Obliczanie wartości i wektorów własnych krok po kroku

1. Na starcie daną masz macierz kwadratową (wyłącznie), powiedzmy . Tylko.

2. Obliczasz macierz  gdzie  to jakaś liczba, która jest niewiadomą, a  to macierzjednostkowa (czyli kwadratowa, która ma jedynki na przekątnej, a poza nimi same zera).

3. Liczysz wyznacznik macierzy .

4. Ten wyznacznik to tzw. równanie charakterystyczne macierzy. Przyrównujesz go do zera i liczysz jego pierwiastki. Te pierwiastki to właśnie wartości własne macierzy. Oznaczasz je .

5. Pierwiastki wstawiasz kolejno do równania: , gdzie  jest niewiadomym wektorem (czyli macierzą jednokolumnową). Rozwiązujesz te równanie. Rozwiązaniem będzie pewien zbiór wektorów  , z których każdy można nazwać  wektorem własnym.

Przykład 1 (z macierzą kwadratową 2 stopnia)

Oblicz wektory i wartości własne macierzy .

Zadanie rozwiązuję krok po kroku według schematu wyżej.

1.

2.

3.

4.




Wartości własne macierzy to:  i .
5.