Uniwersytet Technologiczno-Przyrodniczy

im. Jana i Jędrzeja Śniadeckich

w Bydgoszczy

Wydział Budownictwa i Inżynierii Środowiska

TEORIA SPRĘŻYSTOŚCI I PLASTYCZNOŚCI

TEMAT 36

TEORIA FAL – FALE PODŁUŻNE

Ważną funkcję w przyrodzie pełnią zjawiska powtarzające się w czasie, nazywane zjawiskami cyklicznymi, okresowymi bądź periodycznymi. Wokół siebie znajdziesz wiele przykładów zjawisk regularnie powtarzających się, na przykład: ruch krzesełka na wirującej karuzeli, ruch huśtawki, tłoka w cylindrze samochodu czy bicie serca. Drgają - czyli poruszają się periodycznie - struny w instrumentach muzycznych, grunt podczas trzęsienia ziemi, pracujący młot pneumatyczny.

Bardzo często zjawisko cykliczne wpływa na otoczenie i powoduje powstanie rozchodzącego się w nim zaburzenia. Gdy zanurzysz kijek w wodzie i zaczniesz wykonywać nim ruchy, zaobserwujesz rozchodzącą się na wodzie falę. Drgające struny powodują powstanie w powietrzu fali dźwiękowej. Opisem zjawisk związanych z rozchodzącymi się falami zajmiemy się w drugiej części rozdziału.

Fala – zaburzenie rozprzestrzeniające się w ośrodku lub przestrzeni. W przypadku fal mechanicznych cząstki ośrodka, w którym rozchodzi się fala, oscylują wokół położenia równowagi, przy czym przenoszą energię z jednego miejsca do drugiego bez transportu jakiejkolwiek materii.

Źródło fali
Fale mechaniczne nie powstają w próżni. Źródłem fali jest drgające ciało przekazujące swoje drgania cząsteczkom ośrodka, w którym się znajduje, dzięki czemu fala może się rozprzestrzeniać. Powierzchnia falowa

Powierzchnia falowa to zbiór punktów, w których znajdują się cząsteczki ośrodka będące w tej samej fazie ruchu.

Fala płaska
Fala kulista

Gdy powierzchnia falowa jest płaska, mówimy, że fala jest płaska, a gdy jest w kształcie sfery – że fala jest kulista.

Czoło fali Czoło fali to powierzchnia falowa będąca granicą pomiędzy obszarem, do którego zaburzenie falowe jeszcze nie doszło, a obszarem, w którym już jest obecne.

Promienie fali Promienie fali to linie prostopadłe do czoła fali, wskazujące kierunek rozchodzenia się fali.

Długość fali – λ [m] Długość fali to najmniejsza odległość pomiędzy dwiema powierzchniami falowymi o tych samych fazach.

Okres fali – T [s] Okres fali to okres drgań cząsteczek ośrodka, w którym rozchodzi się fala. Okres jest równy czasowi w jakim fala przebywa drogę równą jednej swojej długości (gdy t=T, to s = λ).

Częstotliwość fali – f [Hz] Częstotliwość fali to częstotliwość drgań cząsteczek ośrodka,w którym rozchodzi się fala.

Amplituda fali – A [m] Amplituda fali to amplituda drgań cząsteczek ośrodka,w którym rozchodzi się fala.

Prędkość rozchodzenia się fali – v [m/s] Prędkość fali, to prędkość z jaką rozprzestrzenia się zaburzenie jakim jest fala. Wartość prędkości wyraża wzór:

Spójne źródła fal Źródła spójne to ciała drgające,których drgania mają tę samą częstotliwość i w każdej chwili znajdują się w tej samej fazie ruchu lub mają niezmienną w czasie różnicę faz. Źródła spójne wykonują drgania w tym samym kierunku.

Fale spójne Fale spójne to fale pochodzące z kilku spójnych źródeł. Fale spójne mają taką samą częstotliwość i niezmienną w czasie różnicę faz.

Energia fali mechanicznej– E [J] Energia fali mechanicznej to suma energii potencjalnej sprężystości i energii kinetycznej, jaką posiadają drgające cząstki ośrodka. Energia ta przenoszona jest do coraz dalszych części ośrodka wraz z rozprzestrzeniającym się zaburzeniem falowym i jest wprost proporcjonalna do kwadratu amplitudy fali: E∼A².

Natężenie fali – I [^W/_m²]
Natężenie fali, podobnie jak energia, jest wprost proporcjonalne do kwadratu amplitudy fali: I∼A². Natężenie fali I jest to moc P=^E/_t przenoszona przez jednostkowy element powierzchni S, prostopadłej do kierunku rozchodzenia się fali. Wielkość ta określona jest wzorem:

Liczba falowa – w fizyce jeden z parametrów fali harmonicznej. Zdefiniowana jest wzorem

,

gdzie:

k — liczba falowa, w układzie SI jednostką jest 1/m;

λ — długość fali, w metrach.

Pulsacja (częstość kołowa, częstość kątowa) - wielkość określająca, jak szybko powtarza się zjawisko okresowe. Pulsacja jest powiązana z częstotliwością (f) i okresem (T) poprzez następującą zależność:

gdzie

ω – pulsacja (wyrażana w radianach na sekundę),

θ – faza ruchu drgającego (odpowiednik kąta w ruchu po okręgu),

2π – kąt pełny ( radiana = 360 stopni).

Okres (w fizyce) – czas wykonania jednego pełnego drgania w ruchu drgającym, czyli czas pomiędzy wystąpieniami tej samej fazy ruchu drgającego. Okres fali równy jest okresowi rozchodzących się drgań. Okres dotyczyć może również innych zjawisk fizycznych (np. prądu przemiennego), które mają charakter oscylacji (powtarzających się zmian jakiejś wielkości). W takim najogólniejszym znaczeniu, okresem nazywamy najmniejszy czas potrzebny na powtórzenie się wzoru oscylacji. Dla fali oznacza to odcinek czasu pomiędzy dwoma punktami fali o tej samej fazie, czyli np. między dwoma kolejnymi szczytami lub dolinami. Z innymi parametrami ruchu okresowego wiążą go następujące zależności:

gdzie: f - częstotliwość,

gdzie: ω - pulsacja (częstość kołowa).

gdzie:

• λ - długość fali,

• v - prędkość rozchodzenia się fali.

. Fale w ośrodkach sprężystych

   Ruch falowy jest bardzo rozpowszechniony w przyrodzie. Na co dzień doświadczamy obecności fal dźwiękowych i fal świetlnych. Powszechnie też wykorzystujemy fale elektromagnetyczne do przekazywania informacji za pomocą radia, telewizji czy przenośnych telefonów.
   Fale dźwiękowe czy też fale jakie obserwujemy na powierzchni wody posiadają jednak inną naturę niż fale elektromagnetyczne. Światło będące przykładem fali elektromagnetycznej rozchodzi się nie tylko w ośrodkach materialnych ale również w próżni. Przykładem jest docierające do nas światło słoneczne. Natomiast do rozchodzenia się fal dźwiękowych niezbędny jest ośrodek materialny.
    W tym rozdziale poznamy właściwości fal powstających w ośrodkach sprężystych (takich jak fale dźwiękowe), które nazywamy falami mechanicznymi .

13.1 Fale mechaniczne

   Jeżeli wychylimy jakiś fragment ośrodka sprężystego z jego położenia równowagi to w następstwie będzie on wykonywał drgania wokół tego położenia. Te drgania, dzięki właściwościom sprężystym ośrodka, są przekazywane na kolejne części ośrodka, które zaczynają drgać. W ten sposób zaburzenie przechodzi przez cały ośrodek.

 

Zwróćmy uwagę, że sam ośrodek nie przesuwa się, a jedynie jego elementy wykonują drgania. Dobrym przykładem są tu fale na powierzchni wody: przedmioty pływające na powierzchni wody wykonują ruch drgający w rytm fal natomiast same fale rozchodzą się ruchem jednostajnym.

   Fala dobiegając do danego punktu ośrodka wprawia go w ruch drgający przekazując mu energię, która jest dostarczana przez źródło drgań. Energia fal to energia kinetyczna i potencjalna cząstek ośrodka. Za pomocą fal można przekazywać energię na duże odległości przy czym cechą charakterystyczną jest to, że fale przenoszą energię poprzez ośrodek dzięki przesuwaniu się zaburzenia w ośrodku, a nie dzięki ruchowi postępowemu samego ośrodka. Jak wynika z powyższego, do rozchodzenia się fal mechanicznych potrzebny jest ośrodek. To właściwości sprężyste ośrodka decydują o prędkości rozchodzenia się fali.

Wszystkie fale wykazują następujące własności:

• prostoliniowe rozchodzenie się fali w ośrodkach jednorodnych,

• odbicie – po dojściu do granicy ośrodków fale zmieniają kierunek poruszając się nadal w tym samym ośrodku

• załamanie – na granicy ośrodków fala przechodząc do ośrodka, w którym porusza się z inną prędkością, zmienia kierunek swego biegu,

• dyfrakcja – uginanie się fali na krawędziach, czego skutkiem jest zdolność do omijania przeszkód mniejszych niż długość fali, oraz powstawanie pasków dyfrakcyjnych po przejściu fali przez wąską szczelinę albo przeszkodę;

Rozchodzące fale nakładają się na siebie w wyniku czego zachodzą zjawiska:

• interferencja – nakładanie się spójnych fal z różnych źródeł, które prowadzi do wzmocnienia lub wygaszenia się fal;

• dudnienie – oscylacje amplitudy fali;

Fale o różnych długościach mogą w różnych ośrodkach rozchodzić się z różnymi prędkościami. Efekt ten, nazywamy dyspersją fali, powoduje na przykład:

• rozszczepienie – załamanie fal pod różnymi kątami, zależnie od ich długości, powoduje rozkład fali na fale składowe, np. rozszczepienie światła w pryzmacie.

• Zasada Huygensa tłumaczy w geometryczny sposób rozchodzenie się fal w ośrodku sprężystym (obowiązuje również dla fal elektromagnetycznych) i wyjaśnia takie zjawiska falowe, jak: odbicie, załamanie czy ugięcie fali. Formułuje się ją następująco:

Każdy punkt ośrodka, do którego dociera fala, staje się źródłem nowej fali kolistej względnie kulistej.
• Odbicie fali – jeżeli fala pada na przeszkodę, to ulega odbiciu, przy czym kąt padania, normalna do powierzchni odbijającej oraz promień odbity leżą w jednej płaszczyźnie. Kąt padania jest równy kątowi odbicia.

• Załamanie fali – jeżeli fala przechodzi przez granicę dwóch ośrodków, różniących się prędkością rozchodzenia się fali, to ulega załamaniu. Kąt padania, normalna do powierzchni granicznej i kąt załamania leżą w jednej płaszczyźnie oraz



gdzie: v₁, v₂ – prędkości rozchodzenia się fal w ośrodku pierwszym
i drugim.

• Ugięcie, czyli dyfrakcja – jeżeli rozchodząca się fala napotyka na swej drodze przeszkodę o rozmiarach zbliżonych do jej długości λ, to ulega na niej dyfrakcji. Dyfrakcja polega na zaburzeniu prostoliniowego rozchodzenia się fali w danym ośrodku.

• Interferencja to nakładanie się fal rozchodzących się z dwóch lub większej liczby źródeł. Nakładanie się fal zachodzi bezkolizyjnie, fale przenikają się nawzajem. W wyniku interferencji może wystąpić wzmocnienie lub wygaszenie fali . Interferencja możliwa jest tylko dla fal o tych samych długościach (częstotliwościach) i stałej różnicy faz.

Wzmacnianie zachodzi w miejscach, w których spotykają się dwa grzbiety lub dwie doliny fal.

