Odpowiedzi przygotowali studenci I roku ekonomii Politechniki Świętokrzyskiej rocznik 2011/12

opracował: Oskar Dąbrowski

Odpowiedzi do macierzy

m7.

a) detA = −2, b) detA = 1, c) detA = 14, d) detA = 4i − 4,
e) detA = 11 − 11i, f) detA = −2x³ − 2y³, g) detA = 62;

m8.

a) λ₁ = −1,  λ₂ = 2, b) λ₁ = −2,  λ₂ = 1,  λ₃ = 4;

m9.

a) x = (−1, 0) ∪ (1, +∞), b) x ∈ ( − ∞,  2 >   ∪ {1};

m10.

a) x = −1,  y = −2, b) x = 1,  y = 0,  z = −2, c) x = −i,  y = 1,  z = 1 + i,
d) x = 1,  y = −2,  z = −1,  t = 2;

m11.

a) a ≠ 1,  a ≠ −1,  a ≠ 0, b) a ≠ 1,  a ≠ −1;

m12.

a) b = 0,  b = 6, b) b = 0,  b = −1;

m13.

a) a ≠ 0,  a ≠ 4, b) $a \neq \frac{2}{3}$;

m14.

a) $A^{- 1} = \begin{bmatrix} \frac{1}{5} & - \frac{2}{5} \\ \frac{3}{10} & - \frac{1}{10} \\ \end{bmatrix}$, b) $A^{- 1} = \frac{1}{ad - bc}\begin{bmatrix} d & - b \\ - c & a \\ \end{bmatrix}$, c) $A^{- 1} = \frac{1}{5}\begin{bmatrix} 1 - 2i & 3 - i \\ 1 + 3i & - 2 - i \\ \end{bmatrix}$,
d) $A^{- 1} = \frac{1}{5}\begin{bmatrix} 0 & \begin{matrix} 1 & - 2 \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} - 5 \\ 5 \\ \end{matrix} & \begin{matrix} 1 & 3 \\ 1 & - 2 \\ \end{matrix} \\ \end{bmatrix}$, e) $A^{- 1} = \frac{1}{6}\begin{bmatrix} \begin{matrix} 6 & 2 \\ 0 & 1 \\ \end{matrix} & \begin{matrix} 4 & - 2 \\ - 1 & 2 \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 & 2 \\ 6 & 0 \\ \end{matrix} & \begin{matrix} 4 & - 2 \\ 6 & 0 \\ \end{matrix} \\ \end{bmatrix}$;

m15.

a) X = A⁻¹B, b) X = (C − B)A⁻¹, c) X = AC + B, d) X = A⁻¹(D − C)B⁻¹, e) X = (A − C)⁻¹B;

m16.

a) $X = \frac{1}{3}A^{- 1}\left( C - B^{T} \right) = \begin{bmatrix} - 1 & 1 \\ 1 & - 1 \\ \end{bmatrix}$, b) $X = ADB^{- 1} = \begin{bmatrix} 3 & \begin{matrix} 0 & 0 \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ \end{matrix} & \begin{matrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \\ \end{matrix} \\ \end{bmatrix}$, c) $X = DA^{- 1} - B = \begin{bmatrix} 1 & \begin{matrix} 0 & 1 \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ \end{matrix} & \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{matrix} \\ \end{bmatrix}$;

m17.

a) $\begin{matrix} x \\ y \\ \end{matrix} = \begin{matrix} - 1 \\ 1 \\ \end{matrix}$, b) $\begin{matrix} x \\ y \\ z \\ \end{matrix} = \begin{matrix} 1 \\ - 1 \\ 2 \\ \end{matrix}$;

Odpowiedzi do wektorów

w4.

$\overrightarrow{a} = \ \overrightarrow{u} - 4\overrightarrow{v}$, $\overrightarrow{b} = \ 2\overrightarrow{u} + 4\overrightarrow{v}$, $\overrightarrow{c} = - 3\overrightarrow{v}$, $\overrightarrow{d} = \ 3\overrightarrow{u} - 2\overrightarrow{v},\backslash n\overrightarrow{e} = \ - 3\overrightarrow{u} - 2\overrightarrow{v}$, $\overrightarrow{f} = \ - 3\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{g} = \ 2\overrightarrow{u} - 4\overrightarrow{v}$, $\overrightarrow{h} = \ - 2\overrightarrow{u} + 4\overrightarrow{v}$,
$\overrightarrow{i} = \ 4\overrightarrow{u}$;

w 5.

$\overrightarrow{\text{AB}} = - 2\overrightarrow{i} + \overrightarrow{j} + 3\overrightarrow{k}$, $\overrightarrow{\text{BC}} = - \overrightarrow{i} + \overrightarrow{j}$, $\overrightarrow{\text{CD}} = - \overrightarrow{i} - \overrightarrow{j} + 2\overrightarrow{k}$, $\overrightarrow{\text{DA}} = 2\overrightarrow{i} - 3\overrightarrow{j} + \overrightarrow{k}$, $\overrightarrow{\text{AC}} = - 3\overrightarrow{i} + 2\overrightarrow{j} + 3\overrightarrow{k}$, $\overrightarrow{\text{DB}} = - 2\overrightarrow{j} + 2\overrightarrow{k}$;

Odpowiedzi do układu współrzędnych

u3.

