Twierdzenia i lematy: KULA:Wykład 1 L1. Jeśli A⊂B to diamA ≤ diamB. {d(a1,a2):a1,a2ЄA}⊂{d(b1,b2):b1,b2ЄB} sup≤sup L2.Zb.A jest ograniczony wtedy i tylko wtedy istnieje kula B(x,r) zawierająca A. Dowód: Przypuśćmy, że A jest ograniczony, tzn. że diamA<N. Wybierzmy xЄA i weźmy kulę B(x,N)⊃A. Jeśli punkt aЄA to d(x,a)≤diamA < N ⇒ a ∈ B(x,N). Odwrotnie: Przypuśćmy, że zb A⊂B(y,r). Pokażemy że diamA≤2r. d(a1,a2)≤d(a1,y)+d(y,a2)<2r => diamA≤2r ZBIEŻNOŚĆ: Wykład 2: L1. xn→x0 d(xn,x0)→0 Dowód: skorzystac z def zbieżności. Granica xn=x0 def granicy lim d(xn,x0)=0 ozn z def |d(xn,x0)-0|<ε L2. Ciąg xn→x0 dla każdego r>0 istnieje skończona ilość liczb n dla których punkt xn∉B(x0,r). PUNKT SKUPIENIA itp. L1. Punkt x0 jest punktem skupienia zb A gdy każda kula B(x0,r) zawiera punkt zbioru A różny od x0. Dowód: Jeśli x0 punkt skupienia to istnieje ciąg anЄA, an≠a0 wtedy każda kula B(x0,r) zawiera wszystkie punkty ciągu an oprócz skończonej ilości więc zawiera przynajmniej jeden taki punkt anЄA, an≠a0. Odwrotnie: Jeśli każda kula B(x0,r) zawiera jakiś punkt aЄA, a≠x0. Rozważmy kulę (x0, 1/n). kazda z tych kul zawiera punkt an taki że anЄA i an≠a0.tznn d(x0,an)<1/n d(x0,an)→0 an→x0 x0-p. skupienia. CIĄG L1-ważny: Jeśli xn→x0 to zb {xn} jest ograniczony. Dowód: dla każdego ε>0, istnieje N, dla każdego n>N xnЄB(x0,ε). Musimy wziąć kulę która obejmie wszystkie punkty czyli r=max{d(x0,xi); i=1,2,…,N; ε} i wtedy dla każdego n xnЄB(x0,r). L2: Jeśli xn→x0 i yn=Xkn jest podciągiem to yn→x0. Dowód: Każda kula b(x0,ε) zawiera wszystkie punkty xn oprócz skończonej ilości więc też zawiera wszystkie yn oprócz skończonej ilości, więc yn→x0 Lemat A: Jeśli xЄB(a,r) i jeśli ε=r-d(x,a)>0, to kula B(x,ε)⊂B(a, r) Dowód: niech yЄB(x,ε). Chcemy pokazać, że yЄB(a,r). Policzmy d(y,a), korzystamy z nierówności trójkąta: d(y,a)≤d(y,x)+d(x,a)<ε+d(x,a) +d(x,a)=r =>yЄB(a,r) Zb otwarte i domknięte. Wykład 3: L1. Ā jest domknięty (dla każdego zbA). Dowód: Niech x0 będzie punktem skupienia zbioru Ā, pokażemy, że x0ЄĀ. Przypuśćmy że x0∉A ponieważ x0ЄA’ więc dla każdego r B(x0,r) zawiera punkt aЄA. Chcemy pokazać że x0ЄA’⊂Ā,czyli chcemy pokazać że każda kula B(x0,r) zawiera punkt należący do A. Jeśli aЄA to dobrze. Jeśli a∉A to a∈A^′,  a∈B(x0,r), więc istnieje ε takie,że B(a,ε)⊂B(x0,r). aЄA’ więc B(a,ε) zawiera punkt aЄA. Więc również B(x0,r) zawiera punkt aЄA. Wiec x0ЄA’.	