Logarytmy

Definicja logarytmu

Niech a i b będą liczbami dodatnimi oraz .

Logarytmem liczby b przy podstawie a nazywamy wykładnik potęgi, do której należy podnieść podstawę a, aby otrzymać liczbę logarytmowaną b.

Wartość logarytmu może być dodatnia, ujemna lub równa zero. Z określenia logarytmu wynikają podane niżej własności:



gdzie: .

Z definicji logarytmu wynikają natomiast następujące równości:



gdzie: .

Logarytmem naturalnym nazywamy logarytm o podstawie e . Liczbę e definiuje się następująco: . Jest to liczba niewymierna. Do obliczeń często przyjmujemy:

lub

Funkcja logarytmiczna

Niech . Funkcję daną wzorem , gdzie , nazywamy funkcją logarytmiczną.

Sporządzimy teraz wykres funkcji logarytmicznej, korzystając z następującego twierdzenia:

Dla każdego a różnego od 1 funkcja logarytmiczna o podstawie a jest ciągła w zbiorze R+.

Wykres funkcji :



Wykres funkcji logarytmicznej nazywamy krzywą logarytmiczną. Krzywe logarytmiczne o równaniach i są symetryczne względem osi x dla każdego .

Własności funkcji logarytmicznej:

• 

1. Dziedziną funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych dodatnich.

2. Zbiorem wartości jest zbiór liczb rzeczywistych.

3. Funkcja ma jedno miejsce zerowe: x=1.

4. Funkcja jest malejąca.

1. Funkcja jest różnowartościowa.

• 

1. Dziedziną funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych dodatnich.

2. Zbiorem wartości jest zbiór liczb rzeczywistych.

3. Funkcja ma jedno miejsce zerowe: x=1.

4. Funkcja jest rosnąca.

1. Funkcja jest różnowartościowa.

Własności logarytmów

• twierdzenie o logarytmie iloczynu

Jeżeli a, x i y są liczbami dodatnimi oraz , to:

Logarytm iloczynu liczb dodatnich jest równy sumie logarytmów czynników tego iloczynu.

• twierdzenie o logarytmie ilorazu

Jeżeli a, x i y są liczbami dodatnimi oraz , to:

Logarytm ilorazu liczb dodatnich jest równy różnicy logarytmów dzielnej i dzielnika.

• twierdzenie o logarytmie potęgi

Jeżeli a, x są liczbami dodatnimi oraz , to dla dowolnego prawdziwa jest równość:

Logarytm potęgi o podstawie dodatniej jest równy iloczynowi wykładnika potęgi i logarytmu podstawy tej potęgi.

• twierdzenie o zmianie podstawy logarytmu

Jeżeli a, b, x są liczbami dodatnimi oraz , to:

Logarytmy dziesiętne

Logarytmy o podstawie 10 nazywamy logarytmami dziesiętnymi lub briggsowskimi - od nazwiska angielskiego matematyka Henry Briggsa, który w 1614 roku wprowadził je po raz pierwszy.

Zamiast piszemy krótko , np.



Logarytmy dziesiętne znalazły duże zastosowanie w obliczeniach astronomicznych i inżynierskich. Z tego powodu zostały ułożone tablice wartości tych logarytmów (patrz: tablice) i skonstruowano suwak logarytmiczny. Obecnie znaczenie logarytmów zmalało ze względu na wprowadzenie do powszechnego użytku kalkulatorów i innych urządzeń liczących.

Równania i nierówności logarytmiczne

Równaniem logarytmicznym nazywamy takie równanie, w którym niewiadoma występuje tylko w wyrażeniu logarytmowanym lub w podstawie logarytmu.

Nierównością logarytmiczną nazywamy taką nierówność, w której niewiadoma występuje tylko w wyrażeniu logarytmowanym lub w podstawie logarytmu.

Jak wiemy, wyrażenia logarytmowane i podstawa logarytmów muszą być dodatnie, przy czym podstawa logarytmu dodatkowo nie może być równa 1. Ograniczenia te wyznaczają dziedzinę równania lub nierówności logarytmicznej.

Jedną z metod rozwiązywania równań lub nierówności logarytmicznych jest doprowadzenie obu stron równania lub nierówności do logarytmy wyrażenia przy tej samej podstawie. Następnie wykorzystując różnowartościowość lub monotoniczność funkcji logarytmicznej o danej podstawie otrzymujemy związki między wyrażeniami logarytmowanymi. W najprostszych przypadkach możemy korzystać bezpośrednio z definicji logarytmu.

PRZYKŁADY:

• rozwiąż równanie .

Zakładamy, że x+1>0 i x-1>0, czyli .

Korzystamy ze wzoru na logarytm iloczynu:



Prawą stronę równania zapisujemy w postaci logarytmu:



Korzystamy z różnowartościowości funkcji logarytmicznej:



Rozwiązanie x=-3 jest sprzeczne z założeniem, a więc rozwiązaniem jest: x=3.

• rozwiąż równanie .

Zakładamy, że x>0. Podstawiamy i otrzymujemy równanie:



Wracamy do niewiadomej x i otrzymujemy:



Korzystamy z różnowartościowości funkcji logarytmicznej:

• rozwiąż równanie .

Zakładamy, że x>0 i , czyli .

Dwukrotnie korzystamy z różnowartościowości funkcji logarytmicznej:

• rozwiąż równanie .

Logarytmujemy obie strony równania:



Korzystamy ze wzoru na logarytm potęgi:

• rozwiąż nierówność , gdzie x>0.

Nie zmieniamy zwrotu nierówności, ponieważ funkcja jest rosnąca.

• rozwiąż nierówność .

Zakładamy, że x-2>0 i x+2>0, czyli .



Korzystamy z monotoniczności funkcji logarytmicznej:



Po uwzględnieniu założenia, otrzymujemy: