Uniwersytet Warmińsko-Mazurski

w Olsztynie

WYDZIAŁ NAUK TECHNICZNYCH

kierunek – Mechatronika, rok II

Emilian Hasiuk

Eliasz Bartkowski

Robert Jasiński

Sprawozdanie nr 7

Temat: Stabilność układu

Sprawozdanie wykonane ramach

przedmiotu Automatyka, pod kierunkiem

mgr inż. Krzysztofa Łapińskiego.

Olsztyn, 2015

Cele ćwiczenia:

Zapoznanie się z zagadnieniami stabilności układu regulacji w automatyce. Określenie stabilności układu za pomocą kryterium Hurwitza dla parametru k podanego przez prowadzącego. Następnie przeprowadzenie symulacji pracy obiektu w programie MATLAB. Na podstawie kryterium Nyquist’a zostanie wyznaczona odpowiedź układu zamkniętego.

1. Przebieg ćwiczenia:

Zad. Rozwiązanie obiektu.

• Obiekt:

$$2\dddot{y}\left( t \right) + a\ddot{y}\left( t \right) + 4\dot{y}\left( t \right) + ky\left( t \right) = 2\dot{u}\left( t \right) + 3u(t)$$

gdzie: a = 8

$$2\dddot{y}\left( t \right) + 8\ddot{y}\left( t \right) + 4\dot{y}\left( t \right) + ky\left( t \right) = 2\dot{u}\left( t \right) + 3u(t)$$

• Założenia do zadania:

y (0⁺) = 0

y(0⁺) = 0

• Robimy przekształcenie Laplace’a wykonane dla obydwu stron równania:

$$L\left\{ \dddot{2y\left( t \right) +}8\ddot{y}\left( t \right) + 4\dot{y}\left( t \right) + ky\left( t \right) \right\} = L\left\{ 2\dot{u}\left( t \right) + 3u\left( t \right) \right\}$$

Dzięki transformacji Laplace’a przechodzimy z dziedziny czasu do dziedziny częstotliwości.

Zastosowanie twierdzenia o liniowości (Tw1) F(s) = L{f(t)} G(s) = L{g(t)}

$$2L\left\{ \dddot{y} \right\} + 8L\left\{ \ddot{y} \right\} + 4L\left\{ \dot{y} \right\} + kL\left\{ y \right\} = 2L\left\{ u \right\} + 3L\left\{ u \right\}$$

• Stosujemy twierdzenie o transformacie pochodnej (Tw3):

$$2L\left\{ \dddot{y}\left( t \right) \right\} = {2s}^{3}*Y(s)$$

$$8L\left\{ \ddot{y}\left( t \right) \right\} = 8s^{2}*Y\left( s \right)$$

$$4L\left\{ \dot{y}\left( t \right) \right\} = 4s*Y\left( s \right)$$

k{y(t)} = kY(s)

Podstawiamy z powrotem do równania:

2s³ * Y(s) + 8s² * Y(s) + 4s * Y(s) + kY(s) = 2sU(s) + 3U(s)

Przekształcamy równanie wyłączając przed nawias Y(s) oraz U(s):

Y(s)(2s³+8s²+4s+k) = U(s)(2s + 3)

• Przekształcamy powyższe równanie do postaci transmitancji operatorowej, która jest opisywana równaniem $G\left( s \right) = \frac{Y(s)}{U(s)}$:

$$G\left( s \right) = \frac{Y(s)}{U(s)} = \frac{2s + 3}{(2s^{3} + 8s^{2} + 4s + k)}$$

Za jej pomocą można określić odpowiedź układu na dowolne wymuszenie.

• Następnie wyznaczamy wartość k zgodnie z kryterium Hurwitza:

M(s)= a_nsⁿ+ a_n − 1s^n − 1+..  +  a₁s +  a₀ a₀=k

M(s)= 2s³ + 8s² + 4s + k

Warunek konieczny :  k > 0

Wyznacznik Hurwitza:

$_{n} = \left| \begin{matrix} a_{2} & a_{3} & 0 \\ a_{0} & a_{1} & a_{2} \\ 0 & 0 & a_{0} \\ \end{matrix} \right| = \left| \begin{matrix} 8 & 2 & 0 \\ k & 4 & 8 \\ 0 & 0 & k \\ \end{matrix} \right|$ >0,  i = 4, 2

$$= 8 > 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ _{2} = \left| \begin{matrix} 8 & 2 \\ k & 4 \\ \end{matrix} \right| = 4*8 - 2*k > 0\ \ \ \ \ \ \ \ K < 16\ $$

Zgodnie z powyższym układ jest stabilny jeżeli k mieści się w przedziale: 0<k<16

• Korzystając z programu MATLAB uzyskujemy odpowiednie charakterystyki dla naszego obiektu:

