Przepis na Ciasto Bananowe

Składniki:

Masa bananowa:
2 galaretki cytrynowe
4 banany
1 żółtko
15 dag masła
cukier waniliowy
Do dekoracji:
1 banan
1 galaretka pomarańczowa
Ponadto:
około 15 dag biszkoptów

Sposób wykonania:

Średniej wielkości tortownicę (o średnicy 23-25 cm) wyłożyć biszkoptami.

Galaretki cytrynowe rozpuścić w 2 szklankach gorącej wody i wystudzić. Banany obrać i zetrzeć na tarce o dużych oczkach. Żółtko utrzeć z masłem i cukrem waniliowym. Połączyć z tężejącymi galaretkami cytrynowymi i bananami. Masę bananową przełożyć do tortownicy.

Wstawić do lodówki na 1 godzinę. Następnie udekorować plasterkami banana.

Galaretkę pomarańczową rozpuścić w 1 szklance gorącej wody i wystudzić. Tężejącą galaretkę wylać na ciasto. Schłodzić w lodówce.

Smacznego.

4. OPTYMALIZACJA

4.1. Wstęp

Optymalizacja to działalność, której celem jest uzyskanie najlepszego rezultatu w danych warunkach dla przyjętego kryterium oceny.

Najlepszy z uzyskanych wyników nazywamy optymalnym.

Optymalizacją objęta jest materia nieożywiona, flora i fauna.

Człowiek świadomie prowadząc optymalizację, liczy na jej pozytywne efekty zarówno osobiste jak i społeczne.

Głównym celem rozważań inżynierów i producentów jest poszukiwanie optymalnych rozwiązań w technice.

Poszukiwanie optymalnych rozwiązań metodami doświadczalnymi jest pracochłonne i zużywające duże ilości materiałów, a tym samym niezwykle kosztowne.

Bardzo istotną stała się umiejętność opracowywania modelu matematycznego badanego obiektu. Analityczny opis obiektu przyśpiesza znalezienie rozwiązania optymalnego i znacznie obniża koszty operacji.

Współczesny poziom techniki komputerowej sprawia, że przebieg procesu optymalizacji stał się mniej abstrakcyjny - bardziej transparentny - monitorowalny oraz mniej czasochłonny. Poważnym ułatwieniem w prowadzeniu optymalizacji są dostępne specjalne programy komputerowe.

Optymalizacją statyczną. nazywamy poszukiwanie optymalnych wartości zmiennych decyzyjnych (sygnałów sterujących) interesującego nas obiektu, spełniających postawione kryterium oceny (funkcję celu, wskaźnik jakości).

Optymalizacją dynamiczną nazywamy proces (będący najczęściej funkcją czasu) poszukiwania optymalnych zmian sygnału sterującego (zmiennych decyzyjnych) dla spełnienia założonej funkcji celu.

Optymalizacja jednokryterialna (skalarna) to poszukiwanie optimum dla jednej funkcji celu.

Optymalizacja wielokryterialna (wektorowa) to takie działanie, które dla znalezienia najlepszego rozwiązania analizuje kilka funkcji celu. Wybór ze zbioru rozwiązań optymalnych najlepszego rozwiązania wymaga podjęcia decyzji, opartej o kompromis oparty o przyjęty system wartości.

Wyboru dokonać powinien projektant, który może postąpić następująco:

- wybrać rozwiązanie jego zdaniem najlepsze,

- wybrać w celu nowego wyboru, podzbiór ze zbioru rozwiązań optymalnych,

- utworzyć w celu dokonania ponownej analizy rozwiązań, listę rankingową.

4.2. Metody optymalizacji

Optymalizację można prowadzić metodami doświadczalnymi lub matematycznymi.

4.2.1 Metody doświadczalne

Metody doświadczalne należą do najstarszych i są obok współczesnych do dziś z powodzeniem stosowane.

Wytyczone przed laty drogi dróżki leśne, szlaki górskie i wodne, wejścia na szczyty nie wymagają korekty. Osiągnięcia dawnej techniki budzą ciągle nasz podziw.

Metodami doświadczalnymi można poszukiwać bezpośrednio rozwiązań optymalnych lub prowadzić doświadczenia w celu znalezienia niezbędnych parametrów dla opracowania empirycznego modelu matematycznego optymalizowanego obiektu. Zwykle empiryczny model oparty jest o następujące funkcje:

φ(x)=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ lub

φ(x)=Ae^rx+Ae^sx+…

4.2.2 Metody matematyczne

Metody matematyczne można podzielić na analityczne i geometryczne. W obydwu przypadkach dla prowadzenia optymalizacji niezbędny jest model matematyczny.

