Laboratorium Podstaw Metrologii i Techniki Eksperymentu

Nr ćwiczenia 5

Temat ćwiczenia: Analiza korelacyjna i regresyjna

Nazwisko i Imię prowadzącego kurs: Dr inż. Karolina Madera-Bielawska

Wykonawca:
Imię i Nazwisko nr indeksu	Karolina Żegiestowska, 187230
Termin zajęć: dzień tygodnia, godzina	12.12.2011, Poniedziałek TP, 17.05
Data oddania sprawozdania:
Ocena końcowa

Zatwierdzam wyniki pomiarów.

Data i podpis prowadzącego zajęcia ............................................................

Adnotacje dotyczące wymaganych poprawek oraz daty otrzymania poprawionego sprawozdania

POPRAWA SPRAWOZDANIA

I Cel ćwiczenia

Celem ćwiczenia było wyznaczenie współczynnika korelacji serii pomiarów napięcia termoelektrycznego w funkcji temperatury dla termoelementu typu K, oraz obliczenie funkcji regresji.

II Stanowisko pomiarowe

III Wyniki pomiarów

Lp.	tp	E	Eot	Ew
	°C	mV	mV	mV
1.	23	0,886	0,192	0,919
2.	52	3	2,87	2,106
3.	103	4,03	3,93	4,22
4.	153	6,5	5,6	6,529
5.	204	8,3	7,6	8,298
6.	253	10,3	9,5	10,276
7.	303	12,3	11,5	12,333
8.	351	14,4	13,6	14,335

t_p – temperatura piecyka

E – napięcie termoelektryczne dla spoiny odniesienia w lodzie

E_ot – napięcie termoelektryczne dla spoiny odniesienia w otoczeniu

E_w – napięcie termoelektryczne odczytane z tablic (wzorcowe)

IV Obliczenia

Lp.	E'	ΔsE
	mV	mV
1.	1,20028	-0,694
2.	2,355526	-0,13
3.	4,387165	-0,1
4.	6,378968	-0,9
5.	8,410606	-0,7
6.	10,36257	-0,8
7.	12,35438	-0,8
8.	14,26651	-0,8

a	b	$$\overset{\overline{}}{t_{p}}$$	$$\overset{\overline{}}{E}$$	uE'	r
		°C	mV	mV
0,284051	0,039836	180,25	7,4645	0,04982	0,99556
ua	ub
0,078079	0,000369

a, b – współczynniki w równaniu E’ = b t_p + a

$\overset{\overline{}}{t_{p}}\ $– średnia arytmetyczna temperatur piecyka

$\overset{\overline{}}{E} -$ średnia arytmetyczna napięć termoelektrycznych

u_E' – niepewność napięcia termoelektrycznego dla przykładowej temperatury t_p=103°C

u_a – niepewność standardowa współczynnika a

u_b – niepewność standardowa współczynnika b

Δ_sE – błąd systematyczny jako różnica między napięciem termoelektrycznym E_ot a E

Wykres 1. Zależność napięcia termoelektrycznego od temperatury

$$\overset{\overline{}}{t_{p}} = \frac{1}{N}\sum_{i = 1}^{N}t_{\text{pi}} = 180,25C$$

$$\overset{\overline{}}{E} = \frac{1}{N}\sum_{i = 1}^{N}E_{i} = 7,46\ mV$$

y^′ = a + bx_i

$$b = \frac{\sum_{i = 1}^{N}{{(x}_{i} - \overset{\overline{}}{x})(y_{i} - \overset{\overline{}}{y})}}{{\sum_{i = 1}^{N}{(x_{i} - \overset{\overline{}}{x}})}^{2}} = \frac{\sum_{i = 1}^{N}{{(t}_{\text{pi}} - \overset{\overline{}}{t_{p}})(E_{i} - \overset{\overline{}}{E})}}{{\sum_{i = 1}^{N}{(t_{\text{pi}} - {\overset{\overline{}}{t}}_{p}})}^{2}} = \frac{\left( 23 - 180,25 \right) \bullet \left( 0,886 - 7,46 \right) + \ldots + \left( 351 - 180,25 \right) \bullet (14,4 - 7,46)}{{(23 - 180,25)}^{2} + \ldots + {(351 - 180,25)}^{2}} = 0,039836$$

$$a = \overset{\overline{}}{y} - b\overset{\overline{}}{x} = \overset{\overline{}}{E} - b{\overset{\overline{}}{t}}_{p} = 7,46 - 0,039836 \bullet 180,25 = 0,284051$$