Tw1. Zb A jest domknięty gdy X-A jest otwarty. Dowód: Przypuśćmy że A domknięty, pokażemy że X-A jest otwarty. Niech x0ЄX-A, trzeba pokazać żę istnieje kula b(x0,r)⊂X-A x0∉A, a A jest domknięty więc x0∉∂A,  więc istnieje kula B(x0,r), która niezawiera punktów A, czyli B(x0,r)⊂X-A. Odwrotnie: Przypuśćmy że A otwarty, pokażemy że X-A jest domknięty, że zawiera swoje punkty brzegowe, czyli pokażemy że jeśli x0∉X-A to nie jest punktem brzegowym zb X-A. To jest prawda bo jeśli x0∉X-A to x0ЄA więc istnieje kula B(x0,r)⊂A,  więc kula B(x0,r) nie zawiera punktów X-A, więc x0 nie jest punktem brzegowym zbioru X-A. Tw zb otwarte: 1. X,Ø są otwarte 2. Jeżeli A,B otwarte to A∩B otwarte 3.Ai otwarte dla iЄI, to ∪i ∈ I Ai otwarte. Tw zb domknięte: 1. X,Ø są domknięte 2. A,B domknięte to A∪B domknięte 3. Ai domknięte to ∩iЄI Ai domknięte. ZB. GĘSTY: Wykład 4: L1: zbiór A jest gęsty w X każda kula w X zawiera punkt zb A. Dowód: Ā=A∪A’, A jest gesty jeśli każdy punkt przestrzeni X albo należy do A albo jest punktem skupienia zbioru. Jeśli xЄA’ to każda kula B(x,r) zawiera punkt zbioru A. Więc jeśli A jest gęsty to każda kula B(x,r) zawiera punkt zbioru A, bo albo: xЄA i B(x,r)∋x, albo:xЄA’ i znów B(x,r) zawiera punkt z A. Odwrotnie: Przypuśćmy, że każda kula B(x,r) zawiera punkt zb A wtedy albo xЄA, albo xЄA’. FUNKCJE: L1. F jest ciągła w x0 gdy dla każdego ε>0, istnieje δ>0, dla każdego xЄX1 d1(x,x0)<δ => d2(f(x),f(x0))<ε. Tw1. F jest ciągła przeciwobraz każdego zbioru otwartego jest zbiorem otwartym. F ciągła dla każdego B otwartego w X2 zbiór f^-1(B) jest otwarty w X1. Tw2.złożenie funkcji ciągłych jest funkcją ciągłą. Dowód: niech f: (X1,d1)→(X2,d2); g:(X2,d2)→(X3,d3) będą ciągłe. Niech B⊂X3 zb otwarty. Trzeba pokazać że (g∘f)^-1(B)jest otwarty w X1. (g∘f)^-1(B)=f^-1(g^-1(B)). B otwarty w X3, g-ciągła więc g^-1(B) otwarty w X2. F ciągła więc f^-1(g^-1(B)) otwarty w X1. Tw3. F ciągła przeciwobraz każdego zb domkniętego jest domknięty. Dowód: Przypuśćmy że f ciągła i B otwarty w X2. Wtedy X2-B otwarty w X2=> f^-1(X2-B)=X1-f^-1(B)=> f^-1(B) jest otwarty w X1. Odwrotnie podobnie. Równoważność metryk: L1. Metryki d1 i d2 są w X równoważne gdy funkcja f:(X,d1)→(X,d2) określona przez f(x)=x jest homeomorfizmem. Wtedy f^-1(A)=A dla każdego zb A⊂X.	