Wydział Fizyki	Piątek 08:15 – 11:00	Nr. zespołu 10
	20.05.2015 r. (termin uzupełniający)
Nazwisko I Imię Rosiński Marek	Ocena z przygotowania	Ocena z sprawozdania
Prowadzący: dr inż. Robert Rutkowski	Podpis przewodniczącego:

Ćwiczenie nr 30

Temat: Badanie odbicia światła od powierzchni dielektryków.

Wstęp teoretyczny

Falą elektromagnetyczną nazywamy przemieszczające się w przestrzeni zaburzenie wielkości natężenia pól elektrycznego i magnetycznego. Wektor natężenia pola elektrycznego monochromatycznej fali elektromagnetycznej rozchodzącej się w kierunku osi OX opisuje się wzorem:

E = E₀cos(ωt − kx)

Prawo Malusa

Jeżeli kierunek drgań wektorów natężenia pola elektrycznego i magnetycznego w danym punkcie zmienia się w sposób ściśle określony, to mówimy, że światło jest spolaryzowane. Gdy kierunek ten jest stały, to fala jest spolaryzowana liniowo. Do wytwarzania i badania światła spolaryzowanego wykorzystuje się polaryzatory. Natężenie światła przechodzącego przez polaryzator wynosi:

I = I₀cosθ

Prawo Snelliusa:

Współczynnik załamania światła (n) definiowany jest, jako stosunek prędkości fali w próżni c do prędkości monochromatycznej fali wypadkowej w danym ośrodku $n = \frac{c}{v}$. Światło przechodząc z jednego ośrodka do drugiego o innym współczynniku załamania ulega odbiciu i załamaniu. Kąt odbicia równy jest kątowi padania. Zależność pomiędzy kątem padania i załamania opisuje prawo Snelliusa:

n₁sinα = n₂sinβ

Kąt Brewstera

Kąt padania , dla którego nie ma fali odbitej o polaryzacji nazywa się kątem Brewstera:

$$\text{tg}\alpha_{\text{Br}} = \frac{n_{1}}{n_{2}}$$

U nas n₁ = 1, więc ostatecznie:

tgα_Br = n₂

Całkowite wewnętrzne odbicie i kąt graniczny.

Całkowite wewnętrzne odbicie zachodzi, gdy światło padające na granicę od strony ośrodka o wyższym współczynniku załamania pod kątem większym niż kąt graniczny, nie przechodzi do drugiego ośrodka, lecz ulega całkowitemu odbiciu. Kąt graniczny (na mocy prawa Snella) wyraża się wzorem:

$$\alpha_{\text{gr}} = arc\ \sin\frac{n_{2}}{n_{1}}$$

Wyznaczanie niepewności.

• $u\left( \alpha \right) = \ \frac{1}{\sqrt{3}}$ — ponieważ kąty wyznaczałem z dokładnością do 1°.

• $u\left( \text{sinα} \right) = \sqrt{\left\lbrack \ \frac{\partial sin\alpha}{\partial\alpha}\text{\ u}\left( \alpha \right) \right\rbrack^{2}\ } = cos\alpha*u(\alpha)\ $

• $u\left( \text{tgα} \right) = \sqrt{\left\lbrack \ \frac{\partial tg\alpha}{\partial\alpha}\text{\ u}\left( \alpha \right) \right\rbrack^{2}\ } = \left( 1 + \text{tg}^{2}\alpha \right)*u(\alpha)$

1. Wyznaczenie współczynnika załamania dielektryka

Schemat goniometru przygotowanego do pomiaru kąta załamania. N - źródło światła (laser), O - detektor natężenia fali świetlnej, D – dielektryk.

W celu wyznaczenia współczynnika załamania (n) ustawiłyśmy źródło światła pod różnymi kątami (10,20... 70) i odczytałyśmy odpowiednie kąty załamania (β).

W tabeli poniżej przedstawiam wyniki pomiarów kątów padania, kątów załamania oraz ich niezbędne do policzenia współczynnika funkcje. Do tego zamieszczam również niepewności.

Na podstawie pomierzonych kątów narysowałyśmy wykres sinα(sinβ):

Wyznaczenie współczynnika załamania metodą najmniejszych kwadratów.

Aby wyznaczyć współczynnik załamania użyję metody najmniejszych kwadratów. Zachodzi wzór:

$$n = \frac{\sum_{}^{}{sin\beta*\sum_{}^{}{sin\alpha - d*\sum_{}^{}{(sin\beta*sin\alpha)}}}}{{(\sum_{}^{}{sin\beta)}}^{2} - d*\sum_{}^{}\left( \text{sinβ} \right)^{2}} \approx 1,3402$$

gdzie d – liczba pomiarów

Powyższy wzór wyznacza nam także współczynnik kierunkowy prostej y=ax+b

Do wyznaczenia wyrazu wolnego b wykorzystamy wzór:

$$b = \frac{\sum_{}^{}{\sin{\beta_{i}*\sum_{}^{}{\sin{\beta_{i}*\sin{\alpha_{i} - \sum_{}^{}{\sin\alpha_{i}*}\sum_{}^{}{(sin\beta_{i})}^{2}}}}}}}{{(\sum_{}^{}{\sin\beta_{i})}}^{2} - 8*\sum_{}^{}{(sin\beta_{i})}^{2}} = 0,089$$