Dla przeprowadzenia optymalizacji metodami matematycznymi należy:

• określić funkcję celu Z (zwaną także wskaźnikiem jakości lub kryterium oceny)

Z = f(x₁,x_2,….., x_n) (4.1) gdzie :  x₁,  x₂…..,x_n  sa zmiennymi decyzyjnymi. 

Szczegółowa postać f. celu jest następująca: Z=c₁x₁+c₂x₂+…+c_jx_j+c_nx_n,

• wskazać czy szukane będzie maksimum czy minimum funkcji celu Z,

• sformułować ograniczenia w postaci nierówności lub równości funkcji:

φ_i(x₁,x_2,….., x_n)≤b_i ,

γ_k(x₁,x_2,….., x_n)=b_k , 4.2)

δ_l(x₁,x_2,….., x_n)≥b_l ,

gdzie: b_i, b_k, b_l - są ograniczeniami.

Spotykane są również zapisy ograniczeń:

$\sum_{\mathbf{j = 1}}^{\mathbf{n}}{\mathbf{a}_{\mathbf{\text{ij}}}\mathbf{x}_{\mathbf{j}}\mathbf{\{ \leq lub = lub \geq \}}\mathbf{b}_{\mathbf{i}}}$ ,$\mathbf{\text{\ \ \ \ \ \ \ }}\begin{matrix} \mathbf{a}_{\mathbf{11}}\mathbf{x}_{\mathbf{1}} & \mathbf{a}_{\mathbf{12}}\mathbf{x}_{\mathbf{2}}\mathbf{\text{..}} & \mathbf{\text{..}}\mathbf{a}_{\mathbf{1}\mathbf{m}}\mathbf{x}_{\mathbf{m}}\mathbf{\text{\ \ }} \\ \mathbf{\ldots} & \mathbf{\ldots} & \mathbf{\ldots} \\ \mathbf{a}_{\mathbf{n}\mathbf{1}}\mathbf{x}_{\mathbf{1}} & \mathbf{a}_{\mathbf{n}}\mathbf{x}_{\mathbf{12}}\mathbf{\text{..}} & \mathbf{\text{..a}}_{\mathbf{\text{nm}}}\mathbf{x}_{\mathbf{m}} \\ \end{matrix}\mathbf{=}\begin{matrix} \mathbf{b}_{\mathbf{1}} \\ \mathbf{\text{...}} \\ \mathbf{b}_{\mathbf{1}} \\ \end{matrix}$

• zapisać ograniczenia dla zmiennych decyzyjnych x_j 

x_j≥0. (4.3)

Jeżeli związki (4.1) i (4.2) są liniowe, optymalizacja będzie zagadnieniem liniowym. Ten rodzaj optymalizacji nosi w literaturze nazwę programowania liniowego.

Gdy w związkach (4.1) i (4.2) wystąpią iloczyny, ilorazy, potęgi kilku lub wszystkich zmiennych decyzyjnych optymalizacja staje się zagadnieniem nieliniowym. W tym przypadku optymalizacja nazywana jest programowaniem nieliniowym.

4.3. PRZYKŁADY

4.3.1 Programowanie liniowe i nieliniowe

Firma produkuje dwa rodzaje kostki brukowej w kolorze czerwonym i szarym.

1. Wyprodukowanie 1 tony kostki czerwonej wymaga 2 h pracy maszyn oraz 3 h pracy ludzi i 2 l barwnika.

2. Wyprodukowanie 1 tony kostki szarej wymaga 1 h pracy maszyn oraz 3 h pracy ludzi Oba rodzaje kostki wymagają takiej samej ilości cementu i żwiru.

3. Firma dysponuje 10 h pracy maszyn, 24 h pracy ludzi i 8 l barwnika.

4. Zysk z produkcji tony kostki bezbarwnej wynosi 200 zł, a z tony kostki czerwonej 300 zł.

W oparciu sformułowane zadanie, można opracować tabelę ułatwiającą opis matematyczny zagadnienia

Składniki	Produkty	Ograniczenia
	Kostka czerwona	Kostka szara
Środki produkcji	X1 [t]	X2 [t],
Maszyny [h/t]	2	1
Pracownicy [h/t]	3	3
Barwnik [l/t]	2	0
Zysk[zł/t], Z	300	200

.

Funkcję celu, wynikającą z zapisu w tabeli określającą zysk przedstawia zależność:

Z = 300x₁+200x₂ (4.5)

W oparciu o zestawienie przedstawione w tabeli, można napisać następujące równania ograniczając:

2x₁+x₂≤10

3x₁+3x₂≤24 (4.6)

2x₁≤8 .