$P_{\left( O,\overrightarrow{u},\overrightarrow{v} \right)} = \left( 4\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} \right),\ P_{(O^{'},{\overrightarrow{u}}^{'},{\overrightarrow{v}}^{'})} = ( - 2{\overrightarrow{u}}^{'} + 3{\overrightarrow{v}}^{'})$;

u4.

Odpowiedzi do iloczynu skalarnego

s1.

s3.

a) 135, b) 45, c) 30, d) 60, e) 135, f) 120, g) 150, h) 45;

s8.

s9.

Odpowiedzi do prostej i płaszczyzny

p16.

a) $\left\{ \begin{matrix} x = - 1 + 4t \\ y = 4 - 6t \\ \end{matrix} \right.\ $, b) $\left\{ \begin{matrix} x = 5 + 4t \\ y = - 1 + 3t \\ z = 3 + 6t \\ \end{matrix} \right.\ $;

p17.

p18. 3x + 4y + 6 = 0;

p19.

5x − 3y − 2z − 3 = 0; Skorzystaliśmy tu ze wzoru: A(x−x₀) + B(y−y₀) + C(z−z₀) = 0;

p20.

$\overrightarrow{n} = \lbrack 7,\ 7,\ - 7\rbrack$; Iloczyn wektorowy

p21.

2x − 6y + 4z − 20 = 0; Iloczyn wektorowy + wzór z zadania p19.

p22.

−26x + 31y + 33z − 39 = 0;

p23.

21x − 13y + 11z − 81 = 0; Przekształcamy równanie prostej na równanie parametryczne, a następnie budujemy wektor $\overrightarrow{P_{0}A}$ zaczepiony w punkcie zaczepienia wektora prostej i kończący się w punkcie A, dalej jak w zadaniu p21.

p24.

$\left\{ \begin{matrix} x = - 1 + 3t \\ y = - 7t \\ \end{matrix} \right.\ $;

p25.

3x + 4y + 5 = 0;

p26.

p27.

$P( - \frac{9}{2},12,\ \frac{9}{2})$; Do równania płaszczyzny wstawiamy równanie parametryczne prostej, wyliczamy, t które podstawiamy do równania parametrycznego prostej.

p28.

$\left\{ \begin{matrix} x = - 1 - 14t \\ y = - 7t \\ z = 7t \\ \end{matrix} \right.\ $; Wsk. Iloczyn wektorowy wektorów normalnych płaszczyzn.

p29.

p32.

A^′(1,  1,   − 7);

p33.

A^′(0,   − 1,   − 8);

p34.

$A^{'}( - \frac{52}{29},\ \frac{276}{29})$;

p35.

$\left\{ \begin{matrix} x = 1 - {\frac{41}{6}t} \\ y = - 8 + \frac{41}{6}t \\ z = 2 - {\frac{82}{6}t} \\ \end{matrix} \right.\ $;

p36.

$\left\{ \begin{matrix} x = - 7,4 + 10,2t \\ y = - 4,6 + 10,4t \\ z = - 1,7 + 0,2t \\ \end{matrix} \right.\ $;

p37.

kat ≈ 71; Wsk. Iloczyn skalarny.

p38.

kat ≈ 100;

p39.

kat ≈ 130;

p40.

p41.

$P = \sqrt{633},\ O = \sqrt{33} + \sqrt{29} + \sqrt{26}$;

p42.

$d = \frac{27\sqrt{13}}{13}$; Wsk. Wzór $d = \frac{\left| Ax + By + C \right|}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}}$.

p43.

$d = \frac{5\sqrt{6}}{3}$;

p44.

d ≈ 7, 856;

p45.

$\left\{ \begin{matrix} x = 1 + 5,4t \\ y = 2 + 2,2t \\ z = 1 + 5,6t \\ \end{matrix} \right.\ $;

Odpowiedzi do operatorów

o50.

a) P^′(4, 3),  Q^′(−2, 1),  R^′(−4, −3),  S^′(2,   − 1), detA = 5,
b) P^′(−1, 1),  Q^′(1, 1),  R^′(1, −1),  S^′(−1,   − 1), detA = −1,
c) P^′(1, 1),  Q^′(−1, 1),  R^′(−1, −1),  S^′(1,   − 1), detA = 1,
d) P^′(−3, 3),  Q^′(−1, −1),  R^′(3, −3),  S^′(1,  1), detA = 3,
e) P^′(6, 3),  Q^′(2, 1),  R^′(−6, −3),  S^′(−2,    − 1), detA = 0;

o54.

$detA = \begin{bmatrix} \frac{1}{39} & - \frac{7}{13} \\ \frac{3}{13} & \frac{15}{13} \\ \end{bmatrix}$;

o55.