Wygaszenie występuje w miejscach spotkania się doliny jednej fali
z grzbietem drugiej fali.

W punkcie S zachodzi wygaszenie.



W punkcie S zachodzi wzmocnienie.



Z₁, Z₂ – miejsca wzbudzenia fal; r₁, r₂ – drogi przebyte przez fale od miejsca wzbudzenia do punktu nałożenia S.

• Wzmocnienie interferencyjne zachodzi wówczas, gdy spełniony jest warunek:

Δr = r₁ – r₂ = nλ,  gdzie n = 0, 1, 2, 3...

• Wygaszenie interferencyjne zachodzi wówczas, gdy spełniony jest warunek:

,
gdzie n = 1, 2, 3...

• Dudnienia są szczególnym przypadkiem interferencji dwóch fal
o minimalnie różniących się częstotliwościach (np. f₁ = 400 Hz i f₂ = 410 Hz). W wyniku takiej interferencji powstaje fala o okresowo zmiennej amplitudzie.
Częstotliwość dudnień f_d wyraża się wzorem:

Fale poprzeczne i podłużne, polaryzacja

Ze względu na kierunek drgań fale dzielimy na:

	fale podłużne - gdy drgania odbywają się równolegle do kierunku rozchodzenia się fali
	fale poprzeczne - gdy drgania odbywają się prostopadle do kierunku rozchodzenia się fali

Fale podłużne

Rysunek - kierunek drgań fali podłużnej 

Rysunek - kierunek drgań fali podłużnej, z uwzględnieniem chwilowej wartości wektora wychylenia
 - dłuższe strzałki oznaczają większą wartość wielkości zaburzanej przez falę

Rysunek umieszczony powyżej uwzględnia fakt, że w danym momencie różne obszary przestrzeni maja różną wartość wychylenia.

Przykładem fal podłużnych są fale dźwiękowe rozchodzące się w powietrzu, lub w wodzie.

Sprężynka slinky

Dobrym sposobem na obserwowanie fal podłużnych jest zaopatrzenie się w długą sprężynę (może być zabawka - tzw. sprężynka slinky). Taka sprężyna zaczepiona z jednego końca i zwieszająca się luźno jest ośrodkiem, w którym mogą rozchodzić się oba rodzaje fal - poprzeczne i podłużne. Omawiane tu fale podłużne uzyskamy wtedy, gdy uderzymy sprężynę "wzdłuż", a poprzeczne gdy zaczniemy nią machać.

Fale poprzeczne

Rysunek - kierunek drgań fali podłużnej 

Rysunek - kierunek drgań fali poprzecznej, z uwzględnieniem chwilowej wartości wektora wychylenia
 - dłuższe strzałki oznaczają większą wartość wielkości zaburzanej przez falę

Rysunek umieszczony powyżej uwzględnia fakt, że w danym momencie różne obszary przestrzeni maja różną wartość wychylenia.

Określenie kierunku drgań wielkości zmieniającej się, względem kierunku rozchodzenia się fali określana jest często mianem polaryzacji fali.

Polaryzacja fali poprzecznej

Drgania poprzeczne mają dodatkową uzupełniającą właściwość zwaną polaryzacją. Polaryzacja określa dodatkowo kierunek w przestrzeni wzdłuż którego zachodzi drganie.

Równanie harmonicznej fali płaskiej

Równanie fali harmonicznej płaskiej ma postać:

s = A sin (ω t - k x + φ₀)

λ - długość fali (w układzie SI w metrach - m)
φ₀ - faza początkowa (wielkość niemianowana)
A - amplituda fali (jednostka tej wielkości zależy od rodzaju fali i od sposobu jej opisu -np. dla fal dźwiękowych może to być ciśnienie akustyczne, i wtedy wyraża się w paskalach)

ω  - częstość kołowa 
(jednostka w układzie SI: 1/s = s^-1)

ω = 2 π f  

T - okres drgań
(jednostka w układzie SI: sekunda - s)
f - częstotliwość 
(jednostka w układzie SI:  Hz = 1/s = s^-1)