L2. Metryki d1,d2 w zb X są równoważne gdy dla każdego xЄX i ε>0 istnieje d1,d2>0: Bd2(x,δ1)⊂Bd1(x,ε) i Bd1(x,δ2)⊂Bd2(x,ε) * Dowód: przypuśćmy że metryki równoważne. Kula Bd1(x,ε) jest otwarta w metryce d1 więc jest otwarta w metryce d2 a xЄBd1(x,ε) więc istnieje kula Bd2(x,δ)⊂Bd1(x,ε) Odwrotnie: przypuśćmy że * jest spełniony. Niech A będzie otwarty w metryce d1. Pokażemy że jest otwarty w metryce d2. Chcemy udowodnić że jeśli xЄA to istnieje kula B(x,δ)⊂A. Weźmy xЄA, więc istnieje kula B(x,δ)⊂A to na podstawie * istnieje d1>0 że Bd2(x,d1)⊂Bd1(x,ε). Funkcje ciągłe i ograniczone: L1. Jeśli f i g ograniczone to d(f,g)<∞ CIĄGŁOŚĆ W ILOCZYNIE PRZESTRZENI: Wykład 6: Tw1. g:X→YxZ jest ciągła g1 i g2 są ciągłe. Dowód: przyjmijmy g ciągła, xn→x0 to g(xn)→g(x0). (g1(xn),g2(xn))→(g1(x0),g2(x0)) g1(xn)→g1(x0), g2(xn)→g2(x0). g(t)= (g1(t),g2(t)). ODLEGŁOŚĆ PUNKTU OD ZB: L1. d(x,A)=0 xЄĀ. Dowód: Ā=A∪A’, xЄA’ istnieje anЄA an≠x, an→x. => Przypuśćmy że d(x,A)=0, tzn inf{(d(x,a):aЄA}=0. Jeśli istnieje aЄA d(x,a)=0 to x=a, tzn xЄA=> xЄĀ. Jeśli x∉A nie istnieje aЄA, d(x,a)=0 to: Jeśli infA=b0 to istnieje ciąg bnЄB, bn→b0, a jeśli supA=b0 to istnieje ciąg bnЄB, bn→b0. Jeśli inf{d(x,a):aЄA}=0 to istnieje ciąg d(x,an)→0 an→x xЄĀ. Jeśli xЄĀ=> istnieje anЄA, an→x d(an,x)→0 inf {d(a,x), aЄA}=0. Tw Tietze’go o rozszerzeniu funkcji: Niech (X,d) będzie przestrzenią, A⊂X zb domknięty, f1:A→R f ciągłą. Wtedy istnieje funkcja ciągła f:X→R taka że f1=f|A:A→R, tzn. dla aЄA, f(a)=f1(a). (f nazywamy rozszerzeniem funkcji f1. Jeśli f1 jest ograniczona f1(A)⊂[a,b] to istnieje takie f, które spełnia f(X)⊂[a,b].) PRZESTRZENIE ZUPEŁNE METRYCZNE: L1. Xn jest ciągiem Cauchy jeśli ∀ε > 0∃N∀l > N d(xl,xN) < ε Tw1. W przestrzeni R każdy ciąg Cauchy jest zbieżny. L2. Każdy ciąg zbieżny jest ciągiem Cauchy’ego. Dowód: Niech xn→xo. Wtedy ∀δ > 0∃N∀n ≥ N d(xn,x0) < δ*. Chcemy pokazać że ∀ε > 0∃N∀k, l ≥ N d(xk,xl) < ε. Weźmy δ=$\frac{1}{2}\varepsilon$. Dla takiego δ istnieje N spełniające *. Wtedy dla k,l≥N d(xk,xl)≤d(xk,x0)+d(x0,xl)<2δ=ε. L3. Każdy ciąg Cauchy’ego jest ograniczony. Dowód: Przyjmijmy że xn ciąg Cauchy. Weźmy ε=1 ∃N∀l > N d(xl,xN) < ε, tzn. xlЄB(xN,1). Niech r=max{d(x1,xN), d(x2,xN),…,d(xN-1,xN)}. Wtedy kula B(xN,r+1) zawiera wszystkie xN.	