E^′ = a + b t_pi = 0, 284 + 0, 0398 • 23 = 1, 2 mV

$$u_{b} = \sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{N}{{(y}_{i} - y')}^{2}}{N - 2}}\frac{1}{\sqrt{{\sum_{i = 1}^{N}{(x_{i} - \overset{\overline{}}{x})}}^{2}}} = \sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{N}{{(E}_{i} - E')}^{2}}{N - 2}}\frac{1}{\sqrt{{\sum_{i = 1}^{N}{(t_{\text{pi}} - \overset{\overline{}}{t_{p}})}}^{2}}} = \sqrt{\frac{{(0,886 - 1,2)}^{2} + \ldots + {(14,4 - 14,267)}^{2}}{8 - 2}}\frac{1}{\sqrt{{(23 - 180,25)}^{2} + \ldots + {(351 - 180,25)}^{2}}} = 0,000369$$

$$u_{a} = \sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{N}{{(y}_{i} - y')}^{2}}{N - 2}}\sqrt{\frac{1}{N} + \frac{{\overset{\overline{}}{x}}^{2}}{{\sum_{i = 1}^{N}{(x_{i} - \overset{\overline{}}{x})}}^{2}}} = \sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{N}{{(E}_{i} - E')}^{2}}{N - 2}}\sqrt{\frac{1}{N} + \frac{{\overset{\overline{}}{t_{p}}}^{2}}{{\sum_{i = 1}^{N}{(t_{\text{pi}} - \overset{\overline{}}{t_{p}})}}^{2}}} = \sqrt{\frac{{(0,886 - 1,2)}^{2} + \ldots + {(14,4 - 14,267)}^{2}}{8 - 2}}\sqrt{\frac{1}{8} + \frac{{180,25}^{2}}{\sqrt{{(23 - 180,25)}^{2} + \ldots + {(351 - 180,25)}^{2}}}} = 0,078079$$

Dla t_p=103°C:

$$u_{E'} = \sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{N}{{(y}_{i} - y')}^{2}}{N - 2}}\sqrt{\frac{1}{N} + \frac{{{(x}_{0} - \overset{\overline{}}{x})}^{2}}{{\sum_{i = 1}^{N}{(x_{i} - \overset{\overline{}}{x})}}^{2}}} = \sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{N}{{(E}_{i} - E')}^{2}}{N - 2}}\sqrt{\frac{1}{N} + \frac{{(t_{p3} - {\overset{\overline{}}{t}}_{p})}^{2}}{{\sum_{i = 1}^{N}{(t_{\text{pi}} - \overset{\overline{}}{t_{p}})}}^{2}}} = \sqrt{\frac{{(0,886 - 1,2)}^{2} + \ldots + {(14,4 - 14,267)}^{2}}{8 - 2}}\sqrt{\frac{1}{8} + \frac{(103 - {180,25)}^{2}}{\sqrt{{(23 - 180,25)}^{2} + \ldots + {(351 - 180,25)}^{2}}}} = 0,04982$$

$$r = \frac{\sum_{}^{}{x_{i}y_{i} - N\overset{\overline{}}{x}\overset{\overline{}}{y}}}{\sqrt{\left( \sum_{}^{}{x_{i}^{2} - N{\overset{\overline{}}{x}}^{2}} \right)(\sum_{}^{}{y_{i}^{2} - N{\overset{\overline{}}{y}}^{2})}}} = \frac{\sum_{}^{}{t_{\text{pi}}E_{i} - N\overset{\overline{}}{t_{p}}\overset{\overline{}}{E}}}{\sqrt{\left( \sum_{}^{}{t_{\text{pi}}^{2} - N{{\overset{\overline{}}{t}}_{p}}^{2}} \right)(\sum_{}^{}{E_{i}^{2} - N{\overset{\overline{}}{E}}^{2})}}} = \frac{\left( 23 \bullet 0,886 + \ldots + 351 \bullet 14,4 \right) - 8 \bullet 180,25 \bullet 7,46}{\sqrt{{((23}^{2} + \ldots + 351^{2}) - 8 \bullet {180,25}^{2}){((0,886}^{2} + \ldots + {14,4}^{2}) - 8 \bullet {7,46}^{2})}} = 0,99556$$

_sE = E_ot − E = 13, 6 − 14, 4 = −0, 8 mV

E^′=(0, 28 ± 0, 08)+(0, 0398 ± 0, 0004)•t_p

E^′(103) − u_E′ ≤ E_w(103) ≤ E^′(103) + u_E′

4, 387 − 0, 0498 ≤ 4, 22 ≤ 4, 387 + 0, 0498

4, 3372 ≤ 4, 22 ≤ 4, 4367    nierówność nieprawdziwa

V Wnioski

Podczas obliczeń nie brano pod uwagę wyników napięcia z woltomierza, ponieważ w czasie wykonywania ćwiczenia popsuł się i pokazywał ciągle tą samą wartość.

Z współczynnika korelacji r = 0,99556 można wywnioskować, że pomiary zostały wykonane poprawnie, napięcie termoelektryczne zmierzone multimetrem jest bardzo bliskie napięciu wzorcowemu odczytanemu z tablic. Linia regresji liniowej niemal pokrywa się z punktami pomiarowymi. Niepewności standardowe współczynników a i b są bardzo niskie. Rzeczywista wartość napięcia termoelektrycznego nie mieści się w zakresie zawartym przez napięcie wzorcowe ± jego niepewność.