Ograniczenia dla zmiennych decyzyjnych są następujące:

x₁≥0

(4.7)

x₂≥0

Wpisując w zależnościach (4.6) i (4.7) zamiast znaków nierówności znaki równości uzyskamy:

2x₁+x₂=10

3x₁+3x₂=24

2x₁=8 (4.8)

x₁=0

x₂=0

Rozwiązując następnie uzyskane równania prostych( 4.8) parami, każde z każdym otrzymamy punkty ich przecięcia lub informacje o ich równoległości lub pokrywaniu się. Nie wystarcza to jednak do wyznaczenia obszaru dopuszczalnego. W celu rozwiązania zadania programowania stosowane są m.in. metody analityczne. Rozpowszechnioną w literaturze metodą rozwiązywania tego rodzaju zagadnień jest metoda sympleksów [9 - 12]. Metoda ta jest dość złożona i bardzo pracochłonna. Dla przypadku dwu zmiennych niezależnych znajdowanie obszaru dopuszczalnego i optymalnej wartości funkcji celu, można stosować metodą geometryczną, polegającą na nakreśleniu poszczególnych zależności ograniczających. Wartość optymalną funkcji celu uzyskujemy badając jej wartości dla poszczególnych linii funkcji ograniczających. Metoda geometryczna może być stosowana zarówno w przypadku liniowych jak i nieliniowych.

Przykłady rozwiązywania zadania liniowego oraz nieliniowego optymalizacji przedstawiono na rys. 4.1 a i 4.1 b. Do rozwiązywania zadania wykorzystano program matematyczny i graficzny MATLAB – SIMULUNG.

Rozwiązanie zadania programowania liniowego, opisanego związkami (4.5) i (4.8) przedstawiono na rys. 4.1 a).

Natomiast rozwiązanie zadania programowania nieliniowego przedstawione na rys. 4.1b), opracowano dla związków:

Z = 1.5x₂+2x₁ , 2x₁+x₂=10 , 0.5x₁²+x₂=8, x₁=0, x₂=0 (4.9)

Rys. 4.1 Programowanie metodą graficzną w programie simulink: a) rozwiązanie zadania liniowego, b) rozwiązanie zadania nieliniowego

4.3.2 Programowanie dynamiczne

Dla przedstawionej na rys. 4.2 zamurowanej belki z obciążeniem ciągłym q i przemieszczającym się wzdłuż osi x obciążeniem skupionym P, zaproponować rozwiązanie, w którym odkształcenie w kierunku osi y niezależnie od położenia siły P nie wystąpi. Dla spełnienia tego założenia funkcja celu będzie y=0 .

Propozycja rozwiązania problemu jest następująca: zastosować obciążenie korygujące P_k(x) leżące na kierunku obciążenia P skierowane przeciwnie i przemieszczające z tym obciążeniem. Z przedstawionej propozycji wynika, że:

y=y_q+y_P+y_k=0 (4.10)

gdzie:

y_q=q(24EJ)⁻¹(x⁴−4l³x+l⁴), 

y_P=P(6EJ)⁻¹(x³−3lx²+2l³),  (4.11) y_k=−P_k(6EJ)⁻¹(x³−3lx²+2l³),

Zależność wyrażająca siłę korygującą, określona w oparciu o równania (4.10) i (4.11) ma postać:

P_k=P + 0.25q(x⁴−4l³x+l⁴)(x³−3lx²+2l³)⁻¹ (4.12)

Oprcowany w oparciu model matematyczny, który stanowią zależności (4.10), (4.11) i (4.12) model symulacyjny i wniki symulacji w postaci oscylogramów przedstawiono na rys. 4.2.

Rys. 4.2 Model symulacyjny i wniki symulacji układu z optymalizacją dynamiczną

4.3.3 Analityczna i geometryczna metoda optymalizacji

Rys. 4.3 Optymalizacja geometryczna i analityczna

4. Optymalizacja sztywności zespołu wrzecionowego szlifierki do wałków w miejscu mocowania ściernicy poprzez dobór rozstawu łożysk we wrzecienniku

Rys.1 Model fizyczny zespołu wrzecionowego

Z definicji sztywności dla układu o związkach liniowych, wynika wzór:

j = Py⁻¹ (4)

Określone metodą superpozycji w oparciu o rys. 1, zależności wytrzymałościowe dla założonych sztywności łożysk, przedstawia zależność :

y = [Aa³D_a⁻⁴+Aa³D_a⁻⁴α⁻¹+(1 + 2α+α²)j_p⁻¹+α²j_t⁻¹]P              (5)

gdzie: A = 64(3πE)⁻¹,   a-wysięg, l- rozstaw łożysk, D_a- średnica wysięgu wrzeciona,D_l- średnica wrzeciona między łożyskami, α = a/l - wskaźnik wysięgu, j_p, j_t – sztywność przedniego, tylnego łożyska, P- obciążenie końcówki wrzeciona.

