Akademia Górniczo-Hutnicza

im. Stanisława Staszica w Krakowie

WYDZIAŁ INŻYNIERII MECHANICZNEJ I ROBOTYKI

LABOLATORIUM Z PODSTAW AUTOMATYKI

SPRAWOZDANIE

Laboratorium nr 1

Temat: Modelowanie układów automatyki(silnik elektryczny prądu stałego
z magnesem stałym).

Wykonał:

Damian Kubik

Rok 2, Grupa 4b

Rok akademicki: 2010/11

Przebieg ćwiczenia:

1. Zapisać model matematyczny silnika w postaci równań różniczkowych.

2. Zapisać model matematyczny silnika w postaci równań stanu i wyjścia

3. Zapisać model matematyczny silnika z postaci schematu blokowego

4. Znaleźć transmitancje operatorową

5. Wyznaczyć odpowiedz skokową silnika w Matlabie/Simulinku

6. Wyznaczyć odpowiedz silnika na sygnały prostokątne w Matlabie/Simulinku

Rys1. Schemat zastępczy obwodu wirnika silnika prądu stałego

Wielkości mechaniczne występujące na schemacie charakteryzują odpowiednio:

M_s = moment obrotowy silnika

ω_s = prędkość kątowa wirnika

B = współczynnik tarcia lepkiego zredukowany do wału wirnika

J = moment bezwładności zredukowany do wału silnika

i_w = prąd płynący w uzwojeniach silnika

M_obc = stały moment obciążenia silnika

U_z = napięcie zasilające wirnik

R_w = rezystancja zastępcza uzwojeń wirnika

L_w = indukcyjność zastępcza uzwojeń wirnika

E = siła elektromotoryczna indukcji

1. Model matematyczny silnika zapisany w postaci równań różniczkowych

1. Moment obrotowy silnika:

M_s = M_a + M_v + M_odc

M_s=k_mi­_w

$M_{a} = J\frac{d\omega_{s}}{\text{dt}}$

M_v=Bω_s

Podstawiając otrzymujemy:

$k_{m}i_{w} = \ J\frac{d\omega_{s}}{\text{dt}} + B\omega_{s} + \ M_{\text{obc}}$

1. Równanie elektryczne silnika:

U_z = U_Rw +  U_Lw + E

U_Rw = R_wi_w

${\text{\ \ \ U}_{L}}_{w} = L_{w}\frac{di_{w}}{\text{dt}}$

E = k_eω_s

Podstawiając otrzymujemy:

$\text{\ \ \ \ \ \ U}_{z} = R_{w}i_{w} + \ L_{w}\frac{di_{w}}{\text{dt}} + k_{e}\omega_{s}$

1. Model matematyczny silnika zapisany w postaci równań stanu i wyjscia:

1. Przyjmujemy zmienne:

x₁ = i_w

x₂ = ω_s

u₁ = U_z

u₂ = M_obc

y = ω_s

1. Otrzymujemy układ równań:

$$\left\{ \begin{matrix} u_{1} = R_{w}x_{1} + L_{w} + \dot{x_{1}} + k_{e}x_{2} \\ k_{m}x_{1} = J\dot{x_{2}} + Bx_{2} + u_{2} \\ \end{matrix} \right.\ $$

1. Równania zapisane w postaci macierzowej

$$\left\{ \begin{matrix} {\dot{x}}_{1} = - \frac{R_{w}}{L_{w}}x_{1} - \frac{k_{e}}{L_{w}}x_{2} + \frac{u_{1}}{L_{w}} \\ \dot{x_{2}} = \frac{k_{m}}{J}x_{1} - \frac{B}{J}x_{2} - \frac{u_{2}}{J} \\ \end{matrix} \right.\ $$

Czyli :

$\begin{bmatrix} \dot{x_{1}} \\ \dot{x_{2}} \\ \end{bmatrix}$ = $\begin{bmatrix} - \frac{R_{w}}{L_{w}} & - \frac{k_{e}}{L_{w}} \\ \frac{k_{m}}{J} & - \frac{B}{J} \\ \end{bmatrix}\text{\ \ }\begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ \end{bmatrix}\text{\ \ \ }$+ $\begin{bmatrix} \frac{1}{L_{w}} & 0 \\ 0 & - \frac{1}{J} \\ \end{bmatrix}\text{\ \ }\begin{bmatrix} u_{1} \\ u_{2} \\ \end{bmatrix}$

$y = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ \end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ \end{bmatrix}$

