1. Odpowiedź impulsowa i skokowa.

Odpowiedzią impulsową układu, którą najczęściej oznacza się jako k(t), nazywamy przebieg wielkości wyjściowej y układu, gdy na jego wejście podany jest idealny impuls, czyli u(t)=δ(t). Ponieważ wtedy U(s)=1, więc z tego wynika :

Y(S)=K(s)*1 y(t)=k(t)=L⁻¹{K(s)}

gdzie L⁻¹ oznacza odwrotną transformację Laplace'a. Z tego wynika:

K(s)=L {k(t)} (1)

Odpowiedzią skokową układu, którą najczęściej oznacza się jako h(t), nazywamy przebieg wielkości wyjściowej y układu, gdy na jego wejście podany jest skok jednostkowy 1(t). Ponieważ dla U(t)=1(t)=U(s)=$\frac{1}{s}$ , mamy:

Y(s)=K(s)*$\ \frac{1}{s}$ i y(t)=h(t)= L⁻¹{K(s)*$\ \frac{1}{s}$}

Z tego wynika:

K(s)=sL{h(t)} (2)

Ze wzorów 1 i 2 wynika że :

k(t)=h’(t)

Należy podkreślić, że praktycznie dokładna realizacja przebiegów określonych przez funkcje δ(t) i 1(t) nie jest możliwa. Można realizować przebiegi zbliżone w sensie do tych funkcji. Funkcje δ(t) i 1(t) są abstrakcjami określonymi przez odpowiednio zdefiniowane granice ciągów funkcji. Te abstrakcje umożliwiają znaczne uproszczenie obliczeń i mogą być wykorzystane do przybliżonego wyznaczenia odpowiedzi układu na realny impuls (i realny skok jednostkowy) pod warunkiem, że czas trwania impulsu (lub czas narastania realnego skoku) jest mały w porównaniu ze stałymi czasowymi układu. Dzięki temu wzory 1 i 2 mogą być przydatne do eksperymentalnego wyznaczania transmitancji przy pobudzaniu odpowiednimi realnymi impulsami lub realnymi skokami także w przypadku, gdy pole powierzchni impulsu lub przyrost wynikający ze skoku jest różny od jedności.

2. Transmitancja widmowa i transmitancje zastępcze.

Transmitancja widmowa powstaje z transmitancji operatorowej G(s) przez podstawienie

zamiast zmiennej s – zmiennej jω, przy czym j jest jednostką urojoną, zaś ω jest liczbą

rzeczywistą mającą sens częstotliwości kątowej – pulsacji, mierzonej w radianach na sekundę

(ω=2πf, przy czym f oznacza zwykłą częstotliwość przebiegu harmonicznego mierzoną w

hercach). A więc :

Transmitancję widmową, będącą wielkością zespoloną, można przedstawić w postaci :

Odpowiada to sytuacji, w której jeśli przebieg wymuszenia miał postać:

u(t)=sin(ωt)

to przebieg odpowiedzi ma postać:

y(t)=A(ω)sin[ωt+φ(ω)]

Moduł transmitancji widmowej określa zatem wzmocnienie (stosunek amplitud) sygnałów

harmonicznych y(t) i u(t), a argument (kąt fazowy) transmitancji widmowej – przesunięcie

fazy sygnału y(t) względem u(t).

Transmitancja zastępcza układu kaskadowego (szeregowego):

Gz=F(s)G(s)

Transmitancja zastępcza układu równoległego:

Gz=F(s)+G(s)

Transmitancja zastępcza układu z ujemnym sprzężeniem zwrotnym:

3.Charakterystyka amplitudowo-fazowa

Wykres transmitancji K(jω) na płaszczyźnie o współrzędnych ReK(jω) i ImK(jω) , zwanej płaszczyzną K(jω), nazywany charakterystyką amplitudowo-fazową. Charakterystykę taką można zdejmować także w sposób eksperymentalny co stanowi zaletę opisu częstotliwościowego. Na rys.1 przedstawiono schemat układu do zdejmowania wspomnianych charakterystyk. Istotną częścią układu jest generator sinusoidalnego sygnału oraz analizator, który dla danej częstotliwości sygnału wskazuje wielkości ReK(jω) i ImK(jω). W ten sposób dla danej częstotliwości zostaje określony jeden punkt charakterystyki amplitudowo-fazowej. Zmieniając ω określamy kolejne punkty, które po połączeniu tworzą charakterystykę. Do eksperymentalnego zdjęcia charakterystyki można również wykorzystać informację o tym, że moduł |K(jω)| jest równy stosunkowi amplitud wejścia i wyjścia, a argument φ(ω) określa przesunięcie fazy sinusoidalnego wyjścia względem fazy sinusoidalnego wejścia. Należy zwrócić uwagę, że w celu określenia charakterystyk dla spotykanych w praktyce obiektów wymagana jest możliwość generowania niskich częstotliwości rzędu 0,01Hz, a czasami nawet 0,001Hz.

