DOBÓR NASTAW REGULATORÓW

Nastawami regulatora nazywa się współczynniki transmitancji operatorowej regulatora, tj. k_p – współczynnik wzmocnienia, T_i – czas zdwojenia, T_d – czas wyprzedzenia. Zadaniem inżyniera jest odpowiednie dobranie nastaw, tak aby układ regulacji spełniał stawiane przed nim wymagania.

Najważniejszym wymaganiem jest stabilność układu. W uproszczeniu oznacza to, że jeżeli układ jest pobudzony stałym, niezerowym sygnałem, to odpowiedź układu dąży do stałej wartości. Istnieje szereg metod pozwalających sprawdzić stabilność. Jedna z nich opiera się na stwierdzeniu, że układ liniowy jest stabilny, jeżeli wszystkie pierwiastki wielomianu charakterystycznego układu mają ujemne części rzeczywiste. Wielomian charakterystyczny jest mianownikiem transmitancji operatorowej układu.

Okazuje się, że dla pewnych połączeń obiektu i regulatora nie można znaleźć takich nastaw, które zapewniłyby stabilność. Mówi się wtedy o niestabilności strukturalnej. Np. połączenie obiektu całkującego z regulatorem I (patrz ćw. nr 5). W tym przypadku pierwiastki wielomianu charakterystycznego mają zerowe części rzeczywiste. W Tabeli 6.1 znajduje się zestawienie typów obiektów oraz typów regulatorów, z którymi można je łączyć.

Istnieją dwa rodzaje układów – układ regulacji nadążnej i układ regulacji zakłóceniowej (stałowartościowej). Dla tych dwu układów formułuje się odmienne cele. W regulacji nadążnej sygnał wyjściowy z układu musi idealnie oddawać sygnał wartości zadanej. W regulacji zakłóceniowej sygnał wyjściowy z układu musi być niewrażliwy na zmiany zakłócenia. W idealnej sytuacji sygnał wyjściowy pozostanie stały i równy stałej wartości zadanej niezależnie od zmian zakłócenia. Niestety takiego ideału nigdy nie udaje się osiągnąć w praktyce. Jakość regulacji określa na ile dany przebieg różni się od idealnego. Do oceny jakości służy szereg kryteriów.

Tabela 6.1.

Dobór typu regulatora w zależności od charakterystyki skokowej obiektu

Lp.	wielkość regulowana	charakterystyka skokowa	zalecany	dopuszczalny	niedozwolony
1.	poziom cieczy obiekt całkujący	y(t) t	PI		I
2.	przemieszczenie siłownika tłokowego obiekt całkujący z inercją	y(t) t	PID		I
3.	ciśnienie, prędkość kątowa obiekt inercyjny pierwszego rzędu	y(t) t	PI		I
4.	temperatura obiekt inercyjny z opóźnieniem	y(t) t	PID	I, PI	P, PD
5.	temperatura obiekt inercyjny wyższego rzędu	y(t) t	PID	I, PI	P, PD
6.	wydajność taśmociągu obiekt opóźniający	y(t) t	PI	I	P, PD

6.1. Kryteria oceny jakości regulacji

Jeden ze sposobów oceny jakości regulacji opiera się na analizie przebiegu przejściowego. Przebieg przejściowy jest odpowiedzią UAR na skokową zmianę wymuszenia, inaczej mówiąc, jest to przebieg zmian wielkości regulowanej y(t) w czasie, wywołany skokową zmianą zakłócenia (lub wartości zadanej).

UAR można przedstawić w postaci pokazanej na Rys. 6.1. Założono tutaj, iż zakłócenia działają na UAR w tym samym torze, co wielkość sterująca u(t) i są przetwarzane w obiekcie w sposób opisany transmitancją G₀(s).

z y

u

e -

y_z

Rys. 6.1. Schemat układu regulacji, G₀(s) – transmitancja obiektu, G_R(s) – transmitancja regulatora

W dalszej części kryteria jakości regulacji zostaną przeanalizowane na przykładzie układu regulacji stałowartościowej y_z = idem. Wtedy zmiany sygnału y(t) są równoznaczne ze zmianą odchyłki regulacji e(t) = y_z –y(t).

Rys. 6.2. Przebiegi przejściowe w układach regulacji: a) oscylacyjny z regulatorem astatycznym, b) aperiodyczny z regulatorem astatycznym, c) oscylacyjny z regulatorem statycznym, d) aperiodyczny z regulatorem statycznym

Do oceny jakości regulacji wykorzystuje się następujące kryteria parametryczne:

1) odchyłka statyczna e_s – jest różnicą sygnałów wartości zadanej y_z i sygnału wyjściowego z obiektu y w stanach ustalonych, czyli

(6.1)

1a) odchyłka statyczna względna podaje stosunek odchyłki statycznej e_s do odchyłki statycznej e_{s obiektu} jaka zaistniałaby w obiekcie bez regulatora przy tym samym wymuszeniu z(t)

(6.2)

Odchyłka statyczna względna odnosi się tylko do UAR z obiektami statycznymi (z wyrównaniem). Pozwala porównywać jakość regulacji w układach z obiektami o różnych współczynnikach wzmocnienia.

