźwiękowej v_p w powietrzu korzystając ze wzorów:

λ = 2(h₂−h₁)

v_p = 2(h₂−h₁)v_k

Przykładowe obliczenia:

λ = 2(62−22) = 80 [cm] = 0.8 [m]

$$v_{p} = 2\left( 62 - 22 \right) \bullet 435 = 348\left\lbrack \frac{m}{s} \right\rbrack$$

1. Następnie obliczyłyśmy błędy bezwzględne ∆v_p i ∆λ korzystajac ze wzorów:

Δλ = 2(Δh₁+Δh₂)

Δv_p = 2v_k(Δh₁+Δh₂)

Przykładowe obliczenia:

Δλ = 2(0,6+0,4) = 0, 014 [m]

$$\Delta v_{p} = 2 \bullet 435\ \left( 0,4 + 0,3 \right) = 6,09\ \left\lbrack \frac{m}{s} \right\rbrack$$

$$v_{t} = v_{n}\sqrt{\frac{T}{T_{n}}}$$

Pryzkadowe obliczenia

$$v_{t} = 331,5 \bullet \sqrt{\frac{295,5}{273,15}} = 344,79\ \left\lbrack \frac{m}{s} \right\rbrack$$

$$\varepsilon = \frac{\left| v_{p} - v_{t} \right|}{v_{t}} \bullet 100$$

Pryzkladowe oblicyernia

$$\varepsilon = \frac{\left| 348 - 344,79 \right|}{344,79} = 93\%$$

(κp) = v_p²ρ₀

(κp) = (348)² * 1, 192 = 144355, 97

$$\kappa = \frac{\left( \text{κp} \right)}{p_{0}}$$

Pryzkladowe oblkicyenia

W tabeli 2 zamiescilysy wyznaczoną uprzednio prędkość dźwięku w powietrzu vp i odczytane z tablic dla badanych materiałow wartości: gęstości ρ, prędkości dźwięku (vt ) i modułów Younga (Et) .

material

Miedz

glin

$$v_{m} = v_{p}\left( n*\frac{L_{m}}{L_{p}} \right)$$

Pryzkladowe obliczenia
+dla miedyi

$$v_{m} = 348\left( 12*\frac{92,5}{100} \right) = 38,628\ \left\lbrack \frac{m}{s} \right\rbrack$$

$$v_{m} = 348\ \left( 15*\frac{93,5}{100} \right) = 48,807\ \left\lbrack \frac{m}{s} \right\rbrack$$

$${v}_{m} = v_{m}\left( \frac{{L}_{m}}{L_{m}} + \frac{{L}_{p}}{L_{p}} + \frac{{v}_{p}}{v_{p}} \right)$$

$$v_{m} = 3862,8\left( 0,005 + 0,005 + 0,018 \right) = 1,08*10^{- 3}\ \left\lbrack \frac{\text{km}}{s} \right\rbrack$$

+dla glinu

$$v_{m} = 4880,7\ \left( 0,005 + 0,005 + 0,018 \right) = 1,37*10^{- 3}\left\lbrack \frac{\text{km}}{s} \right\rbrack$$