Sztywność zespołu wrzecionowego, która będzie maksymalizowaną funkcją celu, określa równanie wynikające z zależności (4) i (5):

j=[Aa³D_a⁻⁴+Aa³D_a⁻⁴α⁻¹+(1 + 2α+α²)j_p⁻¹+α²j_t⁻¹]⁻¹ . (6)

Zmienną decyzyjną będzie wskaźnik wysięgu α, ograniczony ze względów konstrukcyjnych następująco 0.25 ≤ ∝ ≤ 1.

Dla zbadania wartości przemieszczeń końcówki wrzeciona, minimalizacji zostanie poddana zależność (5), dla takiej samej zmiennej decyzyjnej i identycznego jej ograniczenia oraz ograniczenia wartości poprzecznego przemieszczenia końcówki wrzeciona, w miejscu mocowania ściernicy, z powodów technologicznych, według zapisu y ≤ 50 μm.

Rys. 2 Wrzeciennik ściernicy szlifierki do wałków łożyskowany hydrostatycznie:

a) model fizyczny, b) konstrukcja, c) model symulacyjny do optymalizacji rozstawu łożysk i średnic wrzeciona dla kryterium najwyższej sztywności poprzecznej (najmniejszych przemieszczeń) miejsca mocowania narzędzia,

d ) wyniki eksploracji

Na rys. 3 a) przedstawiono model symulacyjny i wyniki eksploracji b), c), d), modelu fizycznego z rys. 1 dla którego spośród trzech propozycji wymiarowych wrzeciona znaleziono najkorzystniejszą ze względu na sztywność końcówki wrzeciona. Dla tego przypadku na analizie poddano ograniczenia wynikające z możliwości wykonawcze łożyskowania dla przypadku konstrukcji z rys. 2 b). Na rys. 3 b) przedstawiono uzyskane w wyniku eksploracji wartości przemieszczeń czopów łożyska przedniego y_p i tylnego y_t w funkcji wskaźnika wysięgu α oraz wartość określonego na podstawie doświadczeń przemieszczenia dopuszczalnego y_dop.ło w łożysku hydrostatycznym precyzyjnej obrabiarki.Przemieszczenia czopów łożyska przedniego y_p i tylnego y_t obliczone w oparciu rys. 1 opisują wzory:

y_p=(1 + α)Pj_p⁻¹, y_t=αPj_t⁻¹ (7)

Rys. 3 Model symulacyjny i wyniki eksploracji dla modelu fizycznego z rys. 1 z ograniczeniami dla przypadku konstrukcji z rys. 2 b)

Minimalizację sumarycznych strat mocy N_s na tarcie N_t i zasilanie N_p w łożysku hydrostatycznym w funkcji szczeliny łożyskowej h₀ oraz w funkcji lepkości dynamicznej oleju η - jako zmiennych decyzyjnych przedstawiono na rys. 4

N_t=π³ηβD³Ln²h⁻¹ (8)

N_p=πDp²h³(6ηl)⁻¹ (9)

N_s=N_T+N_p (10)

Rys. 4 Minimalizacja sumarycznych strat mocy N_s na tarcie N_t i zasilanie N_p w łożysku hydrostatycznym: a) w funkcji szczeliny łożyskowej h_, b) w funkcji lepkości dynamicznej oleju η - jako zmiennych decyzyjnych,

LITERATURA

[1] K.Kurc - Wkłady Prof. J. Giergiela, Cz. 2, Wprowadzenie do Mechatroniki,KRiDM AGH Kraków,

[2] D. Schmid i inni - Mechatronika, Europa Lehrearmittel 2001, REA 2002,

[3] Wykipedia - Wyd., wolna encyklopedia,

[4] FESTO

[5] Nowa encyklopedia PWN

[6] B. M. Jaworski, A. A. Dietław - Fizyka Poradnik Encyklopedyczny, PWN

[7] J. Zierep - Kryteria podobieństwa i zasady modelowania w mechanice płynów, PWN

1978

[8] E. Kącki. T. Niewierowicz - W kręgu optymalizacji,

[9] I. Dziubiński, T. Świątkowski –Poradnik matematyczny cz. 2,

[10] K. I. Majid - Optymalne projektowanie konstrukcji,

[11] W. Findeisen, J. Szymanowski, A. Wierzbicki – Teoria i metody obliczeniowe optymalizacji,

[12] Saul I. Gass – Programowanie liniowe,

[13] I.N. Bronsztejn, K.A. Siemiendjajew – Matematyka,

[14] Matlab,

[15] Internet