Zastosowanie regulatora P lub PD w UAR powoduje, że przebieg przejściowy posiada niezerową odchyłkę statyczną. Z tego względu te regulatory nazywa się regulatorami statycznymi. Regulatory z działaniem całkującym, do których należą regulatory I, PI oraz PID usuwają odchyłkę statyczną (e_s = 0). Są więc one nazywane regulatorami astatycznymi.

2) odchyłka dynamiczna e_d – jest to maksymalna wartość odchyłki e(t), występująca w przebiegu przejściowym. W układach z regulatorami statycznymi

, (6.3)

w układach z regulatorami astatycznymi

. (6.4)

A₁ – oznacza pierwszą amplitudę przebiegu (patrz rys. 6.2).

2a) odchyłka dynamiczna względna - określa stosunek odchyłki dynamicznej e_d do odchyłki statycznej e_{s obiektu} jaka zaistniałaby w obiekcie bez regulatora przy tym samym wymuszeniu z(t).

(6.5)

Odchyłka dynamiczna względna odnosi się tylko do UAR z obiektami statycznymi ( z wyrównaniem).

3) czas regulacji t_r – jest to czas jaki upływa od wystąpienia wymuszenia skokowego do chwili, gdy odchyłka regulacji osiągnie wartość ustaloną z tolerancją (wartość e_n przyjmuje się zależnie od wymagań technologicznych). Ponieważ granice tolerancji oparte na wymaganiach technologicznych nie są jednakowe, czas t_r nie jest jednoznacznie zdefiniowany.

4) przeregulowanie (oscylacyjność) κ (grecka litera kappa) – jest to bezwzględna wartość stosunku dwóch sąsiednich amplitud przebiegu przejściowego.

(6.6)

Przeregulowanie charakteryzuje skłonność UAR do oscylacji. Przebiegi, w których wartość przeregulowania κ = 0, są nazywane przebiegami aperiodycznymi, pozostałe zaś oscylacyjnymi.

Dążenie do jednoczesnego uzyskania wartości optymalnych wszystkich wskaźników zawiera zadania przeciwstawne. Na przykład dążenie do uzyskania małych odchyłek dynamicznych e_d prowadzi do wystąpienia dużego współczynnika κ i wydłużenia czasu regulacji t_r.

Ocenę jakości regulacji można prowadzić nie ze względu na pojedyncze wskaźniki, lecz łącznie. Do tego celu stosuje się kryteria całkowe. Do najczęściej stosowanych należą:

1. I₁ – całka z odchyłki

(6.7)

2) I₂ – całka z kwadratu odchyłki

(6.8)

3) I₃ – całka z bezwzględnej wartości odchyłki pomnożonej przez czas

(6.9)

Kryterium można stosować w przebiegach aperiodycznych, w których odchyłka nie zmienia znaku. Za aperiodyczne przebiegi optymalne uważa się przebiegi, w których występuje I_1min . Przebieg spełniający takie kryterium ma, w porównaniu z innymi przebiegami, najkrótszy czas regulacji t_r, jaki może istnieć w danym UAR oraz nie ma przeregulowania.

Kryterium I₂ prowadzi do przebiegów o najmniejszych wartościach odchyłek dynamicznych e_d w danym układzie, przy dopuszczalnym przeregulowaniu. Za optymalne przebiegi uważa się te, w których występuje I_2min. Przebiegi te mają stosunkowo duże przeregulowanie, sięgające 40-45 %.

Z przebiegów optymalnych, ze względu na kryteria I₁ lub I₂ wynika, że jednoczesne uzyskanie małych odchyłek dynamicznych i małego przeregulowania jest niemożliwe. Użyteczne okazało się kryterium całkowe I₃, które daje przebiegi o wskaźnikach pośrednich w porównaniu z optymalnymi przebiegami ze względu na kryteria I₁ i I₂. W minimalizacji kryterium I₃ występuje przeregulowanie nie większe niż 20% i czas regulacji zbliżony do t_rmin w przebiegach aperiodycznych.

Przebiegi przejściowe, optymalne ze względu na poszczególne kryteria, przedstawiono na rys. 6.3. W praktyce jeden z tych typowych przebiegów prawie zawsze może spełnić wymagania technologiczne regulowanego procesu.