Zapis wprowadzenia dla k górnego równego 16 wyglądał tak:

close all;

s = tf(′s′)

$$G = (2*s + 3)/(2*s\hat{}3 + 8*s\hat{}2 + 4*s + 16)$$

hold on;

figure(1);

nyquist(G)

figure(2);

pzmap(G)

figure(3);

step(G)

Gz = G/(1 + G)

figure(4);

step(Gz)

Po zaimplementowaniu powyższego kodu uzyskaliśmy cztery charakterystyki:

Rys.1 Charakterystyka Nyquista

Rys.3 Odpowiedź skokowa układu otwartego

Rys.4 Odpowiedź skokowa układu zamkniętego

Należy dodać, że odpowiedź skokowa układu otwartego została uzyskana ze wzoru:

$$G_{o}(s) = G(s) = \frac{2s + 3}{(2s^{3} + 8s^{2} + 4s + k)}$$

Zaś odpowiedź układu zamkniętego należało przekształcić zgodnie ze wzorem:

$G_{z}\left( s \right) = \frac{G_{o}\left( s \right)}{1 + G_{o}\left( s \right)}$

• Dokładnie tak samo postąpiliśmy przy wykreśleniu charakterystyk dla k=14

Program zaimplementowany w środowisku MATLAB wyglądał tak:

close all;

s = tf(′s′)

$$G = (2*s + 3)/(2*s\hat{}3 + 8*s\hat{}2 + 4*s + 14)$$

hold on;

figure(1);

nyquist(G)

figure(2);

pzmap(G)

figure(3);

step(G)

Gz = G/(1 + G)

figure(4);

step(Gz)

to pozwoliło nam na uzyskanie odpowiednich wykresów:

Rys.5 Charakterystyka Nyquista

Rys.6 Mapa biegunów z zer (funkcja pzmap(G))

Rys.7 Odpowiedź skokowa układu otwartego

Rys.8 Odpowiedź skokowa układu zamkniętego

3. Wnioski:

• Za pomocą map biegunów można ocenić stabilność układów. Jeżeli układ posiada co najmniej jeden pierwiastek w prawej półpłaszczyźnie zmiennej zespolonej to jest on nie stabilny.

• Otrzymany układ dla k=16 jest stabilny nieasymtotycznie, ponieważ pierwiastki występują na osi urojonej.

Układ dla k=14 układ jest stabilny, ponieważ wszystkie pierwiastki równania charakterystycznego układu zamkniętego są ujemne, czyli znajdują się w lewej półpłaszczyźnie.

• Kryterium Hurwitza jest niedogodne dla wielomianów wysokiego stopnia, ponieważ wymaga obliczania m-1 wyznaczników stopnia od 1 do m-1 włącznie, gdzie m - stopień pierwiastka oraz że obliczenie wartości wyznacznika stopnia k-tego wymaga nakładu obliczeniowego rzędu k^2.

• Kryterium Nyquista należy do grupy kryteriów częstotliwościowych. Jest stosowane do systemów ze sprzężeniem zwrotnym. Wymaga ono znajomości postaci analitycznej wielomianu mianownika transmitancji. Oferuje ono większe możliwości, gdyż wymaga znajomości odpowiednich charakterystyk częstotliwościowych, które można zmierzyć. Kryterium Nyquista pozwala na sprawdzenie stabilności układu zamkniętego na podstawie jego badania.

• Stabilność jest niezbędnym parametrem, potrzebnym do poprawnej pracy układu automatycznej regulacji. Świadczy on o tym, że układ po wyprowadzeniu go ze stanu równowagi sam do niego wraca.

• Stabilność układu można ocenić również, za pomocą kryterium odpowiedzi skokowej. Mówi ono o tym, że układ powinien osiągnąć stan ustalony w czasie dążącym do nieskończoności.

• Program Matlab jest pomocny przy tworzeniu charakterystyk Nyquista i innych. Dzięki niemu dużo szybciej i łatwiej uzyskuje się przbieg w postaci wykresu.

• Przekształcenia Laplace’a na samym początku rozwiązywania obiektów pomagają rozwiązać problem przy ocenie dynamiki funkcji y(t,) gdy występują różne u(t).

• Za pomocą Transmitancji operatorowej można określić odpowiedz układu na dowolne wymuszenie, gdyż opisuje zależność pomiędzy wejściem, a wyjściem obiektu w dziedzinie częstotliwości.

• Transformancja Operatorowa przeprowadzona w obliczeniach i przekształceniach zajmuje sporo czasu i wymaga zastosowania wielu twierdzeń. Sposób przeliczeń na kartce jest bardzo żmudny i czasochłonny.

• Warunki początkowe dla Transmitancji Operatorowej zawsze muszą być równe 0 aby uzyskać czytelny wynik.