Tw2. Niech (X,d) będzie przestrzenią metryczną zupełną i niech A⊂X. Podprzestrzeń A jest zupełna A zb domknięty. Dowód: => Zalożmy A zupełna.pokażemy że A zbiór domknięty. Niech x0 punkt skupienia A, tzn. że istnieje anЄA, an→x0. Chcemy pokazać że x0ЄA. Ciąg an jesy Cauchy, A zupełna, więc an jest zbieżny w A, tzn. zbieżny do punktu w A. wiemy że an→x0 i wiemy że ciąg ma najwyżej jedną granicę więc x0ЄA. Odwrotnie: przypuśćmy że A domknięty. Pokażemy że A przestrzeń zupełna. Niech an ciąg Cauchy w A. Ponieważ X zupełna, to an jest zbieżny w X, an→x0ЄX. Albo x0ЄA, albo x0 jest punktem skupienia zb A. (chcemy pokazać że an jest zbieżny do punku w A), ale A domknięty, więc punkt skupienia x0ЄA. PRZESTRZENIE ZUPEŁNE: Wykład 7: Tw Cantora. Niech (X,d) będzie przestrzenią zupełną. A1⊃A2⊃… ciąg malejący zbiorów domkniętych i diam(An)→0. Dowód:Niech Nan. Wtedy xn jest ciągiem Cauchy tzn. ∀ε > 0∃N∀k, m ≥ N d(xk,xm) < ε. Diam(An)→0, ∀δ∃N∀k ≥ N diam(An)<δ. weźmy δ=$\frac{\varepsilon}{2}$ i N takie że dla k≥n diam(Ak)<δ. Wtedy dla k,n≥N xkЄAn i (xmЄAm⊂AN) xnЄAN=> d(xk,xm)<δ:$\frac{\varepsilon}{2}$<ε czyli xn→x0. Pokażemy że xnЄ$\cap_{n = 1}^{\infty}\text{An}$. Jeśli nie to istnieje taki n że x0∉AN. Ponieważ AN domknięty to d(x0,AN)=ε>0. Wtedy dla k≥n xk⊂Ak⊂AN więc d(x0,xk)≥d(x0,AN)=ε>0. Sprzeczność z xk→x0. Tw1. Jeśli (X,d1), (Y,d2) przestrzenie zupełne to ich produkt (XxY,d) też przestrzeń zupełna. Dowód: z def ciągu Cauchy i potem nierówność trojkąta. Tw Banacha. (X,d) przestrzeń zupełna i f:X→X funkcja ściągająca tzn. istnieje 0<C<1 taka że d(f(x1),f(x2))≤C•d(x1,x2) Tw Baire’a. (X,d)- przestrzeń zupełna, An ciąg zbiorów domknietych i brzegowych (zb jest brzegowy jeśli nie zawiera żadnej kuli). Wtedy suma$\cup_{n = 1}^{\infty}$An=A też jest zb brzegowym więc nie zawiera żadnej kuli i nie jest całą przestrzenią. Dowód: Rozważmy kule B(x0,r)⊂X. A1-domkniety i brzegowy nie zawiera kuli B(x0,r). Ø≠B(x0,r)-A1=B(x0,r)∩(X-A1) –zb otwarty. B(x1,r1)⊂B(x0,r)-A1, jeśli r1’<r1 to B(x1,r1’)⊂B(x1,r1), r1<1. B(x1,r1) nie zawiera się w A1; Ø≠B(x2,r2)⊂B(x1,r1)-A2, r2<1/2 B(x3,r3)⊂B(x2,r2)-A3, r3<1/3… $\cap_{n = 1}^{\infty}$B(xn,rn)∋y0, diam(B(xn.rn))≤$\frac{2}{n}$ x0ЄB(x0,r), y0∉A. B(x0,r)A. Tw2. Jeśli (X,d1), (Y,d2) są przestrzeniami metrycznymi i Y jest przestrzenią zupełną to przestrzeń funkcji ograniczonych B(X,Y) też jest przestrzenią zupełną.