Rys. 6.3 Przebiegi przejściowe procesu regulacji: a) graniczny przebieg aperiodyczny, b) przebieg z 40% przeregulowaniem, c) przebieg z 20% przeregulowaniem

6.2 Metody doboru nastaw

Pożądana jakość regulacji (odpowiedni przebieg przejściowy) zależy od doboru nastaw wybranego regulatora. Jedna z najprostszych metod doboru tych nastaw opiera się na znajomości parametrów obiektu i wybraniu odpowiedniego kryterium jakości regulacji (p. 6.2.1). Znacznie dokładniejsze są metody doświadczalne. Mogą być jednak stosowane tylko tam, gdzie istnieje rzeczywisty układ regulacji, tzn. obiekt z zainstalowanym regulatorem (6.2.2).

6.2.1. Dobór nastaw przy znanych właściwościach dynamicznych obiektu

Wzory służące do wyliczania wartości nastaw regulatorów dla obiektów statyczny i astatycznych, minimalizujące odpowiednie kryteria całkowe, podano w tabeli 6.2. Parametrami decydującymi o wartościach nastaw są: stosunek oraz k lub k₀, wyznaczone na podstawie transmitancji zastępczej G₀(s) (porównaj ćwiczenie 2). Nastawy regulatorów wylicza się na podstawie parametrów T_Z,, T₀ , k₀ ,k.

Wyliczana na podstawie wzorów podanych w tabeli 6.2 wartość k_p jest współczynnikiem wzmocnienia regulatora, jeżeli przyjąć założenie, że k₀ reprezentuje wzmocnienie obiektu łącznie ze wzmocnieniem urządzenia pomiarowego i urządzenia wykonawczego.

Wartości nastaw regulatorów, wyliczone na podstawie tabeli 6.2, będą wartościami optymalnymi tylko wówczas, gdy transmitancja rzeczywista obiektu będzie identyczna z transmitancją zastępczą. Dla obiektów z wyrównaniem należy posługiwać się transmitancją zastępczą Rotacza.

Wartości nastaw regulatorów są również zależne od rodzaju układu regulacji. Inne będą w regulacji stałowartościowej, a inne w regulacji nadążnej. W tabeli 6.2 podano wzory do wyznaczania wartości nastaw regulatorów wyłącznie w przypadku regulacji stałowartościowej.

Należy pamiętać, że dobór nastaw na podstawie zaleceń z tabeli 6.2 stanowi pierwsze przybliżenie. W rzeczywistych UAR występują bowiem nieliniowości oraz niestacjonarności obiektów, wyrażające się w niestałości ich charakterystyk. Sprawia to, że wyznaczone nastawy odbiegają od wartości, które byłyby najlepsze w danych układzie rzeczywistym. Na ogół w rzeczywistych UAR konieczne są jeszcze pewne korekty wstępnie dobranych nastaw, dokonywane za pomocą dalszych prób na rzeczywistej instalacji.

6.2.2. Metoda Zieglera-Nicholsa

Metoda Zieglera-Nicholsa nie wymaga znajomości modelu obiektu. Jest to metoda doświadczalno-analityczna. Polega na określeniu okresu T_kr oscylacji nietłumionych wielkości regulowanej y(t) w układzie regulacji z regulatorem typu P. W przypadku występowania w UAR regulatora PI, regulator P uzyskuje się przez nastawienie maksymalnie długiego czasu zdwojenia (). Jeśli występuje regulator PID, to oprócz nastawienia maksymalnego czasu zdwojenia (), należy nastawić maksymalnie krótki czas wyprzedzenia (T_d = 0). Następnie zwiększając współczynnik wzmocnienia k_p należy doprowadzić układ regulacji do granicy stabilności, tzn. oscylacje wielkości wyjściowej powinny mieć stałą amplitudę (ewentualnie mogą być słabo tłumione). Wyznacza się wówczas okres drgań T_kr (rys. 6.4) i wzmocnienie k_pkr regulatora P, przy którym wystąpiły oscylacje krytyczne.

Rys. 6.4 Przebieg przejściowy krytyczny (oscylacyjny nietłumiony)

Zalecane nastawy regulatorów są następujące:

- regulator P

- regulator PI

- regulator PID

Przeregulowanie uzyskane dla tych nastaw jest zbliżone do wartości wynikających z kryterium I₂ (tzn. κ wynosił 40-45%).

Jeżeli w układzie regulacji są niedopuszczalne drgania nietłumione wielkości regulowanej lub nie można ich osiągnąć, należy stopniowo zwiększając współczynnik wzmocnienie regulatora P doprowadzić do drgań tłumionych 40-45%. Zmierzony wtedy czas oscylacji T jest krótszy od T_kr. Dla regulatora PID nastawy wynoszą wówczas , . Po nastawieniu tych czasów koryguje się wzmocnienie regulatora w celu osiągnięcia założonego tłumienia. Bardziej szczegółowe zależności do obliczania nastaw podano w [2].