Średnie odchylenia standardowe S_a i S_b wyrażają się za pomocą wzorów

$$S_{a} = \sqrt{\frac{\sum_{}^{}{d_{i}}^{2}}{8 - 2}*\frac{8}{8*\sum_{}^{}{(sin\beta_{i})}^{2} - {(\sum_{}^{}{\sin\beta_{i})}}^{2}}} = 0,045796$$

$$S_{b} = \sqrt{\frac{\sum_{}^{}{d_{i}}^{2}}{8 - 2}*\frac{\sum_{}^{}{(sin\beta_{i})}^{2}}{8*\sum_{}^{}{(sin\beta_{i})}^{2} - {(\sum_{}^{}{\sin\beta_{i})}}^{2}}} = 0,0293813$$

Wynik przedstawiamy w postaci:

n_S = 1, 3402(0, 0458)

1. Wyznaczenie kąta Brewstera.

Kąt Brewstera wyznaczę dzięki pomiarom zrobionym w tej części ćwiczenia. Wiadomo, że kąt padania i kąt załamany mają dać w sumie 90, czyli:

α_Br +  β = 90

Z moich danych pomiarowych wynika, że α_Br = 56 ponieważ kąt załamania wynosi β = 34

Niepewność α_Br: $u\left( \alpha_{\text{Br}} \right) = \ \frac{1}{\sqrt{3}} = 0,577$

Następnie mogę policzyć współczynnik załamania dla kąta Brewstera ze wzoru:

n_B = tgα_Br ≈ 1, 483 

Wynik jest zbliżony do wyniku otrzymanego metodą najmniejszych kwadratów.

Niepewność współczynnika:

$u\left( n_{B} \right) = \sqrt{(\frac{\partial\left( \text{tg}\alpha_{\text{Br}} \right)}{\partial\theta})^{2}*(\alpha_{\text{Br}})^{2}} = \frac{\alpha_{\text{Br}}}{\cos^{2}\alpha_{\text{Br}}} = \frac{1}{\cos^{2}\alpha_{\text{Br}}}*0,025876\ = 0,0828$

Ostatecznie otrzymuję wynik: n_B=1, 483 ∓ 0, 083

1. Pomiar kąta granicznego

Otrzymana podczas pomiarów wartość kąta granicznego to 43˚ niepewność pomiaru to 1˚.

$$\sin\alpha_{\text{gr}} = \frac{n_{0}}{n_{\text{gr}}}$$

$$n_{\text{gr}} = \frac{1}{\sin\alpha_{\text{gr}}}$$

Podstawiając do powyższego równania:

α_gr = 43

n₀ = 1 — współczynnik załamania światła w powietrzu

Otrzymujemy:

n_gr = 1, 466

Błąd wyznaczenia współczynnika wyznaczamy korzystając ze wzoru:

$$u\left( n_{\text{gr}} \right) = \sqrt{\left\lbrack \frac{\partial\left( \frac{1}{\sin\alpha_{\text{gr}}} \right)}{\partial\alpha} \right\rbrack^{2}*(\alpha_{\text{gr}})^{2}} = \frac{\cos\alpha_{\text{gr}}}{\sin^{2}\alpha_{\text{gr}}}*0,025586 = 0,040$$

1. Analiza wyników

Wykorzystując wyliczone współczynniki załamania i ich niepewności odczytujemy z wykresu współczynnik ostateczny i jego niepewność.

n_S = 1, 340(0, 046)

n_B = 1, 483(0, 083)

n_gr = 1, 466(0, 04)

1. Prawo Malusa

Za pomocą polaryzatora P ustawiamy tzw. polaryzacje π wiązki (tak, aby natężenie wiązki było największe). Zmieniając kąt padania szukamy pozycji, dla której natężenie fali, a pośrednio prądu generowanego przez detektor będzie najmniejsze (powinno być zerowe).

Jako błąd odczytu kąta przyjęłyśmy błąd kwantowania linijki na goniometrze natomiast błąd odczytu natężenia prądu to u(I)=2, 5%*(zakres pomiaru)

Poniżej przedstawiony został wykres przedstawiający zależność natężenia fali a pośrednio prądu generowanego przez detektor od kąta oraz wykres cos² tego kąta.

Ponieważ jest to zależność liniowa to korzystając z metody najmniejszych kwadratów wyliczamy współczynnik kierunkowy osi, który odpowiada wartości I₀. Błąd maksymalny cos² α wyraża się wzorem:

$$u\left( \cos^{2}\alpha \right) = \left| \frac{\text{df}}{\text{dα}} \right|*u\left( \alpha \right) = sin2\alpha*u\left( \alpha \right)*\frac{\pi}{180}$$

1. Wnioski

Wartości współczynników załamania, wyliczonych na podstawie prawa Snelliusa, kąta granicznego oraz kąta Brewstera trochę różnią się od siebie. Najdokładniejszy wynik otrzymaliśmy metodą wyznaczania kąta granicznego (n=1,466), najmniejdokładny wynik metodą Snelliusa. Niedokładność wyniku otrzymanego z metodą Snelliusa wynika głównie z niedokładności odczytu wartości z urządzenia pomiarowego. Pozostałymi dwoma metodami otrzymaliśmy wartości, które do siebie są bardziej zbliżone. Na ich podstawie możemy wyznaczyć najodkładniejszy wynik.