1. Model matematyczny silnika zapisany w postaci schematu blokowego.

1. Stosując przekształcenie Laplace’a oraz przekształcając wynik, przy założeniu warunków początkowych otrzymamy:

I_w(s)=$\frac{- k_{e}*\Omega\left( s \right) + U_{z}(s)\ }{s*L_{w} + R_{w}}$

Ω(s)=$\frac{k_{m} + I_{w}\left( s \right) - M_{\text{obc}}(s)}{s*J + B}$

Na podstawie powyższych równań rysujemy schemat blokowy silnika:

Część elektryczna Część mechaniczna

M_obc

-

U_z(s)  I_w(s) M_s(s) Ω_s(s)

$\frac{1}{s*L_{w} + R_{w}}$ k_m $\ \frac{1}{s*J + B}$

-

E(s)

k_e

4. Model matematyczny silnika zapisany w postaci transmitancji operatorowej.

U_z(s) Ω_s(s)

$\frac{\frac{k_{m}}{(s*L_{w} + R_{w})*(s*J + B)}}{1 + \frac{k_{m}}{(s*L_{w} + R_{w})*(s*J + B)}}$

$G\left( s \right) = \frac{\frac{k_{m}}{(s*L_{w} + R_{w})*(s*J + B)}}{1 + \frac{k_{m}}{(s*L_{w} + R_{w})*(s*J + B)}}$

Przekształcając otrzymujemy:

$G\left( s \right) = \frac{k_{m}}{JL_{w}*s^{2} + \left( R_{w}*J + B*L_{w} \right)s + R_{w}*B + k_{m}*k_{e}}$

Przyjmując, że RwJ >> BLw oraz kekm >> RwB. Transmitancję silnika G(s) zapisujemy wtedy w postaci uproszczonej.

$G\left( s \right) = \frac{k_{m}}{JL_{w}*s^{2} + R_{w}*J*s + k_{m}*k_{e}}$

Dzieląc licznik i mianownik przez k_mk_e , oraz podstawiając:

$T_{m} = \frac{JR_{w}}{k_{m}k_{e}}$

$T_{e} = \frac{L_{w}}{R_{w}}$

$K = \frac{1}{k_{e}}$

Otrzymujemy:

$G\left( s \right) = \frac{\Omega_{s}\left( s \right)}{U_{z}\left( s \right)} = \frac{K}{T_{m}{*T}_{e}*s^{2} + T_{m}*s + 1}$

Przyjmując prędkość kątową ω_s(s) jako wielkość wyjściową, transmitancję silnika ukazano w postaci członu II-go rzędu. Mechaniczna stała czasowa Tm jest zazwyczaj co najmniej o rząd wielkości większa od elektrycznej stałej czasowej T_e. W takim przypadku stałą Te pomijamy i silnik staje się

członem inercyjnym I-go rzędu.

$G\left( s \right) = \frac{\Omega_{s}\left( s \right)}{U_{z}\left( s \right)} = \frac{K}{T_{m}s + 1}$

przemieszczenie kątowe wału wirnika (α_s), wyznaczamy poprzez scałkowanie prędkości kątowej wirnika. Tranmitancja G(s) przyjmie postać:

$G\left( s \right) = \frac{\Omega_{s}\left( s \right)}{U_{z}\left( s \right)} = \frac{K}{{s(T}_{m}s + 1)}$

4. Wyznaczenie odpowiedzi skokowej silnika

w Simulinku.

Zakładamy:

R_w=2; L_w=0.1; k_e=0.1; J=0.1; B=0.5; k_m=0.1;

Rys2.Schemat blokowy silnika zbudowany w Simulinku

Wykres1. Odpowiedź skokowa silnika prądu stałego, uzyskana przy pomocy modelu silnika wyznaczonego
w Simulinku

4. Wyznaczenie odpowiedzi silnika na sygnały prostokątne Simulinku.

Przyjmujemy:

R_w=2Ω; L_w=0.1H; k_e=0.1Vs/rad; J=0.1kgm­_­²/s²; B=0.5 Nms/rad;

k_m=0.1Nm/A; U_z=9.2V M_obc=0.231592

Schemat blokowy silnika zbudowany w Simulinku

Wykres2. Model silnika zbudowany w Simulinku.

Symulację działania silnika przeprowadzimy również wykorzystując jego model zapisany w postaci równań stanu i wyjścia(pkt 2). Zakładając, że moment obciążenia M_obc = 0, oraz warunki początkowe:

$$\begin{bmatrix} i_{w0} \\ \omega_{s0} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_{10} \\ x_{20} \\ \end{bmatrix}$$

Schemat blokowy silnika zbudowany w Simulinku

Wykres3. napięcie zasilające wirnik

Wykres4. prędkość kątowa wirnika (ωs)