Zdjęcie.1. Układ do eksperymentalnego zdejmowania charakterystyki amplitudowo-fazowej.

4. Stopień stabilności

Jak można spostrzec rozkład pierwiastków równania charakterystycznego układu (czyli ich położenie na płaszczyźnie zespolonej) jest związany z charakterem przebiegów nieustalonych generowanych w układzie. Składowa nieustalona reprezentująca zanikanie warunków początkowych x₀ w układzie ma postać e^Atx₀, gdzie e^At jest macierzą podstawową układu. O szybkości zanikania składników układu ( składniki są odpowiednikami reprezentującymi pierwiastki rzeczywiste układu) decydują wielkości

-δ_i=Res_i, -δ_k=Res_k. Najwolniej będzie zanikał ten składnik, dla którego wartość Res_i jest największa, a więc składnik odpowiadający parze pierwiastków zespolonych sprzężonych ( bądź też pierwiastkowi rzeczywistemu) najbardziej zbliżonych do osi urojonych na płaszczyźnie zespolonej s. O szybkości zanikania najwolniejszego składnika informuje nas tzw. stopień stabilności określony następująco:

η=|Max Re s_i|=Min|Re s_i|

Warto wspomnieć, że im mniejszy stopień stabilności η tym wolniej zanikają swobodne przebiegi nieustalone.

Zdjęcie.2. Określenie stopnia stabilności η dla zadanego rozkładu pierwiastków s_i równania charakterystycznego.

5. Regulator i rodzaje regulatorów.

Regulatorem w automatyce nazywamy aparat, który wytwarza sygnał sterujący w sposób zapewniający nam przebieg procesu zgodny z przebiegiem pożądanym.

Innymi słowy regulator to urządzenie działające w układzie automatycznej regulacji

wytwarzające sygnał sterujący na podstawie sygnału uchybu regulacji. W regulatorze

następuje :

- porównanie aktualnej wartości zmiennej kontrolowanej z wartością zadaną tej zmiennej (określenie wartości uchybu regulacji)

- wytworzenie sygnału wejściowego o wartości uchybu regulacji, czasu występowania uchybu i szybkości jego zmian.

Charakterystyka dynamiczna regulatora jest opisywana w postaci transmitancji jako stosunek transformaty U(s) sygnału wyjściowego – wielkości sterującej u(t), do

transformaty E(s) sygnału wejściowego – uchybu regulacji e(t).

Gr(s)=$\frac{U(s)}{E(s)}$

Regulatory dzieli się według różnych kryteriów.

A.W zależności od postaci sygnału wyjściowego rozróżnia się regulatory:

- o wyjściu (sygnale) ciągłym

- o wyjściu nieciągłym

- quasi-ciągłe (kombinacja regulatora trójstawnego z określonym napędem).

B.Pod względem zmiany sygnału wyjściowego można podzielić

regulatory na:

-analogowe

-cyfrowe

C. Regulatory zasilane energią pomocniczą dzieli się na:

- elektryczne i elektroniczne,

- pneumatyczne

- hydrauliczne,

- mechaniczne

D. Biorąc pod uwagę sposób dostarczenia energii potrzebnej do napędu elementu wykonawczego wyróżnia się;

– regulatory bezpośredniego działania

– regulatory o działaniu pośrednim

E. Ze względu na własności dynamiczne rozróżniamy regulatory:

- proporcjonalne typu P,

- całkujące typu I,

- proporcjonalno-całkujące typu PI,

- proporcjonalno-różniczkujące typu PD,

- proporcjonalno-całkująco-różniczkujące typu PID

6. Kryterium Hurwitza

Warunkiem koniecznym i dostatecznym stabilności układu liniowego i stacjonarnego jest, żeby wszystkie współczynniki wielomianu charakterystycznego transmitancji tego układu istniały i były dodatnie, a ponadto żeby wyznacznik ∆n (1) zwany wyznacznikiem Hurwitza oraz jego podwyznaczniki Δ₂, Δ₃,…, Δ_n − 1 były dodatnie.

Jeżeli którykolwiek współczynnik jest ujemny lub równy zeru albo którykolwiek

podwyznacznik jest ujemny to układ jest niestabilny. Jeśli dowolny z podwyznaczników jest równy zeru to oznacza, że równanie charakterystyczne układu ma między innymi pierwiastki urojone i wtedy układ jest na granicy stabilności. Na jego wyjściu występują drgania o ustalonej amplitudzie.

Literatura:

„Podstawy Automatyki” Ryszard Gessing

„Podstawy automatyki” Andrzej Urbaniak Instrukcja do ćw.7 z Podstaw automatyki